Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Мурманский арктический государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

QalOGUGtk0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2023

Размер:

4.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 256 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Решение. Введём подстановку t x 1, x t 1, dt dx . Получим:

arctg

x 1

C .

x 2

2x 4

(t 1)2

2(t 1) 4

t 2

1.7. x arctg x dx .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям: udv uv vdu . В

данном случае: u arctg x, dv x dx, du

, v

. Подставляя эти выраже-

1 x2

ния в формулу, получим:

x 2

arctg x

arctg x C

2(1 x

)

1.8. x 4 4

1 3x5 dx .

Решение.

Введем

подстановку

t 1 3x5 ,

откуда

dt 15x 4 dx . Тогда

dt . Находим полученный табличный интеграл и возвращаемся к

прежней переменной:

t 4

4 t 5

(1 3x5 )5 C .

1.9. sin3 xdx ;

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

sin3 xdx sin2

x sin x dx (1 cos2

x)sin x dx . Введём подстановку cosx t , то-

гда dt sin xdx и получим: (1 t 2 )dt

= t

t 3

cos3 x

cos x C .

1.10. cos4 x sin3 xdx .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

cos4

x sin3 x dx cos4

x sin2

x sin x dx cos4

x(1 cos2

x)sin x dx (cos4

x cos6 x)sin xdx

Введём подстановку cosx t , тогда dt sin xdx. Получим:

(t 4

t 6 )dt

t 7

t 5

cos7 x

cos5

C .

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

4dx

2.1.3 x2 2x .

Решение.

4			dx	4	1	1	1		1		x 2	4	1		1		1		3
				F (4) F (3)				dx		ln				ln		ln		ln		.
		2		F (4) F (3)				dx		ln				ln		ln		ln		.
3	x		2x	3	2 x 2		x		2		x	3	2		2		3		2
3	x		2x	3	2 x 2		x		2		x	3	2		2		3		2

2.2. sin 3x cos2xdx .

Решение.


4
4
sin 3x cos2xdx F		F
	4		4
4



4		cos5x		4
		cos5x		4
	(sin5x sin x)dx		cos x
	(sin5x sin x)dx		cos x
		5
4					4

		5
cos									1	1			2
cos		4
2
			cos					2							.
			cos					2							.
	5				4				5 2	2		5 2


1
2.3.	1 x 2 dx .
0
		1								x				1			1
		1
Решение.						2							2
				1 x			dx F (1) F (0)				1 x					arcsin x	0		.
				1 x			dx F (1) F (0)				1 x					arcsin x			.
		0								2				2				4

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:


									1			dx
												dx		.
											1	x	2	.
									0		1	x
									0
Решение.		Точка x 1 является особой точкой, поскольку подынтеграль-
ная функция имеет в ней бесконечный разрыв. Поэтому:
	1	dx			1		1 x	1	1								1
	1

I lim				lim		ln				limln						ln1		( 0)	- полу-
I lim			2	lim		ln				limln						ln1		( 0)	- полу-
		x	2		2		1 x	0	2						2		2
0	0 1			0						0
	0 1			0						0

чили бесконечный предел.

Таким образом, данный интеграл расходится.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y 1x , y x, x 2 .

Решение. Площадь данной фигуры равна разности площадей криволиней-

ных трапеций, образованных прямой у x и гиперболой	y	1	на отрезке
ных трапеций, образованных прямой у x и гиперболой	y	x	на отрезке
1; 2 .		x
1; 2 .
52

	2
	2		1	x2			2		1		1

S		(x	x	)dx	2	ln x	1	2 ln 2	2	0 1	2	ln 2 .
	1		x		2		1		2		2

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

y 1 x 2 , y 0, x 0 .

Решение. Используем формулу для нахождения объёма тел вращения:

	b
V f 2 (x)dx .
	a
	1		x	3		2
	1			3	1
V		(1 x 2 )dx x					.
V		(1 x 2 )dx x					.
			3		0	3
	0		3		0	3

Верещагин Б.М Верещагина С.А.

Решение задач по теме «Дифференцируемые функции нескольких переменных»

Рассмотрим

функцию f (x)

в некоторой окрестности точки

n . Разность x x a

называют приращением аргумента в точке a .

Если a (a1;a2 ;...;an ) ,

а x (x1; x2 ;...; xn ) , то

x x a (x1 a1; x2

a2;...; xn an ) ( x1; x2;...; xn )

Разность f (x) f (x) f (a) называется приращением функции

f (x)

в точке x a . Это приращение обозначают символом f (x).

Определение 1. Говорят,

что функция

f (x) дифференцируема в точке

x a , если f (x) c1 x1 c2 x2 ... cn xn ( x ) x , где c1;c2 ;...;cn не-

которые действительные числа, а

lim (

) 0.

Линейная относительно

x 0

x функция c1 x1 c2 x2 ... cn xn

называется дифференциалом функции

f (

) в точке x a . Дифференциал функции f (

)

обозначается df (x) или

просто df .

Замечание. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Теорема 1. Если функция f (x) дифференцируема в точке a (a1;...;an ) , то все функции s (xs ) f (a1;...as 1; xs ;as 1;...;an ) дифференцируемы в точке

xs as .

Определение

Коэффициенты

дифференциале

df (x) c1 x1

c2 x2 ... cn xn

называются частными производными фун-

ции f (x)

точке

по i–той переменной

и обозначаются так:

c f (a)

(

) (a ).

Пример.

Пусть

f (x; y) x3 xy . Тогда

f (x; y) 3x y ,

f (x; y) x и

df (x; y) (3x y)dx xdy .

Производная сложной функции

n в

m опреде-

Теорема 2.

Пусть отображение

(x) ( (x);...;

(x)) из

ленно

некоторой окрестности точки

a , и

каждая из

функций

i (

), i 1;...;m дифференцируема в этой точке.

Пусть,

далее, функция

m в

f ( y) из

определена и дифференцируема в некоторой окрестно-

сти точки b (a)

и сложная функция g(x) f ( (x)) в этой окрестности

определена. Тогда функция g(x) f ( (x))

дифференцируема в точке a и

в этой

точке частная производная

находится

по

формуле

g(a)

f (b) 1(a)

...

f (b) m (a)

Производная по направлению. Градиент

Направлением в n назовем единичный вектор e n.

Если e 1e1 2 e2

... n en , где e1;e2 ;...;en

– ортонормированный

базис, то справедливо равенство e ek

cos k ,

так как скалярное про-

равно нулю и

1. Здесь

изведение ортогональных векторов e

и e

– угол между векторами

e и ek ,

а координаты k cos k

называются

направляющими косинусами вектора e.

Пусть

направление

задано

единичным

вектором

e (e1;e2 ;...;en ) .

Пусть функция

f (x)

дифференцируема в точке a. Рас-

смотрим сложную функцию (t) f (a te) .

Определение 3.

Производной функции

f (x) в точке a по направлению

называется

значение

производной

функции (t) f (a te)

в точке

t 0. Производную функции

f (x)

в точке a по направлению e, обозна-

f (a)

(0) f (

)

t 0 .

чают символами

Найдем формулы для вычисления производной по направлению.

Вектор

a te

имеет

координаты

(a1 te1;a2 te2;...;an ten ).

Поэтому

x1 ...

e ...

e .

Отсюда следует, что производная функции f (x)

в точке a

по

направлению e равна скалярному произведению векторов

;...;

	f		f
e (e1;e2 ;...;en ) . Вектор		;...;		называется градиентом функции


	x1		xn

f (x) в точке a.

Примеры нахождения производных функции нескольких переменных

Задание 1. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:

1.1. z ln xy .

Решение.

(ln xy)

(xy)

; z

(ln xy)

(xy)

1.2. z x 4 y5 .

Решение.

(x4 y5 )

(x4 )

4x3 y5 ; z

(x4 y5 )

( y5 ) 5x4 y4 .

1.3. z xtg y .

Решение. z

(x tg y)

tg y x tg y; z

(x tg y)

x (tg y)

cos2 y

M 0 (8; 1)

Задание

Найти

производную

функции

z 3 xy в точке

по

направлению вектора l ( 1; 1) .

Решение. Производная функции z f (x; y)

по направлению вектора

рав-

на:

z z

cos z cos , где cos , cos направляющие косинусы вектора l .

Находим частные производные данной функции:

; z

33 (xy)2

(xy)2

Находим значения частных производных в точке M 0 (8; 1) :

; z

M 0

Находим направляющие косинусы вектора l

cos

; cos

( 1)2 ( 1)2

Окончательно получим:

12 2 3 2

12 2

Верещагин Б.М. Верещагина С.А.

Решение задач по теме «Исследование сходимости рядов»

Пусть	дана	последовательность	действительных		чисел
un , un R, n 1 . Выражение вида u1 u2 ... un
un , un R, n 1 . Выражение вида u1 u2 ... un			... un	называется	чис-
			n 1
ловым рядом, числа		u1, u2 ,..., un ,... – членами ряда, un		– n-ым или общим

членом ряда. Сумма n первых членов ряда называется n-ой частичной

суммой и обозначается символом Sn : Sn	u1 u2	... un .
Если для последовательности {Sn , n 1} частичных сумм существует
конечный предел S, то ряд называется	сходящимся, а число S –суммой
данного ряда. В этом случае пишут: S lim Sn ;
данного ряда. В этом случае пишут: S lim Sn ;		un S .
	n	n 1
		n 1

Пример. Рассмотрим сходимость ряда

											n 1
		1	1			1			1	1	1
Sn					...
Sn		2	2	3	...	n(n 1)			1	2
	1	2	2	3		n(n 1)			1	2	2
							1
му lim Sn 1. А, значит,							1		1.

							n(n	1)
n						n 1	n(n	1)

	1		.

n(n 1)
	1			1	1		1
		...				1		. Поэто-
		...				1		. Поэто-
	3		n		n 1		n

Ряд называется расходящимся, если lim Sn не существует или бес-

конечен. Ряд, полученный отбрасыванием первых его m членов, называет-

ся остатком ряда: um 1 um 2 ... um n ... um n .

n 1

Ряд сходится или расходится вместе со своим остатком одновремен-

но.

Теорема 1. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю:

lim Sn	S	lim un 0 .
n		n
Следствие. Если		lim un 0 , то ряд расходится.
		n

Пример. Очень часто в теории используется сумма членов бесконечной


геометрической прогрессии aqn 1,	a 0 . Если	q	1,			то по предыду-
n 1
щему следствию получим, что ряд расходится. Если				q	1, то этот ряд
щему следствию получим, что ряд расходится. Если				q	1, то этот ряд
сходится.
						1
Пример. Рассмотрим сходимость гармонического ряда							.
Пример. Рассмотрим сходимость гармонического ряда						n	.
				n 1
57

Необходимое условие сходимости ряда выполняется: lim			1	0 , однако,
Необходимое условие сходимости ряда выполняется: lim				0 , однако,
		n n
гармонический ряд расходится.

Определение. Ряд un называется		знакоположительным, если
	n 1
( n)	un 0 .

Теорема 2. Для сходимости ряда un с неотрицательными членами необ-

n 1

ходима и достаточна ограниченность его частичных сумм.

Приведем некоторые достаточные признаки сходимости знакопо-

ложительных рядов.

Теорема 3 (признак сравнения). Пусть даны два ряда un

и vn .

n 1

Если, начиная с некоторого n, выполняется условие 0 un

vn и ряд

n 1

сходится, то сходится и ряд un

. Если же ряд

un расходится, то ряд

n 1

тоже расходится.

n 1

В качестве рядов для сравнения удобно выбирать: 1) гармонический

ряд

, который расходится; 2)

обобщенный гармонический ряд

n 1n

n 1 n p

(ряд Дирихле), который сходится при p>1 и расходится при p1;

3) геометрическую прогрессию

qn , которая

сходится, если

1 и

n 0

расходится, если

Теорема

4. (признак

Даламбера). Дан ряд

un . Если существует

n 1

lim

un 1

q , то при

q<1 ряд сходится, при q>1 ряд расходится; при q=1

вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Признак Даламбера не дает результата для рядов с общим членом в виде дробно-рациональной функции или функции, содержащей под радикалом переменную n, т.к. замена n на n+1 не меняет коэффициента при старших степенях n. Признак эффективен в случае наличия в общем члене ряда показательной функции или факториалов.

Теорема 5 (радикальный признак Коши). Дан ряд un . Если существует

n 1

		q , то при q<1 ряд сходится; при q>1 ряд расходится; при q=1
lim n u	n
n

вопрос о сходимости ряд остается открытым.

Радикальный признак Коши дает результат в случае, когда общий член ряда имеет вид степенно-показательной функции целочисленного аргумента.

Переходим к рассмотрению свойств числовых рядов, члены которых являются любыми действительными числами.


Определение. Ряд					un	называется абсолютно сходящимся, если сходит-
					n 1

ся ряд	un		. Ряд		un	называется условно сходящимся, если он сходит-
n 1					n 1

ся, а ряд		un		расходится.
n 1

Теорема 6. Если ряд un абсолютно сходится, то он сходится.
					n 1
Определение. Ряд называется знакочередующимся, если он имеет вид

						( 1)n 1un , un 0
						n 1

Теорема 7. (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда


( 1)n 1un ,	un 0 не возрастают по абсолютной величине с ростом n и
n 1
lim un 0,	то этот ряд сходится.
n

Теорема 8. Абсолютно сходящийся ряд остается сходящимся и сохраняет сумму при любой перестановке его членов.

Теорема 9. В условно сходящемся ряде при соответствующей перестановке его членов можно сделать его сумму равной любому наперед заданному числу или сделать ряд расходящимся.

Функциональные ряды

Определение. Ряд f1(x) f2 (x) ... fn (x) ... fn (x) , членами кото-

n 1

рого являются функции от x , определенные на множестве D, называется

функциональным рядом. Если числовой ряд fn (x0 ) сходится, где

n 1

x0 D , то x0 называется точкой сходимости ряда. Множество всех точек сходимости ряда называется областью сходимости ряда. Если существует

lim Sn (x) S(x) , где

Sn (x) f1(x) f2 (x) ... fn (x), x X , то говорят, что ряд сходится на множестве X к S(x). S(x) называется суммой ряда. На языке “ N ” это можно записать так:

lim Sn (x) S(x)

( 0) ( x X ) ( N N ( , x)) (n N Sn (x) S(x) ) .

Для нахождения области сходимости ряда можно использовать эталонные ряды и достаточные признаки сходимости числовых рядов.

Определение. Степенным рядом называется ряд вида

с (x x

) c

(x x

)2 ... c

(x x

)n ... т.е. ряд, членами которого

являются степенные функции. Число

R называется радиусом сходимости

степенного ряда, если ряд сходится при всех

x таких, что

x x0

R и

x x0

R .

расходится при

x таких, что

Для степенного ряда справедли-

ва

Теорема Коши-Адамара. Пусть задан степенной ряд

an (x x0 )n . Рас-

n 0

смотрим числовую последовательность b

. Тогда:

если

bn является неограниченной последовательностью,

то степенной

ряд расходится при всех x x0 ;

2) если lim b

l 0 , то радиус сходимости R

;

3) если

lim bn

, то данный ряд сходится при всех x .

Теорема доказана.

Пусть функция

y f (x)

имеет в т.

и некоторой ее окрестности

производные любого порядка. Ряд

f (x )

(n) (x )

)n ...

f (x

)

(x x

...

(x x

f (n) (x

)

(x x0 )n

n 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 256 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.04.20231.69 Mб1paIU8PM57U.pdf
#
15.04.20231.09 Mб4pqcaxl7Go5.pdf
#
15.04.20232.68 Mб0PsZXeJCmaB.pdf
#
15.04.20231.02 Mб1ptPjNrUiRy.pdf
#
15.04.20231.54 Mб1PytPajB0Au.pdf
#
15.04.20234.97 Mб2QalOGUGtk0.pdf
#
15.04.20232.69 Mб1QhmOWHGetC.pdf
#
15.04.2023366.95 Кб0qQ3sg7Ypr6.pdf
#
15.04.20232.58 Mб0qS9WwoWrVT.pdf
#
15.04.20231.35 Mб2qSV1eADeIc.pdf
#
15.04.20231.05 Mб5r0kXcq8l3c.pdf