Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Мурманский арктический государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

QalOGUGtk0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2023

Размер:

4.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

а) В евклидовом пространстве методом Грамма - Шмидта ортонормировать систему векторов e1, e2 , e3 ;

	1			1			0
e		0	, e		2	, e	1 .
1			2			3
		1			0		1
		1			0		1

Решение. Подразумевается, что	снабжено "стандартным" скаляр-
		x1		y1
ным произведением x, y x1 y1 x2 y2 x3 y3	, где		,		- векторы
ным произведением x, y x1 y1 x2 y2 x3 y3	, где	x x2	,	y y2	- векторы

		x3		y3

из ;

Соответствующая норма есть																							x				x, x					x12 x22 x32 .
Соответствующая норма есть																							x				x, x					x12 x22 x32 .
		Имеем:

		1)				1 2 02 12																,
		1)		e1		1 2 02 12															2	,
												1
												1
		1														2									2 2
	f	1			e							0												0					;


1			e1	1
1				1
											1
																								2

																											2
															2												2

																2												2					2
		2) e2 , f1 1																	2 0 0															,
		2) e2 , f1 1																	2 0 0															,
																2												2					2
																2												2					2

													1											2						1
																								2						1
																											2					2


	g e2 e2 , f1 f1												2					2						0								2 ,
	g e2 e2 , f1 f1												2											0								2 ,
																	2
													0																		1
													0											2							1
																								2
																										2						2
																										2

		1		2 22 1								2
	g															3			3 2							,


		2								2							2							2
		2								2							2							2

										1												2
										3			2											6
		1

	f2				g					4								2 2										;
			g										2

										3														3
										1												2
										3														6
										3				2										6

														2													2			2
		3) e3 , f1 0															1 0 1														,
		3) e3 , f1 0															1 0 1														,
													2														2		2
													2														2		2

e3 , f2 0								2	1							2 2				1				2						2		,
e3 , f2 0							6		1											1				6								,
							6									3								6						2


						2	2
				2		2
	0			2		6
				2		6	3


g e3 e3 , f1 f1 e3 , f2 f2	1		2		2	2 2	2	,
			2	0	2
				0
		2			2	3	3
	1	2			2
	1			2		2	1
				2		2	1
				2		6	3
						6


	g		2		2			2		2 1			2	1,
	g		2		2			2		2 1			2	1,
			3				2		3			3
			3						3			3

		1						3
	f3	1		g			2			.

		g
		g						3
								1

									3
									3
			Итак, по завершении процесса Грамма - Шмидта получена ортонор-
мированная система f1, f2 , f3 , где

											2					2
			2								2
			2								6
			2								6					3
			2													3
	f					, f					2 2				2		.
	f		0			, f		2			2 2	, f		3	2		.
1								2			3			3		3
											3					3
			2													1
											2
											2
			2								6					3
											6

б) В евклидовом пространстве методом Грамма - Шмидта ортонормиро-

вать систему векторов e1, e2 , e3						;
						;
	1		1		1
e	2	, e	1	, e	1 .
1		2		3

	1		1		0

Решение. Подразумевается, что	снабжено "стандартным" скалярным
		x1		y1
произведением x, y x1 y1 x2 y2 x3 y3	, где		,		- векторы из ;
произведением x, y x1 y1 x2 y2 x3 y3	, где	x x2	,	y y2	- векторы из ;

		x3		y3


Соответствующая норма есть												x	x, x	x12 x22 x32 .
Соответствующая норма есть												x	x, x	x12 x22 x32 .
	Имеем:

	1)				12 22 1 2						,
	1)			e1	12 22 1 2					6	,

						1		6
						1	6	6
	1
						2		6
f			e						;
f			e						;
1	e1	1					6	3
1		1
						1
						1		6
							6	6
							6	6


2) e2 , f1 1	6		6		6		6	,
		1		1
		1		1
	6		3		6		3
	6		3		6		3
						22


												6			2
					1							6			2
												6					3


					1			6
g e2 e2 , f1 f1								6				6				1		,
g e2 e2 , f1 f1												6				1		,
								3				3					3
					1			3
					1							6
												6			4
												6					3
												6
			2 3 2 13 2 4 3 2
	g											213 ,
	g

								2	21
				2
				2
		1			21						21
		1			21			21			21
	f 2			g 1				21					;


		g			21					21
		g			21					21
				4				4	21
				4				4	21
					21						21

		3) e3 , f1 1				6	1					6					6
						6						6					6		6	,
														0
														0
						6						3					6		6
						6						3					6

e3 , f2 1				2		21			1					21			4				21
				2		21								21		0	4				21			21			,
																								21
				21									21						21						21
																									21

																														2
																										6				2		21			15
																	1											6						21	15
																																			14
																																			14
	g e e , f						f			e , f					f			1						6		6			21			21			5	.
																								6					21
																																	21
3			3		1				1	3				2		2								6			3		21				21		7
																			0								6				4 21				3
																											6								14
																											6							21

		1514			2		5 7					2	314						2
	g				2							2							2				334		14 ,
																							334


								15									15			334
										334														334
		1						10									5
																						334
	f3		g																			334
		g																						167

											334															.
								3									3					334
										334														334
										334														334
		Итак, по завершении процесса Грамма - Шмидта получена ортонор-
мированная система															f1, f2 ,				f3 .

Богомолов Р.А. Богомолова И.В.

Матричное представление линейного оператора

Линейный оператором в линейном векторном				пространстве			L называ-
ется всякое отображение A: L L пространства L в						себя,	обладающее
свойствами :
A( x) Ax и	A(x y) Ax Ay
Пусть A —линейный оператор		в	конечномерном		пространстве			Ln и
B (e1,..., en ) —некоторый фиксированный базис. Разложим векторы								Aek ,
k 1,..., n, по базису B :
Aek a1k e1 ... ank en ,	k 1,..., n.
Тогда матрица
	a11		a1n



	an1		ann
называется матрицей оператора		A в базисе B . Матрицу оператора						A бу-
дем иногда обозначать также символом A или				A B	,	если существенно,
о каком базисе идет речь.

Заданием матрицы оператор определяется однозначно, а именно если

y Ax , то Y=AX, где X,Y—столбцы координат векторов		x ,	y	и A—
матрица оператора A в базисе B .
Пусть	А/ и A—матрицы оператора A базисах B и B	, а	T T		—
			B B
матрица перехода от базиса B к базису B . Тогда формула преобразова-
ния матрицы оператора при преобразовании базиса имеет вид
А/=	А

а) Линейный оператор в базисе (e1 , e2 , e3 ) имеет матрицу A. Найти его матрицу А’ в базисе (e '1, e '2 , e '3 ) ;

	2	1	0

A	3	0	4	,
	1	1	2
	1	1	2

e '1

e '2e '3

2e1 3e2 e3

e1 e2 2e3

2e1 2e2 2e3

Решение: 1). Составим матрицу Т перехода от базиса (e1 , e2 , e3 ) к систе-

ме векторов (e '1 , e '2 , e '3 ) . В соответствии с данными выражениями век-

торов e '1, e '2 , e '3 через e1, e2 , e3 , получим:

2		1	2

T	3	1	2	.
	1	2	2
	1	2	2

2). Найдем матрицу Т-1 обратную матрице Т. Поскольку порядок матрицы Т равен 3, т.е. невелик, то для обращения Т можно использовать выражение Т-1 через присоединенную к Т матрицу Т* по формуле:

				,			.
Имеем:
T	1 2				2 4 2
T	1 2				2 4 2
11		2 2
11

T			1 2			( 2 4) 2
T			1 2			( 2 4) 2
21			2	2
21

T		1 2			2 2 0
T		1 2			2 2 0
31		1 2
31

Используя теперь формулу разложения определителя по первому столбцу, получим:

det T t11 T11 t21 T21 t31 T31	( 2) ( 2) 3 ( 2) ( 1) 0 2 .
Поскольку detT 0 , то
Поскольку detT 0 , то	системы векторов (e '1, e '2 , e '3 ) и

(e1 , e2 , e3 ) имеют одинаковый ранг. Значит, приняв то, что (e1 , e2 , e3 )

есть базис, получим то, что и (e '1, e '2 , e '3 ) также будет базисом. Таким образом, задача поставлена корректно. Завершим вычисление матрицы Т*.

Имеем:

T							3 2					(6 2) 4;
T							3 2					(6 2) 4;
12						1			2
12

T					2 2						4 2 2;
T					2 2						4 2 2;
	22				1			2
	22
T					2 2						(4 6) 2;


32					3 2
32

T									1			6 1 5;
T			3						1			6 1 5;
13					1			2
13

T						2 1							(4 1) 3;
T						2 1							(4 1) 3;
	23					1				2
	23

T				2					1			2 3 1.
T				2					1			2 3 1.
33				3					1
				3					1
														2	2	0

		Итак,							T					4	2	2	, и
														5	3	1
														5	3	1
							2					2		0		1	1
					1
T	1				1			4				2		2		2	1
T								4				2		2		2	1
			2					5				3		1			3
								5				3		1	5		3
																2	2

0 1

3) Вычислим А/ по формуле A/=T-1AT: Имеем:

	1	1	0	2		1	0 2		1	2	1	1	0

A'	2	1	1		3	0	4	3	1	2	2	1	1
A'	2	1	1		3	0	4	3	1	2	2	1	1
			1			1		1	2				1
	5	3	1		1	1	2	1	2	2	5	3	1
	2	2	2								2	2	2

		2 ( 2) 1 3 0 ( 1)								2 ( 1) 1 1 0 ( 2)										2 2 1 ( 2) 0 2

		3 ( 2) 0 3 4 ( 1)								3 ( 1) 0 1					4 ( 2)					3 2 0 ( 2) 4 2
										1 ( 1) ( 1) 1 2 ( 2)								1 2 ( 1) ( 2) 2 2
1 ( 2) ( 1) 3 2 ( 1)										1 ( 1) ( 1) 1 2 ( 2)								1 2 ( 1) ( 2) 2 2
		1		1	0			1		1		2


		2		1	1				10	11 14
		5		3	1				7	6		8
		5		3	1				7	6		8
		2		2		2
				1 ( 1) 1 ( 10) 0 ( 7)												1 ( 1) 1 ( 11) 0 ( 6)							1 2 1 14 0 8
				1 ( 1) 1 ( 10) 0 ( 7)												1 ( 1) 1 ( 11) 0 ( 6)							1 2 1 14 0 8

			2 ( 1) 1 ( 10) ( 1) ( 7)												2 ( 1) 1 ( 11) ( 1) ( 6)								2 2 1 14 ( 1) 8
										1	( 7) 5								( 11) 1		( 6)			14 1	8
		5	( 1)		3	( 10)				1	( 7) 5				( 1) 3			2	( 11) 1		( 6)	5	2 3	14 1	8
		2			2					2			2					2		2		2	2	2
		11		12	16
		5		7
		5		7	10		.
		14		16	22
		14		16	22
										11		12			16

				Итак,		A'				5				7	10		.
										14		16			22
										14		16			22

	б)			Линейный оператор в базисе (e1 , e2 , e3 )																	имеет матрицу А. Найти

его матрицу А’ в базисе (e '1, e '2 , e '3 ) ;

	0	2	3

A	4	1	0	,
	2	1	2
	2	1	2

e '1

e '2e '3

e2 3e3


e1 e2	e3	.
		.

e1 e2 2e3

Решение: 1)Составим матрицу Т перехода от базиса (e1 , e2 , e3 ) к системе

векторов (e '1, e '2 , e '3 ) . В соответствии с данными выражениями векто-

						0	1	1


ров	e ' , e ' , e '	через	e , e , e	, получим:	T	1	1	1
ров	1 2 3	через	1 2 3	, получим:		3	1	2	.
						3	1	2

2) Найдем Матрицу Т-1обратную матрице Т. Поскольку порядок матрицы Т равен 3, т.е. невелик, то для обращения Т можно использовать выражение Т-1 через присоединенную к Т матрицу Т* по формуле:

	1		T11	T21	T31
T 1	1	T , T
			T T T .
			T T T .
	detT		12	22	32
	detT
			T13	T23	T33

			Имеем:
T			1	1	2 1 1;
T			1	1	2 1 1;
11			1	2
11

T				1		2 1 1;
T		1		1		2 1 1;
21		1		2
21
				1

T	1					1 1 0.
31		1		1
31

			Используя теперь формулу разложения определителя по первому
столбцу, получим:
detT t11T11 t21T21 t31T31 0 1 1 1 3 0 1.

Поскольку detT 0 , то системы векторов (e '1, e '2 , e '3 ) и (e1 , e2 , e3 )

имеют одинаковый ранг. Значит, приняв то, что (e1 , e2 , e3 ) есть базис,


получим то, что и (e '1, e '2 , e '3 ) также будет базисом. Таким образом, за-
дача поставлена корректно. Завершим вычисление матрицы Т*.
Имеем:
T		1 1				2 3 5;
T		1 1				2 3 5;
12			3	2
			3	2
				1	0 3 3;
T	0			1	0 3 3;
22	3			2
	3			2
T			0	1			0 1 1;
T			0	1			0 1 1;
32		1 1
32

				28

T			1		1		1 3 4;
T			1		1		1 3 4;
13			3		1
13
					1		0 3 3;

T				0
23				3	1
23

T			1		1		0 1 1.
T			1		1		0 1 1.
33			1		1
33

					1				1	0

Итак, T						5			3	1		, и
						4			4	1
						4			4	1
					1		1 0			1			1 0
	1		1
T					5 3 1							5	3 1
T			1		5 3 1							5	3 1
			1		4			3	1			4	3	1
					4			3	1			4	3	1
			3)						Вычислим				А/			по формуле А/=T-1AT. Имеем:
		1			1 0 0 2						3		0 1 1

A'			5		3 1				4 1		0		1	1	1
			4		3 1				2 1				3 1		2
			4		3 1				2 1	2			3 1		2

( 1) 0 ( 1) 4 0 2						( 1) 2 ( 1) 1 0 ( 1)						( 1) 3 ( 1) 0 0 ( 2) 0			1	1
	5 0 3 4 1 2							5 2 3 1 1 ( 1)				5 3 3 0 1 ( 2)		1	1	1
	5 0 3 4 1 2							5 2 3 1 1 ( 1)				5 3 3 0 1 ( 2)		1	1	1
	4 0 3 4 1 2							4 2 3 1 1 ( 1)				4 3 3 0 1 ( 2)		3	1	2
	4 0 3 4 1 2							4 2 3 1 1 ( 1)				4 3 3 0 1 ( 2)		3	1	2
4	3	3 0 1					1
14 12 13				1	1		1
14 12 13				1	1		1
14 10 10				3	1		2
14 10 10				3	1		2
( 4) 0 ( 3) ( 1) ( 3) 3									( 4) 1 ( 3) ( 1) ( 3) ( 1)				( 4) ( 1) ( 3) 1 ( 3) 2
	14 0 12 ( 1) 13 3									14 1 12 ( 1) 13 ( 1)			14 ( 1) 12 1 13 2
	14 0 12 ( 1) 13 3									14 1 12 ( 1) 13 ( 1)			14 ( 1) 12 1 13 2

	14 0 10 ( 1) 10 3									14 1 10 ( 1) 10 ( 1)			14 ( 1) 10 1 10 2
	14 0 10 ( 1) 10 3									14 1 10 ( 1) 10 ( 1)			14 ( 1) 10 1 10 2
6	2	5
27	11	24
27	11	24
20	6	16
20	6	16
				6					2	5

	Итак,		A'		27			11		24
					20			6		16
					20			6		16
											29

Богомолов Р.А. Богомолова И.В.

Спектр и собственные векторы линейного оператора

Линейным оператором в линейном векторном				пространстве			L называ-
ется всякое отображение A: L L пространства L в						себя,	обладающее
свойствами :
A( x) Ax и	A(x y) Ax Ay
Пусть A —линейный оператор		в	конечномерном		пространстве			Ln и
B (e1,..., en ) —некоторый фиксированный базис. Разложим векторы								Aek ,
k 1,..., n, по базису B :
Aek a1k e1 ... ank en ,	k 1,..., n.
Тогда матрица
	a11		a1n



	an1		ann
называется матрицей оператора		A в базисе B . Матрицу оператора						A бу-
дем иногда обозначать также символом A или				A B	,	если существенно,
о каком базисе идет речь.

Заданием матрицы оператор определяется однозначно, а именно если

y Ax , то	Y=AX, где X,Y—столбцы координат векторов x,y и A—
матрица оператора A в базисе B .
Пусть скаляр и вектор x L, x 0, таковы, что
Ax x	(1)

Тогда скаляр называется собственным значением линейного оператора A , а вектор x - собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному значению .

В конечномерном пространстве Ln векторное равенство (1) эквивалент-

но матричному равенству

(A E)X=0, X 0. (2)

Отсюда следует, что скаляр есть собственное значение оператора A в том и только в том случае, когда det(A E)=0, т.е. есть корень много-

члена называемого характеристическим многочленом оператора A . Столбец координат X любого собственного вектора, соответствующего собственному значению , есть некоторое нетривиальное решение однородной системы (2) .

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.04.20231.69 Mб1paIU8PM57U.pdf
#
15.04.20231.09 Mб4pqcaxl7Go5.pdf
#
15.04.20232.68 Mб0PsZXeJCmaB.pdf
#
15.04.20231.02 Mб1ptPjNrUiRy.pdf
#
15.04.20231.54 Mб1PytPajB0Au.pdf
#
15.04.20234.97 Mб2QalOGUGtk0.pdf
#
15.04.20232.69 Mб1QhmOWHGetC.pdf
#
15.04.2023366.95 Кб0qQ3sg7Ypr6.pdf
#
15.04.20232.58 Mб0qS9WwoWrVT.pdf
#
15.04.20231.35 Mб2qSV1eADeIc.pdf
#
15.04.20231.05 Mб5r0kXcq8l3c.pdf

	1	1	0	2		1	0 2		1	2	1	1	0

A'	2	1	1		3	0	4	3	1	2	2	1	1
A'	2	1	1		3	0	4	3	1	2	2	1	1
			1			1		1	2				1
	5	3	1		1	1	2	1	2	2	5	3	1
	2	2	2								2	2	2

	1	1	0	2		1	0 2		1	2	1	1	0

A'	2	1	1		3	0	4	3	1	2	2	1	1
A'	2	1	1		3	0	4	3	1	2	2	1	1
			1			1		1	2				1
	5	3	1		1	1	2	1	2	2	5	3	1
	2	2	2								2	2	2

	1	1	0	2		1	0 2		1	2	1	1	0

A'	2	1	1		3	0	4	3	1	2	2	1	1
A'	2	1	1		3	0	4	3	1	2	2	1	1
			1			1		1	2				1
	5	3	1		1	1	2	1	2	2	5	3	1
	2	2	2								2	2	2