QalOGUGtk0

3. Решение по Нейману-Моргенштерну. Вектор Шепли.

Опр. Решением по Нейману-Моргенштерну (Н-М-решением) кооперативной игры называется множество R дележей в нём, обладающее следующими свойствами:

1)внутренняя устойчивость: никакие два дележа из R не доминируют друг друга;

2)внешняя устойчивость: каков бы ни был делёж s не принадлежащий R, найдётся делёж r, принадлежащий R, который доминировал бы s.

Теорема.

Если в кооперативной игре существует С-ядро C и Н-М-решение R, то

C R.



Свойство Н-М-решений.

Н-М-решение кооперативной игры не может состоять только из одного дележа, т.к. в этом случае характеристическая функция игры несущественная.

Недостатки Н-М-решения.

1.Н-М-решение не всегда существует.

2.В настоящее время не известно каких-либо критериев, позволяющих судить о наличии у кооперативных игр Н-М-решений.

3.Если кооперативные игры имеют Н-М-решения, то, как правило, не одно.

Перечисленные недостатки отражают положение дел в действительности: большинство экономических и социальных проблем допускает множественные решения, и эти решения не всегда поддаются непосредственному сравнению по их предпочтительности.

Опр. Носителем игры с характеристической функцией называется такая коалиция T, что

(S) = (S T)

для любой коалиции S.

Другими словами, любой игрок, не принадлежащий T, является нейтральным, он не может ничего внести в коалицию и ему ничего не следует выделять из общих средств.

Опр. Пусть – характеристическая функция кооперативной игры N игроков, – любая перестановка множества N игроков; - характеристическая функция такой игры, что для коалиции S = {i1, i2, ..., iS} выполняется

({ (i1), (i2), ..., (iS)}) = (S).

Другими словами, если в игре с характеристической функцией поменять местами игроков согласно перестановке , то получим игру с характеристической функцией .

111

Опр. Вектором цен (вектором Шепли) игры с характеристической функци-

ей называется n-мерный вектор

( ) = (1( ), 2( ), ..., n( )),

удовлетворяющий аксиомам Шепли.

Аксиомы Шепли.

1о. Аксиома эффективности. Если S– любой носитель игры с характеристической функцией , то

i ( ) = (S)

i S

Иными словами, “справедливость требует”, что при разделении общего выигрыша носителя игры ничего не выделять на долю посторонних, не принадлежащих этому носителю, равно как и ничего не взимать с них.

2о.Аксиома симметрии. Для любой перестановки и i N должно выполняться

( i) ( ) = i( ),

т.е. игроки, одинаково входящие в игру, должны “по справедливости” получать одинаковые выигрыши.

3о. Аксиома агрегации. Если есть две игры с характеристическими функциями и , то

i( + ) = i( ) + i( ),

т.е. ради “справедливости” необходимо считать, что при участии игроков в двух играх их выигрыши в отдельных играх должны складываться.

Теорема.

Существует единственная функция , определённая для всех игр и удовлетворяющая аксиомам Шепли.  Опр. Характеристическая функция S(T), определённая для любой коалиции S, называется простейшей, если

1 , при S T,

S(T) = 0 , при S T.

Другими словами, простейшая характеристическая функция описывает такое положение дел, при котором множество игроков S выигрывает единицу тогда и только тогда, когда оно содержит некоторую основную минимальную выигрывающую коалицию S.

Компоненты вектора Шепли определяются по формуле

В том случае, когда –простейшая,

1 , если Т выигрывающая коалиция,

(T) (T \ {i}) 0 , если Т выигрывающая коалиция, а

T \ {i} не выигрывающая коалиция.

112

Следовательно

где суммирование по T распространяется на все такие выигрывающие коалиции T, что коалиция T \{i}не является выигрывающей.

113

Н.Р. Ланина

Решение задач по разделу «Дискретная математика»

Задача № 1. Для данной булевой функции:

а) составить таблицу значений;

б) используя таблицу значений, составить функцию, двойственную к данной; в) записать двойственную функцию в виде совершенной дизъюнктивной

нормальной формы (СДНФ) и совершенной конъюнктивной нормальной формы (СКНФ).

Решение на примере функцииf(x,y,z) = (y→xz) (z x ).

а)Используя таблицу значений основных булевых функций,

cоставим таблицу значений функции f(x,y,z) (см. столбец № 5):

б) Функция f*(x1, x2,..., xn) = f ( x1 , x2 ,..., xn ), называется двойственной

функцией к f(x1, x2,..., xn).

Функциюf*(x,y,z), двойственную к функции f(x,y,z), составляем следующим образом: столбец 5 инвертируем (см. столбец № 6), а затем переворачиваем (см. столбец № 7).

114

в) Для того чтобы составить СДНФ функции f*(x,y,z),

1)отметим в таблице все наборы ( x, y, z) переменныхx,y,z, на которых эта функция принимает значение 1: (0 0 1), (1 0 0), (1 0 1), (1 1 0),

2)для каждого набора ( x, y, z) образуем логическое произведение ви-

да:x x&y y&z z:

x0& y0&z1 = x y z, x1& y0&z0 = x y z , x1& y0&z1 = x y z, x1&y1&z0 = xy z ,

3) все полученные конъюнкции соединяем знаком дизъюнкции: f*(x, y, z) = x y z x y z x y z x y z .

Для составления СКНФ функции f*(x,y,z)

1)отметим в таблице все наборы ( x, y, z) переменныхx,y,z, на которых эта функция принимает значение 0: (0 0 0), (0 1 0), (0 1 1), (1 1 1),

2)для каждого набора ( x, y, z) образуем логическую сумму вида:

xSx ySy zSz,

где (sx, sy, sz) – это набор, противоположный к набору ( x, y, z): x1 y1 z1 = x y z,

x1 y0 z1 = x y z, x1 y0 z0 = x y z , x0 y0 z0 = x y z ,

3) все полученные дизъюнкции соединяем знаком конъюнкции: f*(x, y, z) = (x y z) (x y z) (x y z ) ( x y z ).

Задача № 2. Используя теорему о функциональной полноте, проверить, являются ли полными следующие системы функций:

Решение на примере систем

Воспользуемся теоремой о функциональной полноте: для того, что-

бы система функций P была полной, необходимо и достаточно, чтобы

115

она целиком не содержалась ни в одном из пяти замкнутых классов T0, T1,

S, M и L.

а){f1(x1, x2) = x1&x2, f2=0, f3=1, f4(x1, x2, x3) = x1 x2 x3}.

Чтобы показать, что система не содержится в замкнутом классе полностью, достаточно привести пример хотя бы одной такой функции из этой системы.

1. T0 – это класс всех булевых функций f(x1, x2,..., xn), сохраняющих константу 0, то есть функций, для которых выполнено равенство f(0,0,...,0)=0. Например, функция f3=1 не содержится в этом классе.

2.T1 – это класс всех булевых функций f(x1, x2,..., xn), сохраняющих константу 1; для них выполнено равенство f(1,1,...,1)=1.

Вэтом классе не содержится, например, функция f2=0.

3.Класс S включает в себя все самодвойственные функции, то есть такие функции, для которых выполняется равенство: f(x1, x2,..., xn) = f*(x1,

x2,..., xn).

Класс M – это класс всех монотонных булевых функций.

В данной системе немонотонной является функция f4(x1, x2, x3) = x1 x2 x3, так как существует пара наборов переменных, для которой условие монотонности нарушено: набор (0, 0, 1) предшествует набору (0, 1, 1), но при этом

f4(0, 0, 1)>f4(0, 1, 1).

5. Класс L– это класс всех линейных функций, то есть функций, имеющих вид:

f(x1,...,xn)=c0 c1x1 ... cnxn,

где константы ci принимают значения либо 0, либо 1 (i = 0,1,...,n). Другими словами, полином Жегалкина у такой функции не содержит конъюнкций переменных.

Очевидно, что функция f1(x1, x2) = x1&x2 не принадлежит этому клас-

су.

Таким образом, для каждого из пяти классов T0, T1, S, M и L нам удалось указать по примеру функции, в этом классе не содержащейся. Значит, данная система функций полная.

116

Все три функции – x1&x2, 0 и 1 – являются монотонными, т.е. принадлежат классу M. Это значит, что данная система полностью содержится в классе M монотонных функций и, следовательно, полной не является.

Задача № 3. Для данной булевой функции трёх переменных, заданной таблично, составить сокращенную ДНФ (привести как геометрическое, так и аналитическое решение).

Пример решения

а) Геометрическое решение.

Отмечаем те вершины единичного куба, в которых данная функция принимает значение 1,

117

после чего выделяем максимальные грани. В данном случае максимальных граней две:

-«квадрат», вершинами которого являются точки (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 0, 1),

(0, 0, 1),

-«ребро», ограниченное точками (1, 0, 0) и (1, 1, 0).

«Квадрат» характеризуется тем, что здесь неизменным остаётся значение переменной y: y = 0. Следовательно, этой максимальной грани соот-

ветствует простая импликанта

y .

Вдоль «ребра» неизменными остаются две характеристики: x= 1 и z = 0. Таким образом, этой максимальной грани соответствует простая импли-

канта

x z .

Объединяя простые импликанты в логическое произведение, получим искомую сокращённую ДНФ:

y x z .

б)Аналитическое решение.

Для данной функции составляем совершенную КНФ, после чего упрощаем её, используя дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции:

(a b) c = a c b c,

Итак,

f(x, y, z) = (x y z) (x y z ) ( x y z ) =

(перемножаем две первые скобки)

=((x y )(x y )(x y ) z z(x y ) z z ) ( x y z ) =

=((x y ) (x y ) z z(x y )) ( x y z ) =

(используем правило поглощения, выбрав (x y ) в качестве a)

=(x y ) ( x y z ) =

=x x x y x z y x y y y z = x y x z y y z =

(снова применяем правило поглощения, выбрав y в качестве a) = y x z .

118

Задача № 4. Для данной булевой функции трёх переменных, заданной таблично, используя метод минимизирующих карт, составить минималь-

ную ДНФ.

Пример решения

1. Составим все элементарные конъюнкции с тремя переменными, помещая в i-ю строку таблицы те конъюнкции, которые принимают значение «1» на соответствующем этой строке наборе (xi, yi, zi) переменных x, y, z.

2. Если на наборе (xi, yi, zi) переменных x, y, z данная функция принимает значение «0», то вычёркиваем ВСЕ конъюнкции, расположенные в i-ой строке.

4. В каждой строке вычёркиваем те конъюнкции, которые были бы исключены по правилу поглощения, применённому к логической сумме конъюнкций этой строки.

5. Из оставшихся в таблице конъюнкций формируем все возможные ДНФ, выбирая по одной конъюнкции из каждой непустой строки.