9869

Это уравнение прямой l , проходящей через начало координат – точку

31

y

5. При A 0 , B 0, C 0 уравнение (3.2) примет вид: By 0 или y 0. Это уравнение координатной оси Ox (См. рис. 24)

y

Рис. 24

6.При A 0, B 0 , C 0 уравнение (3.2) примет вид: Ax 0 или

x0. Это уравнение координатной оси Oy . (См. рис. 25)

y

0 x

Рис. 25

Итак, рассмотрены все возможные случаи общего уравнения (3.2) прямой на плоскости.

Выведем уравнение прямой l , проходящей через две заданные точки M1 x1; y1 и M2 x2 ; y2 на плоскости xOyв прямоугольной декартовой системе координат. (См. рис. 26)

33

y

x x1 и y y1 в уравнение (3.5), находим, что уравнение прямой l имеет

Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точки

M1 1; 2 и M2 1;3 .

следовательно, l : x 2y 5 0 .

Ответ: x 2y 5 0.

34

Взаимное расположение прямых на плоскости

Пусть две прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловыми

прямую l , вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой рис.27)

По теореме о внешнем угле треугольника, имеем: 2 1 или

Но так как tg 1 k1 и tg 2 k2 , то

Таким образом, формула (3.8) позволяет находить угол между двумя прямыми на плоскости.

Пример. Найти угол между прямыми l1 : x 2y 1 0 и

l2 : 3x y 3 0 .

35

Решение. Запишем общее уравнение заданных прямых l1 и l2 в виде уравнений с угловыми коэффициентами k1 и k2 , соответственно:

Ответ: arctg 7.

Заметим, что если требуется вычислить острый угол между прямыми, то правая часть формулы (3.8) берется по модулю, то есть

утверждение.

36

Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку

M 1; 2 и перпендикулярной прямой L : 3x 2y 5 0 .

Решение. Перепишем общее уравнение прямой L в виде уравнения

искомое уравнение прямой l :

l : y 2 23 x 1 l : 3y 6 2x 2 l : 2x 3y 4 0

Ответ: 2x 3y 4 0.

§4. Функция одного переменного.

Основные понятия

Понятие функции является одним из главных понятий математики. С этим понятием часто встречаемся в природе, изучая различные процессы и явления.

Пусть D – некоторое множество действительных чисел. Если каждому числу x D – поставлено в соответствие по какому-то правилу

функции, множество D – областью определения функции, множество всех

37

значений y , которые соответствуют числам множества D – областью значений функции – E . (См. рис. 28)

y

точек x, y плоскости xOy таких, что x D , а y f x , то есть

Г f x, y x D, y f x .

Далее будем задавать функцию одного переменного аналитически, то есть с помощью формулы. В этом случае под областью определения D функции понимают множество всех тех значений x , для которых данная формула имеет смысл.

Пример. Формула y x2 задает функцию y одного переменного x .

Поскольку данная формула имеет смысл при всех действительных значениях переменной x , то область определения D данной функции есть

положительном направлении оси Oy . (См. рис. 29)

38

называемая функцией, обратной к функции f . (См. рис. 30)

y

y f x

y

Покажем как строим график обратной функции. Если для обратной функции обозначить аргумент через x , а функцию через y , то графики

функций и совпадают. Разница состоит лишь в том,

что для функции y f x ось Ox – ось абсцисс, а ось Oy – ось ординат,

а для функции x f 1 y роль осей меняется.

Если же обозначить аргумент обратной функции через x , а значение функции через y , то получается иной график. Именно, нужно перевести друг в друга оси Ox и Oy . Это делается с помощью отражения всей плоскости xOy относительно биссектрисы первого координатного угла, то

39

есть прямой y x . При этом отражении график функции y f x

переходит в график обратной функции Итак, график обратной функции симметричен графику заданной

функции относительно прямой y x . (См. рис.31)

y f 1 x

y x

y f x

Пример. Функция y ex является обратной функцией к функции y ln x. (См. рис. 32)

y x

y ln x

1

Основные элементарные функции

Следующие шесть типов функции называются основными элементарными функциями:

I. Постоянная функция y C – функция, ставящая в соответствие каждому действительному числу x одно и то же число C . (См. рис. 33)

D R, E C .

40