QalOGUGtk0

6

3

4x 4

2x 5

4 log2 2

8 3log2 2

4 log2

8 3log2

x

2x 5

1

2x 5

x 1

x 1

2x 5

4 log2

4 4 log2

8 3log

2

0

2x 5

x 1

x 1

x 1

x 1

4 log2

3log2

0 log2

0

2x 5

2x 5

2x 5

x 1 2x 5 x 4 ОДЗ: x ( ; 1)

(5 / 2;

) . Ответ: 4.

12. Решите уравнение

log2 (x 3) log3 (8 x) 2 log2 (x 3)2 log3 (8 x).

Решение. ОДЗ: x (3;

8). Воспользуемся формулой перехода к новому ос-

нованию. log3 (8 x) log2

3

log2 (8 x). Умножим обе части уравнения на

log2 3. log2 (x 3) log2 (8 x) 2 log2

3 log2 (x 3)2

log2 3 log2 (8 x) .

log2 (8 x) (log2 (x 3) 1) 2 log2 3 (1 log 2( x 3))

0

Решение. Пусть

x / 6 t, тогда

3x 3t / 2 , и уравнение примет вид

(sin(3t / 2)) / cos t

1 cos 3t cos t 0,

cost 0 2sin 2t sin t 0

x ( / 3) 2 k, k . Ответ: n, n

,

( / 3) 2 k,

k .

2)

x , x ( / 3), x 0,

x , x (5 / 3),

x 2 .

15. Решите уравнение

log7 x lg x log7 10.

Решение. log7 x lg x log7 10 log7 x

log7

x

log7 10 log

72 x log72

10 | log7 x |

log7 10

log7 10 x 0,1; x 10.

16. Решите уравнение

x log2 (x2 ) 1 2x 2log4 x.

151

Решение.

ОДЗ

(x 0).

На

ОДЗ

x log

(x2 ) 1 2x 2log

4

x 2x log

2

x 1 2x log

2

x

2

(2x 1)(log2 x 1) 0.

1)

2x 1 0 x 0, 5;

2)

log2 x 1 x 2.

Ответ:

{0, 5,

2}.

17. Решите уравнение

log6 2 x2 36 4x4 2

1

.

log5 6 2x2

Решение.

На ОДЗ 6 2x2

0,

6 2x2 1 имеем

log6 2 x2 6 2x2 6 2x2

2 log6 2 x2

5 1 log6 2 x2 6 2x2 2 log6 2 x2 5 log6 2 x2 (6 2x2 ) / 5 1

2.

Решите уравнение

6 cos x ctg x 6 ctg x sin x 0.

Ответ:

arccos 0, 2 2 n, n .

3.

а) Решите уравнение cos2 (x (5 / 2)) 0,5sin 2x 0.

б) Найдите все корни

этого уравнения, принадлежащие промежутку [ ; (5 / 2)]. Ответ: 1)

x k,

k .

2)

x ( / 4) n, n .

Отрезку [ ;

(5 / 2)]

принадлежат

корни

, 2 , 5 / 4, 9 / 4.

4.

Решите уравнение

cos x

cos x 36x2 36x 11.

Ответ: 0, 5.

2

2

4 32 x 1

5.

Найдите все x, при которых выражения

4 x 9x 3 3x и

x 3x

принимают равные значения.

Ответ: 9.

Ответ: 2 k, k ;

/ 3 2 n, n .

Ответ: x ( / 2) 2 k, k ;

x ( / 3) 2 n, n .

8. Решите уравнения

3 6x

2

6 6x

6x

6x

3.

Ответ:

11

x log6 11.

9. Найдите

все

значения

x,

при

каждом

из

которых

выражения

x 2x 10 22 x

и 5

x 4x 2x 1

принимают равные значения.

Ответ: 4.

10. Решите уравнение log6

3x2

x 2 log6 (x 1) log39 x 14 36 1.

Ответ: 2.

2x2 6x 5

1

1. Решите систему неравенств

2x 3

2

4 | 8 5x | 8x 64

25x

Решение.

2x2 6x 5

2x2

6x 5 2x 3

2(x2 4x 4)

2(x 2)2

1

0

0

0

2x 3

3

2x 3

2x

2x 3

x ( ; 1,5) {2}.

25x2

4 | 8 5x | 80x 64 25x2 80x 64 4 | 8 5x | 0

(5x 8)2 4 | 5x 8 | 0.

Сделаем

замену

t | 5x 8 | . Получаем неравенство

t2 4t 0

0 y 4 0 | 5x 8 | 4 4 5x 8 4,

5x 8 x (0,8; 1, 6)

(1, 6;

2, 4).

Решение системы: x (0,8; 1,5)

{2}. Ответ: x (0,8; 1,5)

{2}.

(x

2)

7

7 log9 (x2

x 6) 8 log9

x 3

2. Решите систему неравенств

1

1

1

52.

3

x 1

3

x

x 1

3

Решение. Первое неравенство:

7 log9 (x2 x 6) 8 log9

(x 2)7

x 3

(x2 x 6)7 (x 3)

8

log9 (x 3)8 8

(x 3)8

98

log9

(x

2)

7

2) 0

(x 3)(x

(x 3)(x 2)

0

(x 3)(x

2)

0

9 x 3 9

x [ 6;

2)

Решим второе неравенство:

(3; 12].

x ( ;

2)

(3;

)

1

1

1

1

13

x

1

1

52

52 3

x log3 12.

Так

как

3

x 1

3

x 1

9

12

9

3

Решение.

Пусть

AK KD 5, AP PB 5, AQ QC 5. Плоскость

KPQ

искомая,

PQ

BC.

AM

медиана и высота равнобедренного треугольника

BAC, BM MC 2

N

точка

пересечения

и

5.

PQ

AM.

PN NQ 0,5BM

AN

AP2 PN 2

5.

KN

AK 2 AN 2

25 5 2 5,

5 2 0 5 .В прямоугольном треугольни-

ке AKN проведем AT KN.

AT KN AK AN AT

AK AN

5 2 5

2.

KN

5

AD BAC AD PQ, PQ KN (по теореме о трёх перпендикулярах), следо-

вательно,

PQ AKN

PQ AT AT расстояние от A

до плоскости

KPQ. Ответ: 2.

2. Основание прямой четырёхугольной призмы

ABCDA1B1C1D1

прямо-

AB 5,

AD

угольник

ABCD, в котором

33. Найдите тангенс угла между

плоскостью грани AA1D1D призмы и плоскостью, проходящей через середи-

ну ребра CD перпендикулярно прямой

B1D, если расстояние между пря-

мыми A1C1

и BD равно

3.

Решение.

Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно расстоянию между

плоскостями

ABCD

и

A1B1C1D1 ,

следовательно,

BB1 3.

B C2 BB2 BC2 3 33 36 B C 6. Так как угол между двумя плоскостями

1

1

1

эти случаи.

1.

KC KD . По теореме о касательной и секущей имеем:

KA2 KC KD KB2 KA KB , а так как AB 12 , то KA KB 6. Значит, K –

середина AB

и

CK – медиана треугольника ACB . Пусть KC x . Тогда

ными граничными условиями имеет вид:

– дифференциальное уравнение u a2u

xx

;

tt

– начальные условия u x,0 f x ,

ut x,0

F x ;

– граничные условия u 0,t u l,t

0.

ux 0,t ux l,t 0 , u 0,t ux l,t 0 , ux 0,t u l,t 0 .

Решение этой

задачи с помощью метода Фурье получается в виде

u x,t Tk t X k t ,

k 1

где X k x – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями,

соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

Tk t ak cos a k t bk sin a k t ;

k – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля; ak , bk

– коэффициен-

ты, определяемые по начальным условиям.

в) Смешанная задача для неоднородного волнового уравнения

u a2u

xx

g x,t .

tt

где

k

t – решения задачи Коши: " t

a2

k

t g

k

t ,

k

k

k 0 0, k' 0 0 , где gk t – коэффициенты разложения

g x,t gk t X k x .

k 1

Пример 1. Решить смешанную задачу:

utt uxx , u x,0 19sin 7 x,

ut x,0 7 sin 7 x,

u 0,t 0,

u 2;t 0 .

Решение.

Решение ищем в виде u x,t X x T t . Подставим это выра-

жение

для

u x,t

в

уравнение

utt uxx .

Получим

X x T " t X " x T t

T " t

X " x

const

T t

X x

X " x X x 0, X 0 0, X 2 0

– задача Штурма – Лиувилля. Из-

k

2

вестно,

что собственные числа этой задачи равны k

, k 1,2, ...

l

В нашем случае l 2 ,

то есть k

k 2

. Тогда собственные функции

2

полученной

задачи

Штурма

–

Лиувилля

имеют

вид:

X k x sin

k x

, k 1, 2, ...

2

Найдем теперь функции T t . Имеем

k 2

Tk" t

Tk t 0 . Характери-

2

стическое

уравнение

этого

дифференциального

уравнения имеет

вид:

2

k 2

k

r

0

r1,2

i .

Поэтому общее решение полученного для

2

2

T t

уравнения будет таким: T

t

a

cos

k t

b

sin

k t

.

k

k

2

k

2

Тогда uk x,t

k t

bk sin

k t

k x

ak cos

sin

.

2

2

2

k t