QalOGUGtk0

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Мурманский арктический государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

влетворять уравнению: tgl

– коэффициенты

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2023

Размер:

4.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2518 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

нашем

случае

u 0;t ux 0,5;t 0 h0

, h0,5

0 .

Тогда

tg0,5

ctg0,5

то

есть

ctg 0,5 0 0,5

k 2k 1

, k Z

k 2k 1 ,

k 0,1,2, ...

Таким образом,

uk x,t k cos 2k 1 x k sin 2k 1 x e 2 2k 1 2 2t .

Так

как

и h

, то

. Следовательно, u

x,t

k sin 2k 1 x e 2 2k 1 2 2t .

Тогда

u x,t

x,t

k 0

k sin 2k 1 x e 2 2k 1 2 2t .

Для

определения

коэффициентов k

k 0

воспользуемся

начальным

условием:

u x,0 k sin

2k 1 x 19sin 5 x

k 0

0,5

19sin5 x sin 2k 1 xdx k

k 0 ,

кроме k 2 . Найдем

0,5

0,5			0,5		1
	2				1
2 4 19sin		5 xdx 38		1 cos10 x dx 38 x
2 4 19sin		5 xdx 38		1 cos10 x dx 38 x	10
0			0		10
0			0
.
Следовательно,			u x,t 19e 50 2t sin 5 x .

	0,5	0,5

	38x		19
sin10 x		0
	0

Проверка: Имеем

u x,0 19e0 sin 5 x 19sin 5 x

– верно.

Начальное

условие

выполняется. Проверим

выполнение

краевых

условий:

u 0,t 19e 50 2t sin 0 0,

u 8,t 19e 50 2t sin 40 0 ,

так

как

sin 40 0. Краевые условия также выполняются.

Проверим теперь, что

найденная функция

u x,t

удовлетворяет заданному уравнению.

Имеем

2 50 2t

sin5 x, ux x,t

19 5 e

50 2t

cos5 x, uxx x,t

ut x,t 19 50 e

19 25 2e 50 2t

sin 5 x .

Значит,

u 2u

19 50 2e 50 2t sin 5 x

2 19 25 2e 50 2t sin 5 x

171

19 50 2e 50 2t sin 5 x 19 50 2e 50 2t sin 5 x – верно. Ответ: u x,t 19e 50 2t sin 5 x .

Пример 4. Решить смешанную задачу

ut 9uxx ; u x,0 5sin 2 x 1 3x; u 0;t 1; u 2;t 5 .

Решение. Решение будем искать в виде:

u x,t v x,t 3x 1, где v x,t

решение краевой задачи: vt

9vxx ; v x,0 5sin 2 x; v 0;t 0; v 2;t 0 .

Сделаем замену переменной

9t v

Тогда уравнение

v x, в виде

примет вид:

9v 9vxx v

vxx .

Будем

искать функцию

v x, X x T .

Подставим

ее

уравнение:

X x T '

X " x T

T '

X "

const

T ' cT 0 T Cec

T "

, где

–

произвольная

постоянная.

Так

как

температура

v x, X x T

не может неограниченно возрастать по абсолютной ве-

личине при (то есть при t ), то c должно быть отрицательно, то

			Ce 2 .
есть c 2 T			Ce 2 .
Решим	теперь		уравнение	X " x	c ,	где	c 2 .	Имеем
Решим	теперь		уравнение	X x	c ,	где	c 2 .	Имеем
				X x
X " x 2 X x 0 .			Характеристическое			уравнение имеет		вид:
r 2 2	0 r	i .		Тогда		общее	решение:
	1,2

Xx Acos x Bsin x v AC cos x BC sin x e 2

cos x sin x e 2 , где AC, BC . Константа должна удо-

теплообмена на концах стержня. В случае теплоизоляции какого-либо конца надо соответствующий коэффициент положить равным нулю, а в случае постоянства температуры устремить этот коэффициент к бесконечности.

172

нашем

случае v 0,t v 2,t 0 h0

, h2

. Тогда

tg2

при

h0 ,

то

есть

k 2 2

h0h2

tg2 0 2 k, k Z

, k 0,1,2, ...

9 2k 2t

Таким образом, vk x,t k cos

k sin

. Так как

vk x,t k sin

9 2k 2t

и h0 ,

то k

0 . Следовательно,

. То-

гда v x,t

9 2k 2t

vk x,t k e

sin

. Для определения коэффициентов k

k 1

воспользуемся

начальным

условием:

kx 5sin 2 x k

v x,0 k sin

k 1

5sin

2 x sin

dx k

0 ,

кроме

k 4 .

Найдем

1 cos 4 x dx

4 5

sin

2 xdx

sin 4 x

5 .

9 42 2t

4 x

Следовательно,

v x,t 5 e

sin

5 e

36 t

sin 2 x .

Тогда

u x,t 5 e 36 2t sin 2 x 3x 1.

Проверка: Имеем u x,0 5 e0 sin 2 x 3x 1 5sin 2 x 3x 1

– верно.

Начальное условие выполняется. Проверим выполнение краевых условий:

u 0,t 5e 36 2t sin 0 1 1,				u 8,t 5e 36 2t sin 4 6 1 5 , так		как
sin 4 0 . Краевые условия также выполняются. Проверим теперь,						что
найденная функция u x,t удовлетворяет заданному уравнению. Имеем
ut x,t 5 36	2	e 36 2t	sin 2 x, ux x,t 10 e 36 2t cos 2 x 3 ,
uxx x,t		2	36 2t		sin 2 x . Значит, ut 9uxx
	20 e
					173

180 2e 36 2t sin 2 x 9 20 2e 36 2t sin 2 x

180 2e 36 2t sin 2 x 180 2e 36 2t sin 2 x – верно. Ответ: u x,t 5 e 36 2t sin 2 x 3x 1.

Пример 5. Решить смешанную задачу для данного неоднородного уравнения теплопроводности с нулевыми начальным и граничными условиями

u x, 0 0,

u 0, t 0,

u ,

t 0 : u

5sin 2t sin 3x .

Решение. Рассмотрим соответствующую однородную задачу: u

u x, 0 0,

u 0, t 0,

u ,

t 0

и найдем ее собственные функции.

Пусть

t u u

u .

Тогда уравнение примет вид: u

Будем искать функцию u x,

в виде u x, X x T . Подставим ее в

уравнение: X x T '

X " x T

T '

X "

c T ' cT 0 T Cec , где

T "

– произвольная постоянная.

Так как температура u x, X x T

не

может неограниченно возрастать по абсолютной величине при (то

есть при

t ),

то c должно

быть

отрицательно,

то

есть

c 2

Ce 2 .

Решим

теперь

уравнение

X " x

c ,

где

c 2 .

Имеем

X x

X " x 2 X x 0 .

Характеристическое

уравнение имеет

вид:

r 2 2

0 r

i .

Тогда

общее

решение:

1,2

Xx Acos x Bsin x u AC cos x BC sin x e 2

cos x sin x e 2 , где AC, BC . Константа должна удо-

174

В нашем

случае

u 0,t u ,t 0 h0 , h .

Тогда

при

h0 , h ,

то

есть

k 2

h0h

tg 0 k, k Z k k, k 0,1,2, ...

		k 2t
Таким образом,	uk k cos kx k sin kx e	9
Таким образом,	uk k cos kx k sin kx e

. Так как	k	и h ,

h0		0

							k 2t
то k	k	0 . Следовательно,	u	k	k	sin kx e	9 , то есть собственные
	k			k	k

функции однородной задачи имеют вид: sin kx .

Решение неоднородной задачи ищем в виде ряда по собственным функциям соответствующей однородной задачи:

u x,t k t sin kx , где k 0 0 .

k 1

Запишем уравнение в виде u

5sin 2t sin 3x и заменим функцию

u x,t

на k t sin kx . Тогда

k' t

k t sin kx 5sin 2t sin3x , то

k 1

есть 5sin 2t sin3x gk t sin kx , где

k 0

gk t

5sin 2t sin3x sin kxdx

5sin 2t

sin3x sin kxdx . Следователь-

gk t 0 , кроме k 3

. Найдем g3 t

но, k

sin 2t sin2 3xdx

sin 2t 1 cos6x dx 5sin 2t .

Тогда

имеем

задачу

Коши:

3' t

3 t 5sin 2t , 3 0

0 ,

то есть

t 3 t 5sin 2t, 3 0 0 .

Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет вид: r 1 0 r 1. Значит, общее решение соответствующего

однородного уравнения:	3	Ce t . Частное решение	*	неоднородного
	3		3
уравнения будем искать в виде: * Acos 2t B sin 2t .			Подставим *		в не-
		3		3

однородное уравнение: 2Asin 2t 2Bcos 2t Acos 2t Bsin 2t

175

5sin 2t	2B A 0		A 2, B 1, то есть	3* 2cos 2t sin 2t .
		B
	2A		5
Тогда 3 t 3		3* 2cos2t sin 2t Ce t . Воспользуемся			начальным
условием			3 0 0 2 C 0 C 2 .		Значит,
3 t sin 2t 2cos 2t 2e t . Тогда искомое				решение	имеет вид
u x,t sin 2t 2cos 2t 2e t sin 3x .
Проверка:	Имеем u x,0 sin 0 2cos0 2e0 sin 3x 0 2 2 sin 3x 0

– верно. Начальное условие выполняется. Проверим выполнение краевых
условий:	u 0,t sin 2t 2cos 2t 2e t sin 0 0 ,
u ,t sin 2t 2cos 2t 2e t sin 3 0 , так как sin3 0. Краевые усло-

вия также выполняются. Проверим теперь, что найденная функция u x,t

удовлетворяет заданному уравнению. Имеем

ut x,t 2cos2t 4sin 2t 2e t sin3x, ux x,t 3 sin 2t 2cos2t 2e t cos3x , uxx x,t 9 sin 2t 2cos2t 2e t sin3x . Значит,

5sin 2t sin 3x

2cos 2t 4sin 2t 2e t sin 3x

9 sin 2t 2cos 2t 2e t sin 3x

5sin 2t sin3x 2cos2t 4sin 2t 2e t sin3x

2cos2t 4sin 2t 2e t sin3x – верно.

Ответ: u x,t sin 2t 2cos 2t 2e t sin 3x .

Пример 6. Решить смешанную задачу для данного неоднородного уравне-

ния теплопроводности с нулевыми начальным и граничными условиями

u x, 0 0, u 0, t 0,

u ,

t 0 : u 3u

8e 48t sin 4x .

Решение. Рассмотрим

соответствующую

однородную задачу:

ut 3uxx ,

u x, 0 0, u 0, t 0,

u ,

t 0

и найдем ее собственные функции.

Пусть 3t u u

3 u . Тогда уравнение примет вид:

u u

Будем искать функцию u x,

в виде u x, X x T . Подставим ее в

уравнение: X x T '

176

X " x T

T '

X "

T ' cT 0 T Cec , где C

T "

– произвольная постоянная.

Так как температура u x, X x T не

может неограниченно возрастать по абсолютной величине при (то

есть при

t ),

то c должно

быть

отрицательно,

то

есть

c 2

Ce 2 .

Решим

теперь

уравнение

X " x

c ,

где

c 2 .

Имеем

X x

X " x 2 X x 0 .

Характеристическое

уравнение имеет

вид:

r 2 2

0 r

i .

Тогда

общее

решение:

1,2

Xx Acos x Bsin x u AC cos x BC sin x e 2

cos x sin x e 2 , где AC, BC . Константа должна удо-

теплообмена на концах стержня. В случае теплоизоляции какого-либо конца надо соответствующий коэффициент положить равным нулю, а в случае

постоянства температуры устремить этот коэффициент к бесконечности.

нашем

случае

u 0,t u ,t 0 h0 , h .

Тогда

при

h0 , h ,

то

есть

k 2

h0h

tg 0 k, k Z k

k 0,1,2, ...

Таким образом, uk

k cos kx k sin kx e 3k 2t . Так как

и h0 ,

то

0 . Следовательно, u

sin kx e 3k 2t , то

есть собственные

функции однородной задачи имеют вид: sin kx .

Решение неоднородной задачи ищем в виде ряда по собственным функциям соответствующей однородной задачи:


u x,t k t sin kx , где k 0 0 .
k 1
Запишем уравнение в виде u 3u		xx	8e 48t sin 4x и заменим функцию
t		xx

u x,t на k t sin kx . Тогда k' t 3k 2 k t sin kx 8e 48t sin 4x , то
k 1	k 1
			177

есть 8e 48t sin 4x gk

t sin kx , где

k 1

gk t

8e 48t sin 4x sin kxdx

8e 48t sin 4x sin kxdx . Следовательно,

gk t 0 , кроме k 4

. Найдем g4 t

e 48t sin2 4xdx

1 cos 6x dx 8e 48t .

e 48t

Тогда

имеем

задачу

Коши:

t 48 4 t 8e 48t ,

4 0 0 . Характеристическое уравнение соответ-

ствующего однородного

уравнения имеет вид: r 48 0 r 48 . Зна-

чит,

общее решение

соответствующего

однородного

уравнения:

Ce 48t

. Частное решение * неоднородного уравнения будем искать в

виде:

Ate 48t .

Подставим

неоднородное

уравнение:

Ae 48t

48Ate 48t 48Ate 48t 8e 48t A 8, то есть 4*

8te 48t .

Тогда 4 t 4 4* 8te 48t		Ce 48t . Воспользуемся начальным условием
4 0 0 C 0.	Значит, 4 t 8te 48t . Тогда искомое решение имеет
вид u x,t 8t e 48t sin 4x .
Проверка: Имеем u x,0 8 0 e 48 0 sin 4x 0			– верно. Начальное условие
выполняется.	Проверим	выполнение	краевых	условий:

u 0,t 8t e 48t sin 0 0 , u ,t 8t e 48t sin 4 0 , так как sin 4 0 . Кра-

евые условия также выполняются. Проверим теперь, что найденная функция u x,t удовлетворяет заданному уравнению. Имеем

ut x,t 8 e 48t sin 4x 8t 48 e 48t sin 4x 8 1 48t e 48t sin 4x , ux x,t 32t e 48t cos 4x , uxx x,t 128t e 48t sin 4x . Значит, ut 3uxx 8e 48t sin 4x

8 1 48t e 48t sin 4x 3 128t e 48t sin 4x 8e 48t sin 4x

384t e 48t sin 4x 384t e 48t sin 4x – верно

Ответ: u x,t 8t e 48t sin 4x .

Замечание 1. Если начальное условие отлично от нуля, то к решению задачи с неоднородным уравнением с нулевыми начальными условиями следует прибавить решение однородного уравнения с заданным начальным условием u x,0 f x .

178

Пример 7. Решить смешанную задачу

5cos 2t sin 2x,

u x,0 sin 4x, u 0,t u ,t 0 .

u x,t v x,t w x,t ,

Решение.

Решение

ищем

виде

где

v x,t k t sin kx, k 0

0 ,

w x,t

– решение соответствующей

k 1

однородной

задачи:

w ,

w x,0 sin 4x, w 0,t w ,t 0 .

v x,t .

Найдем

сначала

Имеем

vxx 5cos 2t sin 2x k'

k t sin kx 5cos 2t sin 2x .

Тогда

k 1

5cos 2t sin 2x gk

sin kx ,

где

gk t

5cos 2t sin 2x sin kxdx

k 1

gk t 0 ,

cos 2t

sin 2x sin kxdx k

кроме

k 2 .

Найдем

g2 t

cos 2t sin

cos 2t 1 cos 4x dx

2xdx

cos 2t x

sin 4x

	5	cos 2t x				5cos 2t .	Тогда
	5

					0
					0

2'	t		4	2 t		5cos 2t 2' t 2 t 5cos 2t,	2 0 0 . Решим полу-
2'	t		4	2 t		5cos 2t 2' t 2 t 5cos 2t,	2 0 0 . Решим полу-
			4

ченную задачу Коши. Рассмотрим сначала соответствующее однородное уравнение: 2' t 2 t 0 . Его характеристическое уравнение имеет вид: r 1 0 r 1 2 t Ce t , где C – произвольная постоянная. Част-

ное решение 2* t неоднородного уравнения 2' t 2 t 5cos2t будем

искать в виде: 2* t Acos 2t B sin 2t .	Подставим 2* t в уравнение:
2Asin 2t 2Bcos2t
Acos2t Bsin 2t 5cos2t 2A B 0,	2B A 5 A 1, B 2 . Следо-

вательно, 2 t 2 t 2* t Ce t cos 2t 2sin 2t . Из начального усло-

вия 2 0 0 получим C 1. Тогда 2 t cos 2t 2sin 2t e t v x,tcos2t 2sin 2t e t sin 2x .

179

Рассмотрим

теперь

однородную

задачу:

, w x,0 sin 4x, w 0,t w ,t 0 . Ее решение будем искать в

k 2t

w x,t bk e

sin kx .

w x,0 sin 4x , то

виде

ряда:

Так

как

k 1

w x,0 bk sin kx sin 4x bk

sin 4x sin kxdx k bk 0 ,

кроме

k 1

k 4 .

Найдем

sin

4xdx

1 cos8x dx

sin8x

1 w x,t

e 4t sin 4x .

Наконец,		получим	искомое	решение	исходной		задачи:
u x,t v x,t w x,t cos 2t 2sin 2t e t sin 2x e 4t sin 4x .
Проверка:		Имеем	u x,0 cos0 2sin 0 e0 sin 2x e0 sin 4x
0 sin 2x sin 4x sin 4x			– верно. Начальное условие выполняется. Про-
верим		выполнение		краевых			условий:
u 0,t cos 2t 2sin 2t e t sin 0 e				4t sin 0 0 ,
u ,t cos 2t 2sin 2t e t sin 2 e 4t sin 4 0 ,					так как		sin 2 0 и
sin 4 0 .	Краевые условия также выполняются. Проверим теперь, что
найденная функция u x,t			удовлетворяет заданному уравнению. Имеем
	ut x,t 2sin 2t 4cos 2t e t sin 2x 4e 4t sin 4x ,
	ux x,t 2 cos 2t 2sin 2t e t cos 2x 4e 4t					cos 4x ,
	uxx x,t 4 cos2t 2sin 2t e t sin 2x 16e					4t sin 4x .

Значит,

ut 3uxx 8e 48t sin 4x 2sin 2t 4cos2t e t sin 2x 4e 4t sin 4x

14 4 cos 2t 2sin 2t e t sin 2x 16e 4t sin 4x 5cos 2t sin 2x

2sin 2t 4cos2t e t sin 2x 4e 4t sin 4x

2sin 2t 4cos2t e t sin 2x 4e 4t sin 4x – верно

Ответ: u x,t cos 2t 2sin 2t e t sin 2x e 4t sin 4x .

180

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2518 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.04.20231.69 Mб1paIU8PM57U.pdf
#
15.04.20231.09 Mб4pqcaxl7Go5.pdf
#
15.04.20232.68 Mб0PsZXeJCmaB.pdf
#
15.04.20231.02 Mб1ptPjNrUiRy.pdf
#
15.04.20231.54 Mб1PytPajB0Au.pdf
#
15.04.20234.97 Mб2QalOGUGtk0.pdf
#
15.04.20232.69 Mб1QhmOWHGetC.pdf
#
15.04.2023366.95 Кб0qQ3sg7Ypr6.pdf
#
15.04.20232.58 Mб0qS9WwoWrVT.pdf
#
15.04.20231.35 Mб2qSV1eADeIc.pdf
#
15.04.20231.05 Mб5r0kXcq8l3c.pdf