Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Мурманский арктический государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

QalOGUGtk0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2023

Размер:

4.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 255 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Определение 5. Точка х0 называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Пример исследования функции на непрерывность

Задание 2. Исследовать функцию на непрерывность:

f (x)

x2 3x

x2 4x 3

Решение:

Найдём область определения данной функции.

D( f ) :( ;1) (1;3) (3; ) .

Итак, имеем две точки разрыва: x1 1

и x2 3. Теперь определим, каков ха-

рактер разрыва функции в каждой из этих точек.

Точка

x1 1 является точкой бесконечного разрыва (второго рода),

так как: lim

x2 3x

, lim

x 2 3x

x2 4x 3

x 1 0

Точка x2 3 является точкой устранимого разрыва, так как:

lim

x2 3x

lim

x(x 3)

lim

1,5 .

x2 4x 3

(x 1)(x

x 3

x 3 x

Окончательный

ответ:

функция

непрерывна

при

x ( ;1) (1;3) (3; ) ; точка

x1 1 является точкой бесконечного разрыва;

точка x2 3 является точкой устранимого разрыва и f (3) 1,5 .

Верещагин Б.М. Верещагина С.А..

Решение задач по теме «Вычисление производной функции»

Дифференциал функции

Рассмотрим функцию f (x) в некоторой окрестности точки x x0 .

Обозначим x разность	x x0 . Эту разность называют приращением ар-
гумента в точке x x0 .		Разность ( ) − (0) = (0 + ∆ ) − (0)
называется приращением функции f (x)			в точке x x0 . Это приращение
обозначают символом ∆ ( ).
Определение. Говорят,	что	функция	f (x) дифференцируема в точке

x x0 , если f (x) c x ( x) x , где с некоторое действительное число,

а lim ( x) 0 . Линейная относительно x

функция c x

называется диф-

x 0

ференциалом приращения f (x) или дифференциалом функции

f (x) в

точке x x0 . Дифференциал функции f (x)

обозначается

df (x)

или про-

сто df .

Примеры.

Для

функции f (x) x2

точке

x x

получим

f (x) (x

x)2 x2 2x x ( x)2 . Поэтому функция

f (x) x2 диффе-

ренцируема во всех точках области определения и d (x2 ) 2x x .

2. Для функции

f (x) x в точке x x0 получим

f (x) x 1 x 0 x .

Поэтому функция f (x) x дифференцируема

во всех

точках

области

определения и dx x .

Из этого примера следует, что df cdx . Число

называется произ-

водной функции

f (x) в точке x x0 . Для производной используются обо-

значения

df (x)

или

f (x0 ) .

f (x) x2

Из первого примера следует, что производная функции

в произвольной точке x равна 2x .

Если функция

f (x) дифференцируема,

то f (x) c x ( x) x ,

где lim ( x) 0 . Отсюда следует, что c lim

lim

f (x) f (x0 )

x 0

x x0

x x

Из последнего соотношения следует, что если								M 0 (x0 ; f (x0 )) и
M (x; f (x)) две точки на графике функции					f (x) ,	то	f	– тангенс угла
							x
наклона секущей	(M	0	M ) . Тогда lim	f	f (x )	– тангенс угла наклона
			x 0	x	0

предельного положения секущей, т.е.				касательной к			графику функции

f (x) в точке M 0 . В этом и состоит геометрический смысл производной.

Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция					f (x) дифференцируема в точке			x x0 ,
то f (x) c x ( x) x , где				с	–	некоторое действительное	число, а
lim ( x) 0 . Поэтому			lim f	0 .		Значит, f (x) непрерывна	в	точке
x 0			x 0
x x0 .
			Производная сложной функции.
Теорема 2.	Пусть функция			(t)		дифференцируема в точке	t a ,
(a) b и (a) .		Пусть, далее, функция f (x) дифференцируема в точ-
ке x b и	f (b)	. Тогда сложная функция g(t) f ((t)) дифференци-
руема в точке t a и		в этой точке g (t) .

Производная обратной функции

Пусть требуется найти производную дифференцируемой функции y f (x) при условии, что обратная ей функция x g( y) имеет производ-

ную, отличную от нуля в соответствующей точке.
Для решения этой задачи дифференцируем функцию				g( f (x)) x .
Тогда, по	предыдущей	теореме, получим: g ( y) f (x) 1 .		И, так как
g ( y) 0 ,			1
			g ( y) .
	получим, что	f (x)

Таким образом, производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

Основные правила дифференцирования

Обозначим f (x) и g (x) функции, дифференцируемые в точке х. То-

гда

1)(

2)(

f (x) g(x)) f (x) g (x) ;

f (x)g(x)) f (x)g(x) f (x)g (x) .

	f (x)g(x)	f (x)g (x)
f (x)			, если g(x) 0 .
	g(x)	2

g(x)
			43

Производные основных элементарных функций

1)	C 0												cosx
1)	C 0										9) sin x		cosx
2) (xn ) nxn 1											10)			sin x
							1				10)	cos x		sin x
3)																1
			x


				2				x			11)	tgx
											11)	tgx			cos			2	x
																		2

		1					1												1
4)		1					1				12)	ctgx							1
4)							x 2				12)	ctgx					sin2 x
	x						x 2										sin2 x
			x		x														1
5)	e			e							13)	arcsin x

																			1 x2
6)	a		x	a		x	ln a												1 x2
6)	a			a			ln a															1
				1							14)	arccosx

																							2
7) ln x																					1 x
				x															1		1 x
				x															1
										1	15)	arctgx
										1	15)	arctgx									2
8)	loga x																1 x				1
8)	loga x																1 x
									x ln a
											16)	arcctgx
											16)	arcctgx								1 x2

Приведем пример нахождения производной.

Примеры вычисления производной функции

Задание 1. Найти производные функций:

1.1. y e x e x

Решение:

e x e x
y
	2

			1
			1
					e x
					e x
			2
			2

	x	1		x		x	e x e x
e			e		e			.
e		2	e		e		2	.
		2					2

1.2. y ln cos x .

Решение:

Используем

правило

дифференцирования

сложной

функции:

f (g) g (x) .

f g x

sin x

y ln

cos x

(

cos x )

cos x

tg x .

2 cos x

cos x

Заметим, что этот результат можно было получить, представив функцию в

виде 12 ln cos x .

1.3. y e x ln x .

Решение:

Воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функ-

ций: (uv) u v uv . Получим y (e x ln x) e x ln x	e x
		.

	x
44

1.4. y arccos			1	.
1.4. y arccos				.
			x3
Решение:
Снова	используем									формулу			производной				сложной	функции:
																		Получим:
f g x f (g) g (x) .																		Получим:
y (arctg	1	)			1			(	1	)	x 4	(	2	)	2x	.
y (arctg		)						(	x 2	)	x 4 1	(		)		.
	x 2				1				x 2		x 4 1		x3		x 4 1
	1
	1					x 4
Задание					2.		Продифференцировать неявно										заданную	функцию

2xy2 x2 y x2 2 0 .

Решение:

Продифференцируем обе части данного уравнения по переменной x , учитывая при этом, что y является функцией аргумента x . Получим:

(2xy2 x2 y x2 2)	2y2	4xyy 2xy x2 y 2x 0 . Из полученного равенства
x
выразим производной y		: 4xyy x2 y 2xy 2 y 2 2x , откуда y	2xy 2 y 2 2x
выразим производной y		: 4xyy x2 y 2xy 2 y 2 2x , откуда y
	x		4xy x 2
			4xy x 2

Задание 3. Продифференцировать функцию, заданную параметриче-

ски:

x 2 cost 2 ,

y sin t 3t.

Решение:

Используем правило дифференцирования функции, заданной параметри-

чески: y		yt	.
чески: y			.
x		xt
x
	y			(2 cost 2 )	4t sint 2	4t sint 2
Получим:							.
Получим:							.
		x		(sint 3t)	cost 3	3 cost
				(sint 3t)	cost 3	3 cost

Верещагин Б.М. Верещагина С.А.

Решение задач по теме «Неопределённый интеграл

иинтеграл Римана»

1.Первообразная и неопределённый интеграл

Непрерывная функция F (x) называется первообразной функции

f (x) , заданной на некотором множестве X , если почти всюду (за исклю-

чением, быть может, конечного количества точек) справедливо равенство

F (x) f (x) для всех x X .

Если x и F (x) – две первообразные для одной и той же функции

f(x), то x F (x) C .

Совокупность всех первообразных функции f (x) , выражаемая формулой

F (x) C , называется неопределённым интегралом от функции f (x) и обо-

значается знаком f (x)dx : f (x)dx F (x) С .

2. Основные свойства неопределенного интеграла

1) ( f (x)dx) f (x) . 2) d f (x)dx f (x)dx . 3) df (x) f (x) С .

4) af (x)dx a f (x)dx . 5) ( f 1(x) f 2(x))dx f 1(x)dx f 2(x)dx .

3. Таблица основных неопределённых интегралов

1) u du

4) eu du eu C

sin udu cosu C

cosudu sin u C

3) au du

ln a

7)tg udu ln cosu C

8)ctg udu ln sin u C

9)		du	ctg u C
	sin2 u

10)		du		tg u C


		cos2 u
		du				u
11)			ln		tg		C

		sin u			2

)

tg(

cosu

arctg

a2 u 2

arcsin

a2 u 2

a u

a 2 u 2

a u

u u 2 a2

u 2 a2

		4. Интеграл Римана и его свойства
Пусть на отрезке [a;b] задана ограниченная функция								f (x) . Возьмем
множество	T ,	состоящее		из n	точек	x0 ; x1;...; xn		таких,	что
a x0 x1 ... xn		b.	T называется разбиением отрезка				[a;b] . Через k
обозначим	отрезок		[xk 1 ; xk ] .	Длину	этого	отрезка	обозначим		xk

(xk xk xk 1) . Диаметром разбиения T называется число, обозначаемое

символом dT , равное	max xk .
	1 k n
Далее, на каждом	из отрезков	k выберем	точку	k . Множество
T x0 ; x1;...; xn ; 1;...; n называется		размеченным разбиением отрезка
[a;b] .
Определение 1. Интегральной суммой функции			f (x)	соответствующей
			n
размеченному разбиению T называется сумма (T ) f ( k ) xk .
			k 1
Рассмотрим теперь базу функции				где 0, множе-
Рассмотрим теперь базу функции		(T ) . Обозначим b ,		где 0, множе-

ство размеченных разбиений отрезка [a;b] , диаметры которых меньше .


Совокупность множеств b		образует базу B (так как		B состоит из беско-
нечного	количества	непустых	множеств		b	и
b 1 ; b 2 B	b 3 B ( 3 min 1; 2 ) такое, что b 3			b 1	b 2 ). Эту базу

обозначим dT 0 .

Определение 2. Определенным интегралом (Римана) от функции						f (x) на
отрезке	[a;b]	называется число I lim (T ) , если оно существует. Или
		dT 0
иначе: число I		называется определенным интегралом (Римана) от				функ-
ции f (x)	на отрезке [a;b] , если для любого 0 существует ( ) 0
такое, что для любого размеченного разбиения T			отрезка [a;b] при вы-
полнении условия dT справедливо неравенство					.

				I (T )
		b
Для интеграла используют обозначение f (x)dx . Функция f (x) ,						для ко-

торой существует интеграл Римана, называется интегрируемой на отрезке

[a;b] .

		5. Свойства определенного интеграла
1. Если функции		f1 (x) и f2 (x)	интегрируемы на отрезке [a;b] , то
b		b	b
( f1 (x) f2 (x))dx f1 (x)dx			f2 (x)dx .
a		a	a
2. Если функция		f (x) интегрируема на отрезке [a;b] , то
b	b
ñf (x)dx c f (x)dx , где с – постоянное число.
a	a
3. Если	f (x) (x) на отрезке [a;b] и они интегрируемы на этом отрезке,
b	b
то f (x)dx (x)dx .
a	a

4. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f (x) интегрируемой на отрезке [a;b] , то:

m(b a) f (x)dx M (b a)

5. Теорема о среднем. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] , то на этом отрезке существует точка с такая, что

f (x)dx f (c)(b a)

6. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a;b] , то для любого c (a;b) справедливо равенство:

b c b

f (x)dx f (x)dx f (x)dx

a a c

Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.

	a	b	a
7.	По определению считаем, что f (x)dx 0	и f (x)dx f (x)dx .
	a	a	b
	6. Функции интегрируемые по Риману
	Нижней суммой Дарбу функции f (x)	на отрезке [a;b] соответству-
			n
ющей разбиению T x0 ; x1;...; xn , называется сумма s(T ) mi xi , где
			i 1
			n
mi	inf f (x) . Верхней суммой Дарбу называется сумма		S (T ) M i xi ,
	x i		i 1
			i 1

где M i sup f (x) . Справедливо неравенство s(T ) (T ) S(T ) .

x i

Теорема 1. (критерий Римана интегрируемости функции). Для инте-

грируемости ограниченной на отрезке [a;b] функции f (x) необходимо и

достаточно, чтобы lim S(T ) s(T ) 0 .

dT 0

Теорема 2. Функция f (x) непрерывная на отрезке [a;b] интегрируема на

нем.

Справедливы следующие утверждения а). Всякая ограниченная и монотонная функция на отрезке интегрируема на нем.

б). Всякая ограниченная на отрезке функция, имеющая конечное или счетное множество точек разрыва на этом отрезке, интегрируема на нем. Теорема 3. (Формула Ньютона – Лейбница). Для любой первообразной (x) непрерывной функции f (x) справедлива формула

f (x)dx (b) (a) .

7. Замена переменных

b
Пусть задан интеграл f (x)dx , где f (x)	–	непрерывная функция на
a
отрезке [a;b] . (t) – непрерывная функция	на	отрезке [ ; ] , причем

([; ]) [a;b], ( ) a, ( ) b . И пусть (t) непрерывная функция на отрезке [ ; ] .

Тогда справедлива формула замены переменных:

f (x)dx f [ (t)] (t)dt

8. Примеры

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. 3xdx 1 .

Решение.

	dx			1

	3x 1			3

1.2.2xdx

Применим способ внесения выражения под знак дифференциала:

	d (3x 1)	1	ln	3x 1	C .
	d (3x 1)	1

	3x 1	3
	3x 1	3
.

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

	2xdx					2		x 3 3								2					3						dx 3				dx
															dx			1					dx		2								2x 3ln			x 3		C .
															dx			1					dx		2								2x 3ln			x 3		C .
	x		3			dx				x	3									x		3								x 3
	x		3							x	3									x		3								x 3
1.3.

				2		3x				2
				2		3x
Сведём данный интеграл к табличному:

		dx												dx					1					d ( 3x)					1			1		ln	3x 2		C

	2				2								2				2								2			2
			3x		2				( 2)				2	( 3x)			2		3			( 2)			2	( 3)		2							3x 2
			3x						( 2)					( 3x)					3			( 2)				( 3)			3 2 2						3x 2		.
																																					.
		1		ln			3x					2		C

	2		6				3x				2
	2		6				3x				2

1.4. ln xdx ;

Решение. Применяем способ подстановки:

ln xdx

ln x

tdt

C .

1.5.

2xdx

1 2x

Решение. Применяем способ подстановки:

2xdx

t 1 2x2 ,

C 1 2x2 C .

1 2x 2

dt 4xdx

1.6.

2x 4

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 255 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.04.20231.69 Mб1paIU8PM57U.pdf
#
15.04.20231.09 Mб4pqcaxl7Go5.pdf
#
15.04.20232.68 Mб0PsZXeJCmaB.pdf
#
15.04.20231.02 Mб1ptPjNrUiRy.pdf
#
15.04.20231.54 Mб1PytPajB0Au.pdf
#
15.04.20234.97 Mб2QalOGUGtk0.pdf
#
15.04.20232.69 Mб1QhmOWHGetC.pdf
#
15.04.2023366.95 Кб0qQ3sg7Ypr6.pdf
#
15.04.20232.58 Mб0qS9WwoWrVT.pdf
#
15.04.20231.35 Mб2qSV1eADeIc.pdf
#
15.04.20231.05 Mб5r0kXcq8l3c.pdf