QalOGUGtk0

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Мурманский арктический государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

влетворять уравнению: tgl

– коэффициенты

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2023

Размер:

4.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2519 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Замечание 2 (общая первая краевая задача). Рассмотрим общую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности: найти решение уравнения

u a2u	xx	f x,t
t	xx
с дополнительными условиями

u x,0 x , u 0,t 1 t , u l,t 2 t .

Введем новую неизвестную функцию v x,t по формуле u x,t U x,t v x,t ,

где v x,t – отклонение от некоторой известной функции U x,t . Эта функция v x,t будет определяться как решение уравнения

v a2v

x,t ,

где

x,t f x,t U

a2U

с дополнительными условиями

v x,0

x , где

x x U x,0 ,

v 0,t 1 t , где 1 t 1 t U 0,t ,

v l,t 2 t , где 2 t 2 t U l,t .

Выберем вспомогательную функцию U x,t таким образом, чтобы


	1 t 0,		2 t 0 .

Для этого достаточно положить
U x,t t		x			t t .
		l
1				2	1

Таким образом, нахождение функции u x,t , дающей решение общей краевой задачи, сведено к нахождению функции v x,t , дающей решение краевой задачи с нулевыми граничными условиями. Метод нахождения функции v x,t рассмотрен выше.

Пример 8. Решить смешанную задачу

5sin 2t sin 6x,

u x,0

sin12x 3x, u 0,t , u ,t 4 .

f x,t 5sin 2t sin 6x, x sin12x 3x ,

Решение. В нашем случае:

t ,

t 4 . Найдем

функцию

U x,t

4 3x

(так

как

U x,t t

t t ).

Тогда u x,t ищем в виде:

u x,t U x,t v x,t v x,t 3x . Найдем

181

f x,t f x,t

Ut a U xx

5sin 2t sin 6x 0

0 5sin 2t sin 6x ,

v x,0

x x U x,0 sin12x 3x 3x sin12x ,

v 0,t

1 t 1 t U 0,t 0,

v l,t

2 t 2 t U l,t 4 4 0 .

Следовательно, v x,t является решением задачи: v

5sin 2t sin 6x ,

v x,0 sin12 x, v 0, t 0,

v , t 0 . Решение этой задачи ищем в виде:

v x,t

w x,t y x,t ,

где

w x,t

–

решение

задачи:

5sin 2t sin 6x ,

w x,0 0, w 0,t 0,

w ,t 0 , а

y x,t

–

решение задачи:

y x,0

sin12x, y 0,t 0, y ,t 0 . Найдем

сначала решение второй задачи.

Пусть

t y

. Тогда уравнение примет вид:

y y

. Будем искать функцию y x,

в виде y x, X x T . Подставим ее в

уравнение:

X x T ' X " x T

T '

X "

c T '

cT 0

T "

T Cec , где C

– произвольная постоянная.

Так как температура

y x, X x T не может неограниченно возрастать по абсолютной ве-

личине при (то есть при t ), то c должно быть отрицательно, то

			Ce 2 .
есть c 2 T			Ce 2 .
Решим	теперь		уравнение	X " x	c ,	где	c 2 .	Имеем
Решим	теперь		уравнение	X x	c ,	где	c 2 .	Имеем
				X x
X " x 2 X x 0 .			Характеристическое			уравнение имеет		вид:
r 2 2	0 r	i .		Тогда		общее	решение:
	1,2

Xx Acos x Bsin x y AC cos x BC sin x e 2

cos x sin x e 2 , где AC, BC . Константа должна удо-

теплообмена на концах стержня. В случае теплоизоляции какого-либо кон-

182

ца надо соответствующий коэффициент положить равным нулю, а в случае постоянства температуры устремить этот коэффициент к бесконечности.

В нашем

случае

y 0,t y ,t 0 h0

, h .

при

h0 , h ,

k 2

h0h

tg 0 k, k Z k k, k 0,1,2, ...

k cos kx k sin kx e

k 2t

Таким образом, yk

36 . Так как

Тогда tg

то есть

k и h0 , h0

sin kx e

k 2t

то k

y x,t

. Следовательно,

36 , то есть собствен-

ные

функции

однородной

задачи

имеют

вид:

sin kx . Тогда

k 2t

y x,t yk

x,t k e

sinkx .

Для

определения

коэффициентов

k 1

воспользуемся

начальным

условием:

y x,0

k sin kx sin12x k

sin12x sin kxdx k

0 ,

k 1

кроме

k 12 .

Найдем

sin

12xdx

1 cos 24x dx

sin 24x

1 .

122 t

y x,t e

sin12x e 4t

sin12x .

Следовательно,

Решение неоднородной задачи с нулевыми начальным и краевыми условиями ищем в виде ряда по собственным функциям соответствующей однородной задачи:


	w x,t k t						sin kx , где k 0 0 .
				k 1
В уравнении w	1	w	5sin 2t sin 6x заменим функцию w x,t на
В уравнении w		w	5sin 2t sin 6x заменим функцию w x,t на
t	36	xx
	36
					k	2
k t sin kx . Тогда k'				t		2	k t sin kx 5sin 2t sin 6x , то есть


k 1		k 1		36

5sin 2t sin 6x gk t sin kx , где

k 1

183

gk t			2							2
			2	5sin 2t sin 6x sin kxdx						2		5sin 2t sin 6x sin kxdx . Следователь-
				5sin 2t sin 6x sin kxdx								5sin 2t sin 6x sin kxdx . Следователь-
				0										0
			gk t 0 , кроме k 6. Найдем g6 t												10
но,		k													10			sin 2t sin2 6xdx
но,		k																sin 2t sin2 6xdx
																0
																0
	5					5							1

		sin 2t 1 cos12x dx																5sin 2t .	Тогда	имеем
							sin 2t x							sin12x
							sin 2t x							sin12x
			0										12				0
			0					62									0
задачу				Коши:	6' t			62	6 t		5sin 2t ,							6 0 0 ,	то	есть
задачу				Коши:	6' t			36	6 t		5sin 2t ,							6 0 0 ,	то	есть
								36

6' t 6 t 5sin 2t, 6 0 0 . Характеристическое уравнение

соответ-

ствующего однородного уравнения имеет вид: r 1 0 r 1.

Значит,

общее

решение

соответствующего

однородного

уравнения:

Ce t .

Частное решение

неоднородного

уравнения

будем

искать

в виде:

* Acos 2t B sin 2t

Подставим

в неоднородное

уравнение:

2Asin 2t 2Bcos 2t Acos 2t Bsin 2t

2B A 0

A 2, B 1, то есть 6* 2cos 2t sin 2t .

5sin 2t

2A B 5

В результате получим

6 t 6 6* 2cos2t sin 2t Ce t .

Воспользу-

емся

начальным

условием

0 0 2 C 0 C 2 .

Значит,

6 t sin 2t 2cos 2t

2e t . Тогда решение неоднородной задачи с нуле-

выми

начальным

краевыми

условиями

имеет

вид

w x,t sin 2t 2cos 2t 2e t sin 6x .

Поэтому

v x,t w x,t y x,t sin 2t 2cos 2t 2e t sin 6x e 4t sin12x

u x,t v x,t 3x sin 2t 2cos 2t 2e t sin 6x e 4t sin12x 3x

Проверка: Имеем u x,0 sin 0 2cos0 2e0 sin 6x e0 sin12x 3xsin12x 3x – верно. Начальное условие выполняется. Проверим вы-

полнение	краевых	условий:
u 0,t sin 2t 2cos 2t 2e t sin 0 e 4t sin 0 3 0 ,
u ,t sin 2t 2cos 2t 2e t sin 6 e 4t sin12 3 4 ,		так как
sin 6 0	и sin12 0 . Краевые условия также выполняются.	Проверим
	184

теперь, что найденная функция u x,t удовлетворяет заданному уравне-

нию. Имеем

ut x,t 2cos 2t 4sin 2t 2e t sin 6x 4e 4t sin12x , ux x,t 6 sin 2t 2cos 2t 2e t cos6x 12e 4t cos12x 3 ,

uxx x,t 36 sin 2t 2cos2t 2e t sin 6x 144e 4t sin12x . Значит, ut 361 uxx 5sin 2t sin 6x

2cos2t 4sin 2t 2e t sin 6x 4e 4t sin12x

361 36 sin 2t 2cos 2t 2e t sin 6x 144e 4t sin12x 5sin 2t sin 6x

2cos2t 4sin 2t 2e t sin 6x 4e 4t sin12x

2cos2t 4sin 2t 2e t sin 6x 4e 4t sin12x – верно.

Ответ: u x,t sin 2t 2cos 2t 2e t sin 6x e 4t sin12x 3x .

3. Уравнение Лапласа

Уравнение Лапласа в декартовых прямоугольных координатах x, y име-

ет вид: u 0 2u 2u 0 .x2 y2

а) Краевая задача для уравнения Лапласа в круговом секторе 0 r R ,

0 r, полярные координаты, 2 имеет вид:

– дифференциальное уравнение u r			u	2u	0	;
		r
				2
	r		r

– граничные условия
u R, f ,	(5)
u r, 0 u r, 0 .	(6)

Вместо условий (6) также рассматриваются и условия

u r, 0 u r, 0 , u r, 0 u r, 0 , u r, 0 u r, 0 .

(7)

Решение задачи с помощью метода Фурье получается в виде

u r, Rn r n ,

n 1

где n – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения '' 0 с условиями, соответствующими

185

рассматриваемым граничным условиям вида (6) или (7);							R r	C rn , где
							n	n
Cn	– коэффициенты, определяемые по граничным условиям (5).
б)	Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге 0 r R ,							0 2
r, полярные координаты имеет вид:
				u	2u
– дифференциальное уравнение u r			r			0	;
– дифференциальное уравнение u r			r		2	0	;
		r		r	2

– граничное условие u R, f .

Решение задачи с помощью метода Фурье получается в виде

u r, An cos n Bn sin n rn ,

n 0

где An , Bn – коэффициенты, определяемые по граничным условиям. Пример 1. Найти решение уравнения Лапласа u 0 в круговом секторе

0 r	(r, - полярные координаты, 2 ) , на границе которого ис-
комая функция u r, удовлетворяет следующим условиям:
	u 1, 7 cos10 , u	r, 0 0, u	r,		0 .

				4

Решение.

Уравнение

Лапласа

имеет

вид:

r2 2u r

0 . Решение ищем в виде: u r,

U r . То-

гда

d 2

r d

1 d 2

r d

1 d 2

d 2

U dr

Решим

второе

уравнение:

1 d 2

d 2

0 Acos

d 2

n n 0,

... ,

n2 . Значит,

B sin

где

1, 2,

то

есть

Acos n B sin n .

Тогда

r d

2 d

n U

0 .

Решение этого

уравнения

dr2

U dr

ищем

виде

U r r r2 1 r 2 r r 1 n2r 0 1 n2 r 0

1 n2

0 2

n2 0 2 n2

(так как

186

функция U r r n

не ограничена при

r 0). Значит, U r rn .

Тогда

un r, Un r n

rn A cos n B sin n .

Тогда

u r,

un r, An cos n Bn sin n rn .

Переобозначим

коэф-

n 0

фициенты:

A a ,

b (n 1,

2, ...)

Тогда

n n

u r,

an cos n bn sin n rn u

r, nan sin n nbn cos n rn

n 1

Воспользуемся

u r, 0

0 u r, 0 nbnr

0 bn 0 ,

0, u r,

n 1

an cos

0 a0

0, cos

u r,

n 1

n 4 1 k 4k 2 2 2k 1 .

условиями

(n 1, 2, ...) ,

Значит,

u r,

a4k 2 cos 4k 2 r4k 2 . Используем теперь условие

u 1,

k 0

7 cos10 .

Имеем: u 1,

a4k 2 cos 4k 2 7 cos10 a4k 2

k 0

7cos10 cos 4k 2 d все a4k 2 0 ,

кроме a10 k 2 . Имеем

1 2

7cos2 10 d

2 1 cos 20 d

2 7 .

Таким образом,

u r, 7r10 cos10 .

Проверка: u 1, 7cos10 – верно.

u 70r10 sin10 u

0 0 –

верно.

u r,

cos

0 – верно.

ur 70r9 cos10 , urr 630r8 cos10 , u 700r10 cos10 r 2urr rur u

r2 630r8 cos10 r 70r9 cos10 700r10 cos10 0 – верно.

187

Ответ: u r, 7r10 cos10 .

Пример 2. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа	u 0 в
круге 0 r 1, 0 2 (r, – полярные координаты), на границе кото-
рого искомая функция u r, имеет следующие	значения:

u 1, 28sin 5 .

Уравнение

Лапласа

имеет вид:

Решение.

r2 2u

0 . Решение ищем в виде: u r,

U r . То-

гда

r d

1 d 2

r d

1 d 2

d 2

U dr

Решим

второе

уравнение:

1 d 2

d 2

0 Acos

d 2

n n 0,

... ,

n2 . Значит,

B sin

где

1, 2,

то

есть

Acos n B sin n .

Тогда

r d

d 2U

n U

0 .

Решение

этого

уравнения

dr2

U dr

ищем

виде

U r r r2 1 r 2 r r 1 n2r 0 1 n2 r 0

1 n2

0 2 n2 0 2 n2 n

(так как

функция U r r n

не ограничена при

r 0). Значит, U r rn .

Тогда

un r, Un r n

rn A cos n B sin n .

Тогда

u r, un r, An cos n Bn sin n rn .

Переобозначим

коэф-

n 0

фициенты:

A a , B

(n 1, 2,

...)

Тогда

u r,

an cos n bn sin n rn .

n 1

Используем теперь условие u 1, 28sin 5 .

188

Имеем: u 1,

an cos n bn sin n 28sin 5 . Отсюда следует,

n 1

что

28sin5d

cos5

28sin5 cos n d

все

an 0 ,

28sin5 sin n d 0 bn 0

n ,

кроме

n 5 .

Найдем b

28sin2 5d

1 cos10 d

2 28 .

Таким образом, u r,

28r5 sin 5 .

Проверка: u 1,

28sin 5

– верно.

140r 4 sin 5 ,

560r3 sin 5 ,

140r

5 cos5 , u

700r5 sin 5

r2u

r 2

560r3 sin 5 r 140r 4 sin 5 700r5 sin 5 0 – верно.

Ответ: u r,

28r5 sin 5 .

Пример 3.

Решить

задачу

Дирихле

для

уравнения

Лапласа в

круге:

u 0,

0 r 1,

2cos3 .

r 1

Решение.

Уравнение

Лапласа

имеет

вид:

r2 2u

0 . Решение ищем в виде: u r,

U r . То-

гда

r d

1 d 2

r d

1 d 2

d 2

U dr

Решим

второе

уравнение:

1 d 2

d 2

0 Acos

d 2

n n 0,

... ,

n2 .

B sin

где

то

есть

Значит,

Acos n B sin n .

Тогда

r d

2 d

n U

0 .

Решение

этого

уравнения

dr2

U dr

ищем

виде

189

U r r r2 1 r 2 r r 1 n2r 0 1 n2 r 0

1 n2 0 2 n2																																					0 2 n2 n																											(так					как
функция U r r n																			не ограничена при																				r 0).												Значит,								U r rn .									Тогда
un r, Un r n
rn A cos n B sin n .																																																																				Тогда
		n										n

u r,	un r,																		An cos n Bn sin n rn .																																					Переобозначим													коэф-
					n 0																n 0
фициенты:																			A				a0		, A				a ,				B						b							(n 1,									2, ...)													Тогда
фициенты:																			A						, A				a ,				B						b							(n 1,									2, ...)													Тогда
																			0			2					n				n					n							n
																						2
						a0
u r,						a0				an cos n bn sin n rn .
u r,										an cos n bn sin n rn .
					2					n 1
										n 1
Используем теперь условие u 1,																													u							r 1				2cos3 . Постольку поскольку
Используем теперь условие u 1,																													u											2cos3 . Постольку поскольку
																														1
cos3 4cos3 3cos cos3																														1	cos3 3cos ,																																						то
cos3 4cos3 3cos cos3																														4	cos3 3cos ,																																						то
																														4
u 1,					1			cos3 3cos .
u 1,					2			cos3 3cos .
					2
														a0																																			1
Имеем:			u 1,											a0				an cos n bn sin n																															1		cos3 3cos .																Отсюда
Имеем:			u 1,															an cos n bn sin n																															2		cos3 3cos .																Отсюда
															2					n 1																													2
																				n 1
													1 2 1																															1							1								2								2
													1 2 1																															1							1								2								2
следует,			что a0																		cos3 3cos d																																	sin 3					0		3sin						0		0 ,
следует,																			2		cos3 3cos d																					2									3			sin 3

																	0
																	0
a	1	2		1			cos3 3cos cos n d все																																				a					0 , кроме a														и a .						Имеем
a			2				cos3 3cos cos n d все																																				a					0 , кроме a														и a .						Имеем
n			2																																										n														1					3
n																																													n														1					3
		0
a	1 2		3			cos2 d														3		2 1 cos 2 d																		3				2										3		,	a			1		,
a						cos2 d																2 1 cos 2 d																						2												,	a					,
1			2																4																				4														2					3		2
			2																4																				4														2							2
		0																				0
2 cos2 3d										1	2 1 cos6 d																1		2				1		,		b							1 2						1		cos3 3cos sin n d 0
2 cos2 3d											2 1 cos6 d																		2						,		b															cos3 3cos sin n d 0
									4																		4						2					n											2
									4																		4						2																2
0										0																																					0
для всех n . Таким образом,																								u r,									3	r cos															1		r3 cos3 .
для всех n . Таким образом,																								u r,										r cos																	r3 cos3 .
																																	2																2
Проверка:
u 1,					3			cos						1		cos3								3		cos						1	4cos3										3cos 2cos3																						– верно.
u 1,								cos								cos3										cos							4cos3										3cos 2cos3																						– верно.
					2								2											2						2
2													2															3										3			2																3						9		3
r urr	rur					u r									3r cos3 r															cos										r				cos3														r cos						r		cos3
r urr	rur					u r									3r cos3 r													2		cos								2		r				cos3													2	r cos					2	r		cos3
																												2										2																			2						2
																														190

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2519 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.04.20231.69 Mб1paIU8PM57U.pdf
#
15.04.20231.09 Mб4pqcaxl7Go5.pdf
#
15.04.20232.68 Mб0PsZXeJCmaB.pdf
#
15.04.20231.02 Mб1ptPjNrUiRy.pdf
#
15.04.20231.54 Mб1PytPajB0Au.pdf
#
15.04.20234.97 Mб2QalOGUGtk0.pdf
#
15.04.20232.69 Mб1QhmOWHGetC.pdf
#
15.04.2023366.95 Кб0qQ3sg7Ypr6.pdf
#
15.04.20232.58 Mб0qS9WwoWrVT.pdf
#
15.04.20231.35 Mб2qSV1eADeIc.pdf
#
15.04.20231.05 Mб5r0kXcq8l3c.pdf