QalOGUGtk0

Теорема. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения

линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид

где k n, aii 0, i 1, k . Коэффициенты aii называются главными элементами

системы.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Опишем метод Гаусса подробнее. Прямой ход.

Будем считать, что элемент (если , то первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при x1 отличен от нуля).

Преобразуем систему (*), исключив известное x1 во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразовании я системы). Для

вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения

на a31 и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс,

a11

получим эквивалентную систему

11

Здесь aij(1) , bi(1) , (i, j 2, m) - новые значения коэффициентов и правых частей,

которые получаются после первого шага.

Аналогичным образом, считая главным элементом a22(1) 0 , исключим неизвестное x2 из всех уравнений системы, кроме первого и второго, и так

далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.

Если в процессе приведения системы (*) к ступенчатому виду появляются нулевые уравнения, т.е. равенства вида 0=0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида 0x1 0x2 0xn b , а b 0 , то это свидетель-

ствует о несовместности системы.

Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное xk через остальные неизвестные (xk 1, , xn ) . Затем

представляем значение xk в предпоследнее уравнение системы и выражаем

xk 1 через (xk 1, , xn ) и т.д. Подставляя вместо (xk 1, , xn ) произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.

Замечания: 1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т.е. k n , то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим xn , из предпоследнего уравнения xn 1 , далее поднима-

ясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные (xn 2 , , x1 ) .

2.На практике удобнее работать не с системой (*), а с расширенной

еематрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками.

a)Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

x1 x2 x3 2x4 x5 2,x1 2x2 3x3 x4 x5 0,

2x1 x2 2x3 3x4 2.

Решение:

Составим расширенную матрицу системы:

1) Прямой ход.

12

Итак, получена ступенчатая форма A ' матрицы A . Решим вопрос о совместности данной системы.

rk A rk A' число ступенек A' 2 ; rk A rk A' число ступенек A ' 2 .

Поскольку ,то по теореме Кронекера-Капелли система совместна, и требуется обратный ход метода Гаусса.

2) Обратный ход.

Ведущие элементы ступенек матрицы A ' , находятся в её первом и втором столбцах; следовательно, базисные, или главные, неизвестные суть x1 , x2 , а

свободные, или параметрические, - все остальные, т.е. x3 , x4 , x5 .

Положим для единообразия записи искомого общего решения x3 c1 , x4 c2 , x5 c3 . Выразим x1 , x2 через c1 , c2 , c3 . Сначала рассмотрим уравнение, от-

вечающее последней ступеньке матрицы A ' :

3x2 4x3 x4 2x5 2 . Заменяя в этом уравнении x3 , x4 , x5 на c1, c2 , c3 , соответственно, выразим отсюда x2 через c1, c2,c3 :

x2 43 c1 13 c2 32 c3 32 .

Поднимемся теперь ступенькой выше. Соответствующее уравнение имеет вид:

x1 43 c1 13 c2 23 c3 23 c1 2c2 c3 2 .

Разрешая последнее уравнение относительно x1 , имеем:

x1 13 c1 53 c2 13 c3 2 .

Собирая полученные выражения неизвестных через c1 , c2 , c3 , в систему, образуем искомое общее решение:

13

где c1 , c2 , c3 – независимые свободные числовые параметры.

b) Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

на, и мы найдём её общее решение в результате обратного хода метода Гаусса.

2) Обратный ход.

Ведущие элементы ступенек матрицы A ' , находятся в её первом и втором столбцах; следовательно, в качестве базисных, или главных, неизвестных можно принять x1 , x2 и тогда свободными, или параметрическими, оказы-

ваются все остальные неизвестные системы, т.е. x3 , x4 , x5 . 14

Поднимемся теперь ступенькой выше. Соответствующее уравнение имеет вид:

x1 145 c1 345 c2 385 c3 585 3c1 5c2 7c3 9.

Приводя в этом уравнении подобные члены и разрешая его относительно x1 , имеем:

x1 15 c1 95 c2 53 c3 135 .

Собирая полученные выражения неизвестных в систему, образуем искомое общее решение:

15

Богомолов Р.А. Богомолова И.В.

Геометрический подход к решению систем алгебраических неравенств

Пусть f (x,y) – непрерывная числовая функция двух переменных. Тогда уравнение f (x,y) = 0 определяет на плоскости xOy некоторую линию Г. Линия Г разделяет область определения D функции f на части; говоря точнее, D\Г распадается в объединение попарно непересекающихся максимальных связных компонент – так называемых компонент связности. На каждой компоненте связности функция f (x,y) знакопостоянна; знак f (x,y) на той или иной компоненте связности можно определить, вычислив значение f (x,y) в произвольно взятой («пробной») точке этой компоненты.

Таким образом, решение любого из неравенств f (x,y) < 0, f (x,y) > 0 сводится к определению тех компонент связности, на которых f (x,y) имеет требуемый знак; решением неравенства является объединение подходящих по знаку компонент связности.

Если решают нестрогое неравенство f (x,y) ≤ 0 или f (x,y) ≥ 0, то следует присоединить к найденному решению соответствующего строгого неравенства линию Г, выступающую в роли границы среди множества решений.

При изображении найденного множества решений в виде фигуры в плоскости xOy саму фигуру отмечают штриховкой, части её границы, входящие в множество решений, изображают сплошной линией, а не входящие – пунктиром.

Если решают графически систему неравенств с неизвестными x и y, то решают графически по отдельности каждое неравенство системы: решение самой системы получается как пересечение (общая часть) множеств решений неравенств, составляющих систему.

а) Решить на плоскости xOy графически систему линейных неравенств:

Решение. Каждое неравенство системы имеет первую степень и нестрогое, а потому определяет в плоскости xOy замкнутую полуплоскость, граничная прямая которой задаётся уравнением, получаемым из соответствующего неравенства заменой знака неравенства на знак равенства. Для того,

16

чтобы выбрать нужную из двух образующихся полуплоскостей, удобно использовать метод пробных точек, беря в качестве таковых точки из внутренних частей этих полуплоскостей и подставляя координаты точек в рассматриваемое неравенство. В зависимости от того, будет ли при этом выполняться данное неравенство или нет, выбирается искомая полуплоскость; на чертеже эту полуплоскость следует отметить штриховкой.

Имеем:

y

4

3,6 D

E 3

Итак, решением задачи является пятиугольник ABCDE. Отметим, что, поскольку точки A, B, C, E располагаются на координатных осях, то их координаты очевидны: A(0; 0,5), B(2; 0), C(6; 0), E(0; 3). Точка D есть точка пересечения прямых DEи CD, следовательно, её координаты могут быть найдены из системы уравнений:

x y 32x 3y 12

Имеем:

Значит, D(0,6; 3,6).

б) Решить на плоскости xOy графически систему линейных неравенств:

17

x 2 y 2

2x y 10x 2 y 1

x 0

y 0

Решение. Каждое неравенство системы имеет первую степень и нестрогое, и потому определяет в плоскости xOy замкнутую полуплоскость, граничная прямая которой задаётся уравнением, получаемым из соответствующего неравенства заменой знака неравенства на знак равенства. Для того, чтобы выбрать нужную из двух образующихся полуплоскостей, удобно использовать метод пробных точек, беря в качестве таковых точки из внутренних частей этих полуплоскостей и подставляя координаты точек в рассматриваемое неравенство. В зависимости от того, будет ли при этом выполняться данное неравенство или нет, выбирается искомая полуплоскость; на чертеже эту полуплоскость следует отметить штриховкой.

Имеем:

y

10 D

Итак, решением задачи является четырехугольник ABCD. Отметим, что, поскольку точки A и D лежат на координатных осях, то их координаты очевидны: A(0; 1), D(0; 10).

Точка B есть точка пересечения прямых x 2 y 2 и x 2 y 1, следовательно,

её координаты могут быть найдены из системы уравнений:

x 2 y 2x 2 y 1

18

Значит, C(4,2; 1,6).

19

Богомолов Р.А. Богомолова И.В.

Построение ортонормированных систем векторов методом Грамма-Шмидта

лярным произведением векторов x и y , причем выполняются следующие условия:

1)x, y y, x

2)x1 x2 , y x1, y (x2 , y)

3)x, y x, y , R

Вектор x , норма которого равна единице, называется нормированным.

Для любых векторов x , y эвклидова пространства справедливо неравен-

рованным, если

Если в пространстве E задан произвольный базис e1, e2 ,..., en , то векторы

где образуют ортонормированный базис в этом пространстве (процесс ортонормализации Грамма—Шмидта).

20