QalOGUGtk0

где множителями Лагранжа i , i 1, ... , m , являются произвольные веще-

ственные числа.

При решении изопериметрической задачи используется следующее необходимое условие экстремума, подобное условию, сформулированному в теореме 5 для задачи Лагранжа.

Теорема 6. Если функции y1 x , ... , yn x доставляют слабый экстремум функционалу (5) при условиях (6), (10), то существуют числа 1, ... , m

(множители Лагранжа), при которых эти функции удовлетворяют системе уравнений Эйлера

где L – функция Лагранжа (11).

При использовании теоремы 6 для решения изопериметрической задачи

Решение. Функция Лагранжа данной задачи имеет вид:

.

Для определения множителя Лагранжа используем дополнительное условие:

y x cos x .

Литература.

1.Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Физматлит, 2005.

2.Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М., Физматлит, 2007.

3.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1965.

4.Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2006.

5.Вуколов Э. А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко А.М. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990.

202

Мартынов О.М.

Задачи для для подготовки к междисциплинарному экзамену по дисциплине «Теория оптимального управления» (специальность «Математические методы

в экономике»)

Экстремальные задачи, возникающие в естественных науках или на практике, обычно ставятся словесно, в содержательных терминах той области, где данная задача возникла. Чтобы можно было воспользоваться теорией, необходим перевод задач на математический язык. Этот перевод называется формализацией. Одна и та же задача может быть формализована разными способами, и простота решения часто сильно зависит от того, насколько удачно задача формализована.

Любая формализованная задача включает в себя следующие элементы:

ствительная (вещественная) прямая, то есть совокупность всех действительных чисел, дополненная значениями и . Запись F : X Y означает, что отображение F имеет область определения X , а F x для

каждого элемента x X лежит в множестве Y . Слово «функционал» употребляется для отображений в расширенную числовую прямую . Таким образом, формализовать экстремальную задачу – это значит точно описать ее элементы f , X и C .

Для формализованной задачи употребляется запись

Точки x C называются допустимыми. Если C X , то задача называется задачей без ограничений.

Задачу на максимум всегда можно свести к задаче на минимум, заменив задачу f x sup, x C , задачей f x inf, x C , где f x f x . И,

наоборот, задачу на минимум можно аналогичным образом свести к задаче на максимум. Если необходимо исследовать обе задачи, то пишут f x extr, x C .

Допустимая точка x0 называется абсолютным (или еще говорят глобальным) минимумом (максимумом) в задаче ( з1 ), если f x f x0 для любого x C (соответственно f x f x0 для любого x C ). При этом пишут x0 abs min з1 ( abs max з1 ). Абсолютный минимум (максимум) задачи называется решением задачи. Величина f x0 , где x0 – решение зада-

203

чи, называется численным значением задачи (или просто значением задачи). Эта величина обозначается Sз1 или Smin Smax .

Кроме глобальных экстремумов рассматриваются также локальные экстремумы. Дадим их определение. Пусть в задаче ( з1 ) X – нормированное

пространство. Говорят, что точка x0 доставляет в ( з1 ) локальный мини-

Пусть f : – функция одной действительной переменной, обладаю-

щая некоторой гладкостью, т.е. определенными свойствами дифференцируемости.

Теорема Вейерштрасса (Карл Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик). Непрерывная функция на непустом ограниченном замкнутом подмножестве конечномерного пространства достигает своих абсолютных максимума и минимума.

мума) на любом замкнутом подмножестве n .

Определение 1. Гладкой элементарной задачей без ограничений называется задача об отыскании экстремумов этой функции:

Алгоритм решения

1.Формализовать задачу, т.е. привести ее к виду ( з3 ).

2.Выписать необходимое условие экстремума: f ' x 0 .

3. Найти стационарные точки, т.е. решения уравнения f ' x 0 .

4. Отыскать решение среди стационарных точек или доказать, что решения нет.

Необходимым условием экстремума в гладкой элементарной задаче без ограничений является:

204

Теорема Ферма (Пьер Ферма (1601 – 1665) – французский математик). Пусть f – функция одного переменного, определенная в некотором интер-

вале, содержащем точку x0 , и дифференцируемая в точке x0 . Тогда, если

Пример 1. Два города A и B лежат по одну сторону от прямолинейной дороги на расстоянии 60 км и 200 км от нее. Перевозка груза по дороге обходится вдвое дешевле, чем по любому пути вне дороги. Как следует двигаться, чтобы затраты на перевозку груза из A в B были минимальными, если известно, что расстояние между городами равно 500 км.

Решение. 1. Формализуем задачу.

точки P и Q должны быть выбраны так, чтобы минимизировать функцию

205

2. Необходимые условия экстремума для полученных задач имеют вид:

206

fi : X , i 0, 1, ... , m .

Определение 2. Гладкой задачей с равенствами и неравенствами называется задача

f0 x inf, F x 0, fi x 0, i 1, ... , m,

если отображение F и функционалы fi обладают некоторой гладкостью.

Алгоритм решения

1. Составить функцию Лагранжа (Жозеф-Луи Лагранж (1736 – 1813) – французский математик и механик):

m

L x, y*, i fi x y*, F x ,

i 0

где y* Y*, 0 , 1, ... , m – множители Лагранжа.

2. Выписать необходимые условия экстремума: а) стационарности

m

Lx x, y*, 0 i fi ' x F ' x * y* 0,

i 0

207

где F ' x * – оператор, сопряженный к отображению F ' x : X Y ;

б) дополняющей нежесткости

i fi x 0, i 1, ... , m ;

в) неотрицательности

i 0, i 0, 1, ... , m .

3. Найти критические точки, то есть допустимые точки, удовлетворяющие необходимым условиям п. 2 с множителями Лагранжа и y * , одновре-

менно не равными нулю. При этом случаи 0 0 и 0 0 лучше рассмотреть отдельно. Если 0 0 , то можно положить 0 1 или любой другой

положительной константе.

4. Отыскать решение среди критических точек или доказать, что его нет.

Решение. 1. Применяем алгоритм решения гладких задач с ограничениями типа равенств и неравенств. Функция Лагранжа имеет вид:

L 0 x12 x22 x32 1 2x1 x2 x3 5 2 x1 x2 x3 3 .

2. Необходимые условия экстремума: а) стационарности

гранжа – нули, а этого не может быть. Значит, 0 0 . Положим 0 12 .

Тогда система (1) примет вид

Предположим, что 1 0 . Тогда из условия дополняющей нежесткости следует, что 2x1 x2 x3 5 0 .

208

Подставим найденные значения x1, x2, x3 в систему уравнений

2 1 3 2 3 . Домножим первое уравнение системы на 2, а второе

6 1 2 2 5

тиворечие с условием 1 0 . Значит, 1 0 . Из системы (2) следует, что

следствию из теоремы Вейерштрасса решение задачи существует, а в силу единственности критической точки решением может быть только она.

Ответ: x 1, 1, 1 abs min з5 , Smin 3.

Вариационными задачами называются задачи о поиске экстремума функционалов.

Определение 3. Переменная величина v называется функционалом, зависящим от функции y x , если каждой функции y x из некоторого класса

линейного нормированного пространства функций, в котором каждому элементу y x поставлено в соответствие действительное число y , называемое нормой элемента, при этом выполняются следующие условия:

1) y 0 и y =0 тогда и только тогда, когда y 0 (0 – нулевой элемент);

2) y y ;

3) y z y z

для любых элементов y, z , принадлежащих пространству, и любого действительного числа .

Далее, в основном, будем рассматривать пространства C0 и C1 . Пространство C 0 x0 , x1 состоит из непрерывных функций (кривых) y x , опре-

209

прерывную производную. В пространстве C1 x0 , x1 норма вводится следующим образом:

ционала, называются допустимыми кривыми или кривыми сравнения. Определение 7. Обозначим через y x допустимую кривую, на которой

Вариация y x есть функция x и принадлежит тому же функциональному пространству, что и функция y x . Используя вариацию y x , можно

представить любую допустимую кривую y x в виде

y x y x y x .

Используется так же и другая запись

y x y x y x ,

где y x – фиксированная функция, а – числовой параметр. Очевидно, что при 0 справедливо равенство y x y x .

210