QalOGUGtk0

Локальные минимумы и максимумы функционала называются его локальными экстремумами.

Замечание 1. Всякий сильный экстремум функционала является и слабым, а обратное, вообще говоря, неверно. Поэтому любое условие, необходимое для слабого экстремума, необходимо и для сильного.

частные производные до второго порядка включительно.

Теорема 3. Для того, чтобы функционал (3) достигал на функции y x (из

некоторого класса M функций) слабого экстремума, необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера (впервые им было опубликовано в 1744 году, Леонард Эйлер (1707 – 1783) – великий математик, большую часть своей жизни провел в России, по происхождению швейцарец):

Fy dxd Fy ' 0 .

Замечание 2. Уравнение Fy dxd Fy ' 0 в развернутом виде записывается

так: Fy Fxy ' Fyy ' y ' Fy ' y ' y '' 0 . Интегральные кривые уравнения Эйлера y y x, C1, C2 называются экстремалями. Только на экстремалях

может достигаться экстремум функционала (3). Для нахождения кривой, реализующей экстремум функционала (3), надо проинтегрировать уравнение Эйлера и определить обе произвольные постоянные, входящие в общее решение этого уравнения, из условий на границе y x0 y0 , y x1 y1 .

Только на удовлетворяющих этим условиям экстремалях может реализовываться экстремум функционала.

Замечание 3. Так как всякий сильный экстремум функционала является и слабым, то теорема 3 дает необходимое условие и сильного экстремума функционала (3).

212

y* x Acos x B sin x . Тогда y * ' Acos x B sin x x Asin x B cos x , y *" Asin x B cos x Asin x

B cos x x Acos x B sin x 2Asin x 2B cos x x Acos x B sin x

x Acos x B sin x 2cos x 2Asin x 2B cos x 2cos x A 0, B 1.

Значит, y* xsin x . Тогда y y y* C1 cos x C2 sin x xsin x .

y ex ln x .

Ответ: y ex ln x .

Литература.

1.Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Физматлит, 2005.

2.Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М., Физматлит, 2007.

3.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1965.

4.Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2006.

5.Вуколов Э. А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко А.М. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990.

214

Побойкин В.Я.

Некоторые задачи численных методов

В данной статье рассматриваются решения заданий Государственно-

го экзамена ФГБОУВО Мурманского государственного гуманитарного

университета относящиеся к дисциплине "Численные методы"

Задача 1. Решить уравнение ln(2x) x 5 0 .

а) Отделить корень(ни) аналитически.

б) Уточнить корень(ни) уравнения методом половинного деления с точно-

стью 0.0001.

Решение.

Запишем уравнение в виде ln(2x) 5 x . Пусть f (x) ln(2x), g(x) 5 x .

Функция f(x) возрастает на всей области определения, g(x) – убывает. Сле-

довательно, исходное уравнение имеет не более одного корня. Заметим,

g(x) непрерывны на промежутке от 0.5 до 6, следовательно, на нем исход-

#include <stdio.h> // указываем компилятору на необходимость подключить заголовочный файл стандартной библиотеки ввода/вывода

#include <conio.h> // библиотека необходимая для оператора getch();

#include <math.h> // подключение математической библиотеки float f(float y) // задаем функцию f(х)

{

return log(2*y)+y-5;//возвращаемое значение

}

void main()

{

float a=0.5, b=6, e=0.0001, x;// объявление переменных while (fabs(a-b)>=e) // цикл

215

{

if((f(a)*f((a+b)/2))<0) // выбираем промежуток, на концах которого функция f(x) принимает разные знаки.

b=(a+b)/2; else a=(a+b)/2;

}

x=(a+b)/2;// вычисление х после завершения цикла

printf("x=%f F(x)=%f |a-b|=%f",x,f(x),fabs(a-b)); // вывод результа-

тов

getch();

}

Результат программы:

- на языке Pascal ABC:

program Metod_dihotomii; type

real_function = function (x: Real): Real; function F(x: Real): Real;

begin

F := Ln(2*x)+ x - 5 ; // задаем функцию end;

var

a, b, c, e:Real; begin

e:=0.0001;

a:=0.5;

b:=6;

while Abs(a-b) > e do // цикл begin

if F(a)*F((a+b)/2) <= 0 then b:=(a+b)/2 // выбираем ту половину промежутка, которому принадлежит корень уравнения

else a:=(a+b)/2

end;

WriteLn('x=',(a+b)/2,' F(x)=',F((a+b)/2)); // вывод результата end.

Результат программы:

216

Задача 2.

Решить уравнение x ln x 1 0 .

а) Отделить корень(ни) аналитически.

б) Уточнить корень(ни) уравнения методом простых итераций с точностью

0.00001.

Решение.

Запишем уравнение в виде ln(x) 1 x . Пусть f (x) ln(x), g(x) 1 x .

Функция f(x) возрастает на всей области определения, g(x) – убывает. Сле-

довательно, исходное уравнение имеет не более одного корня. Заметим,

ходное уравнение в виде x (x) . Для сходимости итерационного процес-

c 0.1 условие сходимости будет выполнятся на всём рассматриваемом

промежутке. Таким образом, имеем расчетную формулу: xn 1 xn 0.1 (xn ln xn 1) .

- на языке С++:

#include <stdio.h> // подключаем стандартную библиотеку ввода/вывода

217

#include <conio.h> // библиотека необходимая для оператора getch();

#include <math.h> // подключение математической библиотеки float f(float y) // задаем расчетную формулу, как функцию f(х)

{

return y-0.1*(y+log(y)+1);//возвращаемое значение

}

void main()

{

float x=0.5, e=0.00001;// объявление переменных, начальное значение x берем 0.5

while (fabs(x-f(x))>=e) // цикл, повторяющийся до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность

{

x=f(x);

}

x=f(x);

printf("x=%f F(x)=%f",x,x+1+log(x)); // вывод результатов getch();

}

Результат программы:

- на языке Pascal ABC:

program Metod_iteracii; type

real_function = function (x: Real): Real; function F(x: Real): Real;

begin

F := x-0.1*(Ln(x)+1+x) ; // задаем расчетную формулу, как функцию end;

var

x, r, e:Real; begin

e:=0.00001;

x:=0.5;

while Abs(x-f(x)) >= e do // цикл, повторяющийся до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность

begin x:=f(x);

end;

x:=f(x);

r:= Ln(x)+1+x; // осуществляем проверку, подставляя найденный корень в исходное

Результат программы:

218

Задача 3.

Решить уравнение 3 x x 4 0 .

а) Отделить корень(ни) аналитически.

б) Уточнить корень(ни) уравнения комбинированным методом хорд и ка-

Следовательно, исходное уравнение имеет не более одного корня. Заме-

тим, что

промежутке от –3 до 3, следовательно, на нем исходное уравнение имеет

Представим программы уточняющие искомый корень:

- на языке С++:

#include <stdio.h> // подключаем стандартную библиотеку ввода/вывода #include <conio.h> // библиотека необходимая для оператора getch();

#include <math.h> // подключение математической библиотеки

219

float f(float y) // задаем функцию f(х)

{

return powf(3,-y)-y-4;//возвращаемое значение

}

float g(float z) // задаем производную функции f(х)

{

return -powf(3,-z)*(logf(3))-1;//возвращаемое значение

}

void main()

{

float a=-3, b=3, e=0.00001, x;// объявление переменных

while ((b-a)>=e) // цикл, повторяющийся до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность

{

a=a-(f(a)/g(a)); // метод касательных для левого конца промежутка b=b-f(b)*(b-a)/(f(b)-f(a)); // метод хорд для правого конца промежутка

}

x=(a+b)/2;// вычисление х после завершения цикла printf("x=%f F(x)=%f",x,f(x)); // вывод результатов getch();

}

Результат программы:

- на языке Pascal ABC:

program Metod_hord_i_kasatelnih; type

real_function = function (x: Real): Real; function F(x: Real): Real;

begin

F := power(3,-x)-x-4 ; // задаем функцию f(x) end;

type

real_function1 = function (z: Real): Real; function G(z: Real): Real;

begin

G := -power(3,-z)*Ln(3)-1 ; // задаем производную функции f(x) end;

var

a, b,r, x, e:Real; begin

a:=-3; b:=3; e:=0.00001;

220