9869

Пределом функции y f x в точке x x0 называется такое число

При нахождении пределов функций нужно использовать следующие

свойства предела функции: если существуют конечные пределы lim f x

x a

Решение: Разделим числитель и знаменатель на x2 , получим:

При нахождении пределов функций также полезно знать первый

замечательный предел: lim sin x 1 и следствия из него:

x 0 x

51

2

Пример. Вычислить предел lim 1 3x x .

x 0

Решение.

x a 0

левосторонним пределом.

52

или правосторонним пределом.

Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке называются односторонними пределами.

Дадим определение непрерывности функции в точке.

Функция y f x называется непрерывной в точке x x0 , если:

1)функция f x определена в точке x0 и в некоторой ее окрестности, содержащей эту точку x0 ;

2)функция f x имеет одинаковые односторонние пределы в этой

x0 не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.

Точки разрыва функции можно разделить на два типа.

Точка разрыва x0 функции y f x называется точкой разрыва 1-

го рода, если существуют конечные односторонние пределы функции в этой точке, которые не равны между собой или равны между собой, но не равны значению функции в этой точке. Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке x0 не существует или равен бесконечности, то x0 – точка разрыва функции 2-го рода.

53

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и построить ее

рациональной на квадратичную и с квадратичной на линейную, соответственно.

Исследуем непрерывность функции y в точке x1 0 :

предел функции y в точке x1 0 равен бесконечности, то x1 0 – точка

разрыва 2-го рода.

Исследуем непрерывность функции y в точке x2 1:

y 1 2 x x 1 2 1 1

54

Условие непрерывности функции y в точке x2 1 выполняется,

значит, функция y в точке x2 1 непрерывна.

Построим график функции y :

Рис. 54

Производная

Пусть функция y f x определена на некотором интервале a;b .

dx

Итак, по определению

55

интервала a;b , называется дифференцируемой в этом интервале, а

Пример. Найти по определению производную функции y x2 .

Решение. Областью определения D данной функции является вся числовая ось, то есть D R . Выберем произвольную точку x R . Дадим

y y x x y x x x 2 x2

x2 2x x x 2 x2 2x x x 2 .

Поскольку данный предел существует, то производная функции y x2 в

точке x равна 2x , то есть x2 2x .

Пусть материальная точка (тело) движется неравномерно по закону прямолинейного движения S S t . Каждому значению истекшего времени t соответствует определенное расстояние S до некоторой фиксированной точки O . Тогда средняя скорость Vcp движения точки за время t равна:

56

Vcp St , где S S t t S t .

Предел средней скорости Vcp движения при стремлении к нулю

промежутка времени t называется скоростью V движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью)

.

Таким образом, скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t , то есть

Под касательной l к графику функции y f x в точке M 0 понимают

57

откуда

x 2y 3 0.

Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с некоторыми трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью правил и формул.

Запишем формулы производных элементарных функций:

а также формулы, выражающие правила дифференцирования:

Пример. Найти производную функции y 2x 1 ex .

59

Решение. По правилу дифференцирования произведения двух

функций, находим:

y 2x 1 ex 2x 1 ex 2x 1 ex .

Далее, по правилу дифференцирования суммы двух функций и произведения числа на функцию и формул производных степеней и показательной функций, находим:

2 1 0 ex 2x 1 ex 2ex 2x 1 ex 2x 3 ex .

Производная сложной функции

Пусть функция y f u определена на множестве D1 , а функция u g x определена на множестве D2 , причем для любой точки x D2 ,

соответствует значение u g x D1 . Тогда на множестве D2 определена функция y f g x , которая называется сложной функцией от x (или функцией от функции).

Переменную u g x называют промежуточным аргументом сложной функции y .

Пример. Функция y cos 3x является сложной функцией, так как

y cos u , u 3x .

Пусть y f u , u g x , тогда y f g x – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x . Тогда производная сложной функции y по независимой переменной x равна произведению производной функции y по промежуточной переменной u

на производную промежуточной переменной u по независимой

Пример. Найти производную функции y e3 x .

60