Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Мурманский арктический государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

QalOGUGtk0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2023

Размер:

4.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2515 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

4. Фермер предполагает продать картофеля на 20% меньше, чем в прошлом году. На сколько процентов ему надо повысить цену на картофель, чтобы получить за него на 4% больше денег, чем в прошлом году?

Решение. Пусть x количество кг картофеля, которое продал фермер в прошлом году, y цена одного кг картофеля в прошлом году, p число процентов, на которое планирует повысить цену фермер. Тогда xy количество денег, полученных в прошлом году, x 0, 2x 0,8x количество кг картофеля, которое планирует продать ферма в этом году, xy 0, 04xy планируемая стоимость картофеля. По условию xy 0, 04xy

	p				p	104 0,8 100 p 24
0,8xy 1		1, 04 0,8	1				0,8 p p 30.	От-

	100			100

вет: 30.

5. Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в которой 75% меди. Сколько килограммов меди было в куске латуни первоначально?

Решение. Пусть в куске латуни первоначально было x кг меди, тогда цинка в нём - (x 11) кг. По условию

0, 75 (x 12) /(x 12 x 11) 6x 3 4x 48 x 22, 5.

6. Смешав 70%-й и 60%-й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50%-й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90%-го раствора той же кислоты, то получили бы 70%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 70%-го раствора использовали для получения смеси?

Решение.		Пусть смешали x кг 70%-го и y кг 60%-го раствора кислоты.
Получим два уравнения:
1)		0, 7x 0, 6 y		50	7x 6 y 5x 5y 10 2x y 10;		2)

		x y 2		100
	0, 7x 0, 6 y 0, 9 2		70

	x y 2		100
7x 6 y 18 7x 7 y 14 y 4 .						Из первого уравнения находим x 3.	От-
вет: 3.

7. Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды – 22 года. Во время матча один из игроков получил травму и ушёл с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 21 году. Сколько лет футболисту, получившему травму?

141

Решение.

10	10	10
ai a11 11 22,	ai 10 21 a11 11 22 10 21 242 210 32. ( ai суммар-
i 1	i 1	i 1
ный возраст десяти футболистов, оставшихся на поле,		a11 возраст футбо-
листа, получившего травму). Ответ: 32.

8. Из пункта A в пункт B вниз по течению реки отправились одновременно моторная лодка и байдарка. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Последнюю 1/ 7 часть пути моторная лодка шла с выключенным мотором, и её скорость относительно берега была равна скорости течения. На той части пути, где моторная лодка шла с включённым мотором, её скорость была на 2 км/ч больше скорости байдарки. Найдите скорость байдарки в неподвижной воде, если в пункт B байдарка и моторная лодка прибыли одновременно.

Решение. Пусть S расстояние между пунктами A и B, v скорость байдарки в неподвижной воде, t время нахождения в пути лодки и байдарки.

По условию

(6 / 7)S

(1/ 7)S

. Получили уравнение

(6 / 7)S

v 3

v 5

v 3 2

(1/ 7)S

v 3

7v 35 6v 18

3(v 17) (v 3)(v 5) 3v 51 .

7(v

7(v 3)(v 5)

8v 15 v2

5v 36 0 Условиям задачи удовлетворяет v 4.

От-

вет: 4.

9. Две трубы вместе наполняют бассейн за 3 ч. Одна первая труба может наполнить бассейн на 2,5 часа быстрее, чем одна вторая труба. За сколько часов может наполнить бассейн одна первая труба?

Решение. Пусть первая труба может наполнить бассейн за x часов. Тогда

1	1	1
x	x 2,5	3
			x(x 2,5) x2 3,5x 7,5 0 x1,2 0, 5 3, 5

3(2x 2, 5)				12, 25 30

0, 5(3, 5 6, 5) x 0, 5 10 5. Ответ: 5.

10. Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью по 80 т, но один вагон оказался загружен не полностью. Тогда весь груз переложили в вагоны вместимостью по 60 т, однако понадобилось на 8 вагонов больше и при этом всё равно один вагон остался не полностью загруженным. Наконец груз переложили в вагоны вместимостью по 50 т, однако понадобилось ещё на 5 вагонов больше, при этом все такие вагоны были загружены полностью. Сколько тонн груза было?

142

Решение. Пусть n число вагонов (первоначальное), m вес груза. Составим систему

80(n 1) m 80n		50(n 13) 80n

	80(n 1)
60(n 7) m 60(n 8)
50(n 13) m	60(n 7)		50(n 13)	60(n 8)

8n 8 5n 65 8n

6n 42 5n 65 6n 48

65 3n 73

n 22, m 50 (22 13) 1750 т. Ответ: 1750 т.

17 n 23

11. Два поезда вышли навстречу друг другу из пунктов А и В. Встретившись на промежуточной станции, поезда продолжили движение и первый из них прибыл в пункт В через 2 часа, второй – в пункт А через 8 часов после встречи. За сколько часов первый поезд проходит расстояние от А до В?

Решение. Пусть vA и vB скорости поездов, вышедших из пунктов А и В соответственно, t время движения поездов до встречи в пункте С. По

условию vA t AC 8vB , vB t BC
2vA .Перемножим левые и правые части равенств,	получим
vA t vB t 8vB 2vA
t2 16 t 4. Первый поезд проходит расстояние от А до В	за 4 2 6
часов. Ответ: 6.
Задания для самостоятельной работы

1.Бронза – сплав меди и олова. В древности из бронзы отливали колокола, если в ней содержалось 75% меди. К бронзе, содержащей 70% меди, добавили 100 кг меди и получили бронзу, необходимую для изготовления колокола. Определите массу (в кг) полученной бронзы.

. Ответ: 600.

2.На экзамене школьникам были выставлены оценки «2», «3», «4», «5». Оценки «2» и «3» получили одинаковое число учащихся. Оценок «5» было выставлено в 2 раза меньше, чем «2» или «3», а оценок «4» было поставлено больше, чем «2», «3» и «5» вместе взятых. Оценки выше «3» получили менее 14 человек. Сколько выставлено четвёрок, если экзаменовалось не

менее 20 человек?

Ответ: 11.

3. Велосипедист отправился с некоторой скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 88 км. Возвращаясь из В в А, он ехал поначалу с той же скоростью, но через один час пути вынужден был сделать остановку на 15 мин. После этого он продолжил путь в А, увеличив скорость на 2 км/ч, и в результате затратил на обратный путь столько же

143

времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ: 22.

4. Двум операторам поручили набрать на компьютере текст книги объёмом 315 страниц. Один оператор, отдав второму 171 страницу книги, взял остальные страницы себе. Первый выполнил свою работу за 12 дней, а второй свою – за 19 . Сколько страниц книги должен был взять себе первый оператор (отдав остальные второму), чтобы они, работая с прежней произ-

водительностью, выполнили свою работу за равное число дней?

Ответ:

180.

Значение выражения

1. Найдите значение выражения 4 (x 3)4

4 (x 7,5)4

, если 3,1 x 7, 2.

Решение.

4 (x 3)4 4 (x 7,5)4 | x 3 | | x 7,5 | x 3 x 7,5 4,5.

Ответ: 4,5.

2. Найдите значение выражения

при x 9, 693.

x 6

x 9

x 6 x 9

Решение.

x 6

x 9

x 6

x 9

x 9 6

x 9 9

x 9 6

x 9 9

( x 9 3)2 (

x 9 3)2 |

x 9 3| |

x 9 3| 3 x 9 x 9 3 6.

Ответ: 6.

3. Вычислите значение выражения

log9 cos

log9

log9 cos

sin

Решение.

log9 cos

log9

sin

log9

6 cos(2 / 5) cos( /10)

sin( / 5)

log

3(cos( / 2) cos(3 /10))

log

3cos(( / 2) ( / 5))

log

3sin( / 5)

log

3 0,5.

sin( / 5)

Ответ: 0, 5.

log6 7

log8 9

4. Найдите значение выражения

0,1 13 .

log

log 1

log6 7

log8 9

Решение. 1) 25log6 5 25log5 7 5log5 72

49. 2) 36log8 6

36log6 9

81.

4) 49 81 13 1

3) 0,1log13110 0,1log13 10

0,1lg13

13 1.

130 13 1 10.

Ответ: 10.

144

10 cos2

5. Найдите значение выражения

ctg

sin

10 cos2

sin

10 cos

sin

5sin

Решение.

5. От-

ctg

sin

cos

sin

вет: -5.

6. Найдите значение выражения

log7 5

9log7 3 log3 11 log2 sin( / 3) log2 12 0,5log22 3 .


				log7 5
Решение.	1)		9log7 3 9log3 5 32log3 5 25.		2)
log2 sin( / 3)
log2 sin( / 3)	log2 (	3 / 2) log2		3 log2 2
0,5log2 3 1.	3) log2 12 log2 4 log2 3 2 log2 3.
4) 11 0,5log2 3 1 2 log2 3 0,5log22 3 11 2 9. 5)					25 log3 9 25 2 27. От-

вет: 27.

Задания для самостоятельной работы

1.					Вычислите								значение					выражения
		2			6			1		7
6 log27 sin			log27 sin		6 log27				cos		.
6 log27 sin		3	log27 sin	9	6 log27				cos	18	.
		3		9				2		18
Ответ: 1.
								2 1 log5 4)0,5. Ответ: 1,5.
2.	Вычислите log5 (12,5					5) (log52		2 1 log5 4)0,5. Ответ: 1,5.
											18
	Найдите значение выражения 27 10, 6																. Ответ:
3.											33		9, 6 3	9		5		1.
3.											33	9	9, 6 3	9	3	5		1.
4.	Вычислите значение выражения 625 cos( /12) sin(13 /12) . Ответ: 5.
5.							Вычислите						значение					выражения

log4 sin( /12) log4 sin( / 6) log4 sin(5 /12).

Ответ: 1, 5.

6. Найдите значение выражения log2 562 log22 7 1 log2 49 0,5 . Ответ:

4, 5.

7. Определить, какое из двух чисел больше: 3log2 5 10(lg 2) / 3 или 5log2 3 1010.

145

Ответ: Первое число больше второго.

Экстремум, наибольшее и наименьшее значения функции

32 32 cos2

( x)

1. Найдите точки минимума функции

f (x) 30x

7, 2x

sin2 ( x)

Решение. На ОДЗ (sin( x) 0, x )

f (x) 30x4

32 32 cos2 ( x)

x3 7, 2x2

sin2 ( x)

30x4 32x3 7, 2x2 .

f (x)

120x3 96x2

14, 4x 24x(5x2 4x 0, 6). f (x) 0 x

ОДЗ,

x2 0, 2,

x3 0, 6 точка минимума. Ответ: 0,6.

2. Найдите точки максимума функции f (x) 3x2

16 8x2 x4

2x3

6x2 .

4 x2

Решение.

f (x) 3x2

16 8x2 x4

2x3

6x2 3x2

(4 x2 )2

2x3 6x2

4 x2

18x

12x

). f

(x) 0 x 2

2). f (x) 36x 6x

6x(6 x 2x

ОДЗ, x 0,

x 1,5.

Ответ: 1,5.

3. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функ-

ции y 16 x2 на отрезке [ 7; 23].

Решение.

Ясно, что ymax y(0) 4.

На отрезке [

0] y возрастает, на от-

резке [0; 2

3] y

убывает, поэтому ymin min{y(

7);

y(2 3)} min{3;

2} 2. ymax ymin

4 2 2.

2 в точке мини-

4. Найдите значение функции

f (x) 1,5x4 4x3 8x2

4 x2

мума.

Решение.

ОДЗ:

x [ 2; 2].

На

ОДЗ

f (x) 1,5x4

4x3 9x2 4, f (x) 6x3 12x2 18x

6x(x2 2x 3) 6x(x 1)(x 3). Точки минимума x 3 ОДЗ и x 1.

f (1) 0,5.

Ответ: 0,5.

5. Укажите наибольшее значение функции y 2

cos x (5 / 8)

на отрезке

[ / 8; 3 / 8].

Решение.

Функция

cos t

(t x 5 / 8)

убывает

на

отрезке

[3 / 4;

] ,

поэтому

y 3 / 4 2

yнаиб

2 cos(3 / 4)

2 ( 2 / 2) 2. Ответ: 2.

146

6. Найдите количество точек на графике функции y (4x2 5x 1) / x,

в кото-

рых касательная параллельна или совпадает с прямой y 6x 1.

Решение.

y (4x 5 (1/ x)) 4 (1/ x2 );

y 6 4 (1/ x2 ) 6 x2

1/ 2 x 1/ 2.

Ответ: 2.

7. Найдите количество точек на графике функции

y (

3x) /(x2 1),

в кото-

рых угол наклона касательной к оси Ox равен 60 .

Решение. По условию y

3(x2 1) 3x 2x

tg 60

Получили уравне-

(x2 1)2

ние x2 1 2x2 x4 2x2 1 x2 (x2 3) 0 x 0. Ответ: 1.

8. Найдите наибольшее значение периметра прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат, и с диагональю OM , где O начало координат, а M точка на графике функции y 7 ln(10 x) x, 6 x 7.

Решение. Периметр прямоугольника P 2x 2 y 4x 14 ln(10 x) g(x) . Ре-

шая уравнение g (x) 0 4	14	0	26 4x	0 , находим критическую
	10 x		10 x

точку x 6, 5 . Производная меняет знак с «+» на «−», следовательно,

x 6, 5 точка максимума, Pнаиб 26 14 ln 3, 5. Ответ: 26 14 ln 3, 5.

Задания для самостоятельной работы

1. Укажите наименьшее значение функции

[(5 /12); (7 /12)].

Ответ: 3.

2. Найдите наибольшее значение функции


f (x)	4 x2 5	4 x2 2x3 x2 .

6 sin(x ( / 4)) на отрезке

Ответ:		17.
	Найдите значение функции f (x) (0,5)log0,5 (2 x 4) log2			x3 6 x
3.	Найдите значение функции f (x) (0,5)log0,5 (2 x 4) log2			2 x 4	в точке максимума.
Ответ:
Ответ:		4 2.
			Свойства функций
1.	Нечётная функция y f (x) определена на всей числовой прямой. Для

всякого неотрицательного значения переменной x значение этой функции

147

совпадает со значением функции g(x) 2x(x 4)(2x 1).

Найдите значение

h( 1) функции h(x)

f (x) 2g(x)

2 f (x) g(x)

Решение. Так как g(1) 10,

то

f ( 1) g(1) 10 , поэтому

h( 1)

f ( 1) 2g( 1)

10 2 18

13.

2 10 18

2 f ( 1) g( 1)

2. Чётная функция

y f (x)

определена на всей числовой прямой. Для

функции g(x) 3, 9

f (x 4, 5)

вычислите сумму g(4) g(5).

x 4, 5

Решение.

g(4) g(5) 3, 9

f (4 4, 5)

3, 9

f (5 4, 5)

7,8 2 f ( 0, 5) 2 f (0, 5) 7,8.

4 4, 5

5 4, 5

Ответ: 7,8.

3. Даны чётная функция

y f (x) и нечётная функция

y g(x). Найдите

сумму корней уравнения

f (x) g(x), если для всех действительных значе-

ний x выполняется равенство f (x) g(x) x2 9x 4.

Решение.		f (x) x2 4, g(x) 9x. f (x) g(x) x2						4 9x x2 9x 4 0
x1 x2 9. Ответ: -9.
4. Чётная функция				y f (x) определена на всей числовой прямой. Для вся-
кого неотрицательного значения переменной x								значение	f (x) совпадает со
значением		g(x) (5x 1)(4x 3)(x 3).					Сколько	корней	имеет	уравнение
f (x) 0 ?
Решение. При x 0 уравнение					f (x) 0 имеет единственный корень						x 3. В
силу чётности функции f (x)					уравнение имеет ещё один корень						x 3.
Ответ: 2.
					Уравнения
1. Решите уравнение cos 6x						2
					4 x2		x2 3.
Решение.				На			ОДЗ			(x [ 2; 2])
cos 6x			2 x2
	4 x2			3 cos 6x 1 x k / 3, k				. Отрезку [ 2;		2] принад-
лежат три корня: 0,				/ 3.

2. Решите уравнение cos2 2x 4cos 2x 4 sin2 4x 1 2 / 2 cos2 x.

148

4sin2 5 x cos2 5 x sin2 (3 / 2) 10 x

3 / 2

Решение.

cos2 2x 4 cos 2x 4 sin2 4x 1 2 / 2 cos2 x | cos 2x 2 | 2 2 / 2 0

cos 2x 2 2

2 / 2 0

cos 2x 2 / 2 2x ( / 4) 2 k, x ( / 8) k,

k .

3. Решите уравнение x2 2x 3 3

x 1.

Решение.

ОДЗ

x [ 1; ).

На

ОДЗ

f (x) x2 2x 3

возрастает,

g(x) 3 x 1 убывает, поэтому уравнение

f (x) g(x) имеет не более одно-

го корня. Подбором находим x 2.

Ответ: x 2.

4. Решите уравнение

4 (4x 7)2 sin2 (8 x / 7) 2.

Решение.

4 (4x 7)2 2 sin2 (8 x / 7) 2

4 (4x 7)2

2 sin2 (8 x / 7) 2.

что 4x 7 0 x 7 / 4.

Из уравнения

4 (4x 7)2 2 следует,

Проверим,

удовлетворяет

ли

x 7 / 4 уравнению

2 sin2 (8 x / 7) 2 sin2 (8 x / 7) 0.

sin2 ( 8 7 / 4 7) sin2 ( 2 ) 0.

Ответ: x 7 / 4 .

5. Решите уравнение

25 10x x2 2 x 5 8.

Решение.

На

ОДЗ

(x 5)

25 10x x2

x 5 8 (x 5) 2

x 5 8 t 2 2t 8 0,

где

t x 5 0.

t 2 [0; ), t 4 x 5 4 x 21. Ответ: x 21.

6. Определите число корней уравнения tg 3x cos x sin x sin 2x на отрезке

( / 3);

(5 / 3) .

Решение.

tg 3x cos x sin x sin 2x

sin 3x cos x sin x cos 3x

sin 2x

cos 3x

sin 2x 0

2x k

x ( k / 2),

sin 2x 1

0 cos 3x 1

3x 2 n

x (2 n / 3),

cos 3x

cos 3x 0

3x ( / 2)

x ( / 6) ( m / 3),

m .

Отрезку ( / 3);

(5 / 3) принадлежат следующие корни уравнений:

1) sin 2x 0 : x / 2; ; 3 / 2;

2) cos3x 1: 2 / 3;

4 / 3, однако числа / 2 и

не принадлежат ОДЗ исходного уравнения. Ответ: 3 .

7. Найдите сумму корней уравнения

149

sin 3 5 x

cos

3 x

, принадлежащих отрезку [ 1;

3].

cos (3 / 2) 5 x

sin 3 5 x

Решение. 4sin 5 x cos

5 x sin

10 x

cos

cos (3 / 2) 5 x

sin 5 x

cos(3 x / 2) 0

3 x / 2 ( / 2) k

sin2 10x cos2 10x

cos

sin 5 x

5 x

x (1 2k) / 3, k

Отрезку [ 1;

3] принадлежат следующие корни

x n / 5,

уравнения:

1/3, 1/3, 5/3, 7/3. Сумма корней равна 4.

Ответ: 4 .

8. Дано уравнение sin((3 / 2) 2x) sin x. a) Решите уравнение; б) Укажите

корни уравнения, принадлежащие отрезку [3 / 2;

5 / 2].

Решение. а) sin((3 / 2) 2x) sin x cos 2x sin x 2sin2 x sin x 1 0

1) sin x 1 x ( / 2)

2 k; 2)

sin x 0,5 x / 6 2 k

или x 5 / 6 2 k, k . б)

x 11 / 6,

5 / 2.

9. Решите уравнение

42,5x 9

x2 11

24 x 8

x2 11

8x 1.

Решение. 42,5x 9

x2 11 24 x 8

x2 11

8x 1

25 x 18 2

x2 11

24x 8 x2 11

23x 3 . Поделим

обе части уравнения на

23x 3.

Получим

22 x 21 2

x2 11 2x 11 x2 11

Пусть

2 x 11

t, t 0.

Тогда

Исходное уравнение

2x 11 x

22x 21 2 x

примет

вид

2t2 t 1 0,

корни

которого

t 0, 5 (0; )

t 1

2x 11 x2 11 1 x 11 x2 11 0 x2 11 11 x

x2 11 121 22x x2 x 6.

Ответ: 6 .

10. Решите уравнение log5 4x 5 2

25 2 sin2 8 x .

Решение. Так как log5 4x 5 2

25 log5 25 2 2 sin2 8 x , то исходное

уравнение

log5 4x 5

25 2

5 0

равносильно системе

Ответ:

sin

8 x 2

sin 8 x

1, 25.

11. Решите уравнение

4 log2

8 3log2 2

2x 5

x 1

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2515 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.04.20231.69 Mб1paIU8PM57U.pdf
#
15.04.20231.09 Mб4pqcaxl7Go5.pdf
#
15.04.20232.68 Mб0PsZXeJCmaB.pdf
#
15.04.20231.02 Mб1ptPjNrUiRy.pdf
#
15.04.20231.54 Mб1PytPajB0Au.pdf
#
15.04.20234.97 Mб2QalOGUGtk0.pdf
#
15.04.20232.69 Mб1QhmOWHGetC.pdf
#
15.04.2023366.95 Кб0qQ3sg7Ypr6.pdf
#
15.04.20232.58 Mб0qS9WwoWrVT.pdf
#
15.04.20231.35 Mб2qSV1eADeIc.pdf
#
15.04.20231.05 Mб5r0kXcq8l3c.pdf