QalOGUGtk0

3r3 cos3 32 r cos 32 r3 cos3 32 r cos 92 r3 cos3 0 – верно. Ответ: u r, 32 r cos 12 r3 cos3 .

Литература

1.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., МГУ – Наука, 2004.

2.Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. М.,

Наука, 1964.

3.Вуколов Э. А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко А.М. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990.

4.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. Санкт-Петербург – Москва – Краснодар, Лань, 2005

191

Мартынов О.М.

Задачи для подготовки к междисциплинарному экзамену по дисциплине «Методы оптимизации» (специальность «Прикладная математика

и информатика»)

Вариационными задачами называются задачи о поиске экстремума функционалов.

Определение 1. Переменная величина v называется функционалом, зависящим от функции y x , если каждой функции y x из некоторого класса

линейного нормированного пространства функций, в котором каждому элементу y x поставлено в соответствие действительное число y , называемое нормой элемента, при этом выполняются следующие условия:

1) y 0 и y =0 тогда и только тогда, когда y 0 (0 – нулевой элемент);

2) y y ;

3) y z y z

для любых элементов y, z , принадлежащих пространству, и любого действительного числа .

Далее, в основном, будем рассматривать пространства C0 и C1 . Пространство C 0 x0 , x1 состоит из непрерывных функций (кривых) y x , опре-

192

прерывную производную. В пространстве C1 x0 , x1 норма вводится следующим образом:

Аналогично вводится норма в пространстве C m x0 , x1 функций, имеющих непрерывные производные до порядка m включительно, то есть

Определение 4. Кривые y x , на которых сравниваются значения функционала, называются допустимыми кривыми или кривыми сравнения. Определение 5. Обозначим через y x допустимую кривую, на которой

Вариация y x есть функция x и принадлежит тому же функциональному пространству, что и функция y x . Используя вариацию y x , можно

представить любую допустимую кривую y x в виде

y x y x y x .

Используется так же и другая запись

y x y x y x ,

где y x – фиксированная функция, а – числовой параметр. Очевидно,

частные производные до второго порядка включительно. Эта задача называется простейшей задачей вариационного исчисления.

Теорема 2. Для того, чтобы функционал (1) достигал на функции y x (из

некоторого класса M функций) слабого экстремума, необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера (впервые им было опубликовано в 1744 году, Леонард Эйлер (1707 – 1783) – великий математик, большую часть своей жизни провел в России, по происхождению швейцарец):

Fy dxd Fy ' 0 .

Замечание 2. Уравнение Fy dxd Fy ' 0 в развернутом виде записывается

так: Fy Fxy ' Fyy ' y ' Fy ' y ' y '' 0 . Интегральные кривые уравнения Эйлера y y x, C1, C2 называются экстремалями. Только на экстремалях

может достигаться экстремум функционала (1). Для нахождения кривой, реализующей экстремум функционала (1), надо проинтегрировать уравнение Эйлера и определить обе произвольные постоянные, входящие в общее решение этого уравнения, из условий на границе y x0 y0 , y x1 y1 .

Только на удовлетворяющих этим условиям экстремалях может реализовываться экстремум функционала.

Замечание 3. Так как всякий сильный экстремум функционала является и слабым, то теорема 2 дает необходимое условие и сильного экстремума функционала (1).

Далее рассмотрим два обобщения простейшей задачи вариационного ис-

C1x C2 C1 ex C1exdx C3x C4 C1x C2 2C1 ex C3x C4 .

Для определения констант C1, C2, C3, C4 воспользуемся граничными условиями:

Следовательно, искомая экстремаль имеет вид y xex .

Ответ: y xex .

Другим обобщением простейшей задачи вариационного исчисления является задача об экстремуме функционала, зависящего от нескольких функций:

изводные до второго порядка включительно по всем своим аргументам и yk x C1 x0 , x1 , k 1, ... , n.

Граничные условия в этой задаче имеют вид

Теорема 4. Для того, чтобы набор функций y1 x , ... , yn x C1 x0 , x1

доставлял слабый экстремум функционалу (5), необходимо, чтобы эти функции удовлетворяли системе дифференциальных уравнений Эйлера

Fyk dxd Fyk' 0, k 1, ... , n .

Пример 2. Найти функции y1 x и y2 x C1 x0 , x1 , на которых может достигаться экстремум функционала v y1, y2 при указанных граничных

197

довательно, система уравнений Эйлера имеет вид:

Рассмотрим теперь вариационные задачи на условный экстремум. Задачи вариационного исчисления, в которых на искомые функции накладываются, кроме граничных условий, дополнительные ограничения, называются задачами на условный экстремум.

Рассмотрим следующую задачу об экстремуме функционала (5), зависящего от нескольких функций, с граничными условиями (6), при дополнительных ограничениях, заданных уравнениями связи

Эта задача вариационного исчисления называется задачей Лагранжа (Жо- зеф-Луи Лагранж (1736 – 1813) – французский математик и механик). Введем функцию Лагранжа рассматриваемой задачи

При решении задачи Лагранжа используется следующее необходимое условие экстремума функционала (5).

Теорема 5. Если функции y1 x , ... , yn x доставляют слабый экстремум функционалу (5) при условиях (6), (7), то существуют множители Лагран-

При использовании теоремы 5 для решения задачи Лагранжа искомые