QalOGUGtk0

а) Пусть линейный оператор в некотором базисе задан матрицей А. Найти все собственные значения оператора и отвечающие им собственные векторы:

Решение:

1) Найдем характеристический многочлен данного оператора:

2)Найдем собственные значения оператора как корни характеристического уравнения ( ) 0 .

Имеем:

(1 )2 (3 ) 0, откуда:

1 1-двойной корень,2 3 -простой корень.

3) Для каждого собственного значения методом Гаусса найдем отвечающие собственные векторы Х как ненулевые решения матричного уравнения АХ= Х с расширенной матрицей(А- Е|0). Имеем:

а)Прямой ход.

Система, очевидно, совместна. б)Обратный ход.

Считая х1 базисной переменной, а х2=с1, х3=с2 – свободными, получаем из уравнения, отвечающего единственной ступеньке полученной ступенчатой матрицы:

х1-с1=0, то есть х1=с1 Таким образом, искомые собственные векторы имеют вид:

31

Система, очевидно, совместна. б) Обратный ход.

Считаем x1, x2 базисными переменными, х3=с – свободной. Из уравнения, отвечающую последней ступеньке, имеем:

-2х2-2х3=0, то есть -2х2-2с=0, откуда х2=-с. Далее, из уравнения, отвечающего предпоследней ступеньке, имеем:

-х1-х2=0, то есть –х1+с=0, откуда х1=с.

Таким образом, искомые собственные векторы имеют вид:

б) Пусть линейный оператор в некотором базисе задан матрицей А. Найти все собственные значения оператора и отвечающие им собственные векторы:

(3 )(1 )(3 ) (1 )(3 )2

32

2) Найдём собственные значения оператора как корни характеристического уравнения ( ) 0 .

Имеем:

(1 )(3 )2 0 , откуда:

1 1 - простой корень,2 3 -двойной корень.

Система, очевидно, совместна. б) Обратный ход.

Считаем х1,х2 базисными переменными, х3=с – свободной. Из уравнения, отвечающего последней ступеньке, имеем:

х2-х3=0, то есть х2-с=0, откуда х2=с.

Далее, из уравнения, отвечающего предпоследней ступеньке, имеем:

2х1-х2+х3=0, то есть 2х1-с+с=0, откуда х1=0.

Таким образом, искомые собственные векторы имеют вид:

Система, очевидно, совместна.

33

б)Обратный ход.

Считаем х2, х3 базисными переменными, х1=с – свободной. Из уравнения, отвечающего последней ступеньке, имеем -2х3=0, откуда х3=0.

Далее, из уравнения, отвечающего предпоследней ступеньке, имеем: -х2+х3=0, то есть –х2=0, откуда х2=0.

Таким образом, искомые собственные векторы имеют вид:

34

Верещагин Б.М. Верещагина С.А.

Решение задач по теме «Предел функции по базе. Свойства пределов»

Предел функции и, в частности, предел последовательности обладают общим свойством: они являются пределами по базе.

Определение 1. Пусть множество D – область определения функции f(x). Базой множеств в области определения функции f(x) называется совокупность B подмножеств b множества D, для которой выполняются следующие условия:

1). B состоит из бесконечного количества непустых множеств b.

окончание b b(c) и b B такое, что при всех x b справедливо неравен-

всевозможных 0.

Приведем еще примеры баз и определения пределов по ним.

2. Предел функции в точке справа

Пусть – область определения функции f(x). Окончаниями базы B2

зе называется пределом функции в точке справа.

Определение предела в этом случае выглядит так: число a называется пределом функции f(x) при x стремящемся к x0 справа x x0 ес-

ли 0 ( ) 0 такое, что

( x D 0 x x0 ) ( f (x) a ), здесь D – область определения функции f (x) .

Тот факт, что число a является пределом функции f (x) в точке x0

справа обозначается символом lim f (x) a .

x x0

3. Предел функции в точке слева.

Пусть – область определения функции f(x). Окончаниями базы B3

в будем считать интервалы b x0 ; x0 при всевозможных 0.

Такую базу обозначают символом x x0 . Предел функции по этой базе называется пределом функции в точке слева.

36

4. Предел функции на бесконечности

Пусть – область определения функции f(x). Окончаниями базы B4

этой базе называется пределом функции на бесконечности.

Определение предела в этом случае выглядит так: число a называ-

x обозначается символом lim f (x) a .

x

5. Предел функции на плюс бесконечности

Пусть – область определения функции f(x). Окончаниями базы B5

в будем считать лучи b c; при всевозможных c 0. Такую базу

обозначают символом x . Предел функции по этой базе называется

пределом функции на плюс бесконечности.

6. Предел функции на минус бесконечности

Пусть – область определения функции f(x). Окончаниями базы B6

в будем считать лучи b ;c при всевозможных c 0 . Такую базу

обозначают символом x . Предел функции по этой базе называется

пределом функции на минус бесконечности.

7. Бесконечный предел функции на бесконечности

Говорят, что предел функции f(x) при x стремящемся к равен , если для любого действительного числа c 0 существует число d d (c) 0 та-

кое, что при всех x d справедливо неравенство f (x) c .

Тот факт, что (;) является пределом функции f(x) по базе

B обозначается символом lim f (x) .

х

Свойства пределов по базе

Свойство 1. Если f(x)=с (где с – некоторое действительное число) при

всех х, принадлежащих некоторому окончанию b базы B, то lim f (x) c .

B

Свойство 2. Если предел функции по базе В существует, то он единственен.

37

Определение 4. Функция, ограниченная (ограниченная сверху, снизу) на каком-либо окончании В называется финально ограниченной (финально ограниченной сверху, снизу).

Свойство 3. Если функция f(x) имеет конечный предел по базе, то она финально ограничена.

ограничена на некотором окончании, а функция f(x) на том же окончании имеет знак, совпадающий со знаком а.

f (x) g(x) , то lim g(x) a .

B

Определение 5. Функция (x) называется бесконечно малой функцией по

базе В, если lim (x) 0 .

B

Свойство 7. lim f (x) a тогда и только тогда, когда функция

B

(x) f (x) a является бесконечно малой функцией по базе В. Свойство 8. Если функция (x) является бесконечно малой функцией по базе В, f (x) финально ограничена по той же базе и для функции (x) справедливо неравенство (x) (x) f (x) . Тогда (x) будет бесконечно малой функцией по базе В.

вен a .

38

дробь к виду, который допускал бы применение первого замечательного

Замечание. При выполнении этого задания и заданий, подобных ему, можно использовать и другие способы решения – например, применить правило Лопиталя или эквивалентность бесконечно малых функций.

Непрерывные функции и их свойства

Мы будем пользоваться следующими определениями

Определение 1. Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 , если

предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е. lim f (x) f (x0 ) ;

x x0

Определение 2. Функция f (x) называется непрерывной на множестве,

если она непрерывна в любой точке этого множества.

Определение 3. Если функция f (x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0 , но не является непрерывной в самой точке x0 , то она называется разрывной функцией, а точка x0 – точкой разрыва.

Рассмотрим некоторую функцию f (x) , непрерывную в окрестности точки x0 , за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что x x0 является точкой разрыва, если

функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Определение 4. Точка x0 называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция f (x) имеет конечные левый и правый пределы, но хотя бы один из них не совпадает с f (x0 ) или в точке x0 функция f (x) не

определена.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке x x0 , достаточно того, что она опреде-

лена слева и справа от нее.

Точка разрыва первого рода называется устранимой, если односторонние пределы справа и слева в этой точке конечны и равны, а значение функции в этой точке не равна этим пределам или функция в этой точке не определена.

40