Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Математическое моделирование кинетики сложных химических реакций. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

1.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2310 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Решение. Сначала используем необходимые условия экстремума функции (2.49)

		∂z = 9x	2 −1 = 0,	∂z	= 3y2 −6y = 0.
		∂x		∂y
Они удовлетворяются при
x =	1	, y = 0; x = −	1 , y = 0; x =			1	, y = 2; x = −	1	, y = 2.
	3		3			3		3

Рассматривая затем характеристическое уравнение квадратичной формы (2.50)

(18x −µ)(6y −6 −µ) = 0,

получаем, что единственными экстремальными значениями являются:

максимум	(µ1 = −6, µ2 = −6)	при	z = −7		и при	x = −	1
				9			3
и y = 0;
минимум	(µ1 = 6, µ2 = 6)	при	z = −	47	и при	x =	1
				9			3

и y = 2.

Пример 2.8. Найти условный экстремум функции z = x + 2y при x2 + y2 = 5.

Предварительное замечание. В случае функции двух переменных z = f (x, y) при уравнении связи ϕ(x, y) = 0 функция

Лагранжа имеет вид

L(x, y,λ) = f (x, y) +λφ(x, y).

(2.55)

Тогда система (2.52) состоит из трех уравнений:

∂L	= 0,	∂L	= 0, ϕ(x, y) = 0.	(2.55′)
∂x		∂y

Пусть P0 (x0 , y0 ),λ0 − любое из решений системы (2.55′), тогда составим определитель ∆, соответствующий квадратичной форме (2.50), который будет иметь следующий вид:

		0		ϕ′x (P0 )
		0		ϕ′x (P0 )
∆ = −	ϕ′′	(	P	L′′	P	,λ	0 )
	x	(	0 )	xx (	0		0 )
	ϕ′	(	P	L′′	P	,λ	0 )
	y	(	0 )	xy (	0		0 )

ϕ′y (P0 )

Lxy′′ (P0 ,λ0 ) . (2.55′′)

L′′yy (P0 ,λ0 )

Если	∆ < 0, то функция	z = f (x, y)	имеет в точке
P0 (x0 , y0 )	условный максимум;	если ∆ > 0	то условный ми-
нимум.

Решение. Составим функцию Лагранжа (2.55):

L(x, y,λ) = x + 2y +λ(x2 + y2 −5).

Имеем
	∂L =1+ 2λx,			∂L = 2 + 2λy.
	∂x			∂y
Тогда система уравнений (2.55′) имеет вид

		1+ 2λx = 0,
		2 + 2λy = 0,
		x2 + y2 −5 = 0.
Её решения: P (−1,−2)		и λ = 1		; P (1,2) и	λ	2	= −1 .
1		1	2	2		2	2
			2				2
Найдем теперь ϕ′x (−1,−2) = −2;				ϕ′y (−1,−2) = −4;
L′′	=1;	L′′ = 0,		L′′ =1 при λ = 1 .
xx		xy		yy			2
							2

Следовательно, определитель ∆ в (2.55′) имеет вид

	0	−2	−4
	0	−2	−4
∆ = −	−2	1	0	= 20 > 0 ,
	−4	0	1
т.е. функция z = z(x, y) имеет			условный минимум в точке

P1(−1,−2).

Аналогично найдем теперь ∆ для точки P2 (1, 2):

	0	2	4
∆ = −	2	−1 0		= −20 < 0,
	4	0	−1

т.е. точка P1(−1, −2) – точка условного максимума z(x, y).

Более детально нахождение экстремальных характеристик для сложных реакций кинетики будет рассмотрено в п. 4.4.2 настоящего пособия.

Д.2.6. Эллиптические интегралы и функции

При решении прикладных задач химической кинетики приходится пользоваться понятиями эллиптических интегралов и эллиптических функций. Подробное изложение этих вопросов можно найти в работах [29–31]. В рамках данного учебного пособия остановимся лишь на простейших понятиях и свойствах узкого класса эллиптических интегралов и функций, которые понадобятся при решении конкретных прикладных задач.

Определение 1. Эллиптическим интегралом называется интеграл вида

∫ R(z,ω)dz ,

(2.56)

где R – рациональная функция двух своих аргументов, а ω2 = P(z) , где P(z) – многочлен третьей или четвертой степени без кратных корней.

Интегралы:

	z				dt
I1	= ∫				dt					,	(2.57)

		(		2			2	2	)
		(		)(		−k		t	)
	0 1			−t	1	−k		t
	I2 =		z	1−k2t2			dt,				(2.58)
	I2 =		∫	1−t		2	dt,				(2.58)
			0	1−t

	z				dt
I3	= ∫				dt				,	(2.59)

		(	+ nt2	) (	−t2	)(	−k2t2	)
	0 1		+ nt2	1	−t2	1	−k2t2

называются неполными эллиптическими интегралами первого, второго и третьего родов в нормальной форме Лежандра [30].

Если

положить

z = sin ϕ,

t = sin ψ,

ϕ = ϕ1 +iϕ2 ,

ψ = ψ1 +iψ2 ,

то получим интегралы

тригонометрической

форме:

F (ϕ,k ) =

∫

(2.60)

1−k2 sin2

E (ϕ,k ) = ϕ∫

1−k2 sin2 ψ dψ ,

(2.61)

П(ϕ,n,k ) = ∫

(2.62)

(

)

(

)

1+ nsin2 ψ

1−k2 sin2

С учетом (2.60) и (2.61) можно получить

D(ϕ,k ) =

F (ϕ,k ) − E (ϕ,k )

sin2 ψ

= ∫

dψ.

(2.63)

1−k2 sin2

Число k называется модулем интегралов, число n – параметром интеграла третьего рода. Для краткости положим

∆(ψ,k ) = 1−k2 sin2 ψ ,

(2.64)

причем ∆(ψ,k) =1 в начале (при ψ = 0)	пути интегрирования,
и определим величину
k′ = 1−k2 ,	(2.65)

где k и k′ назовем дополнительными модулями.

Замечание 1. Если в формулах (2.60)–(2.62) принять верхний предел интегрирования ϕ = π2, то получим полные эл-

липтические интегралы в нормальной форме. Их обычно обозначают

dψ

K = K (k ) = F

= ∫

∫

∆(

ψ,k )

−t

)

)(1−k

1−k

= ∫

∆(ψ,k)dψ = ∫

E = E(k) = E

1−t

dt ,

D(k) =

K −E

= D

,(2.66)

(2.67)

π	sin2 ψ	1				t2						(2.68)
2	sin2 ψ	1				t2
= ∫		dψ = ∫										dt.
= ∫		dψ = ∫	(			)(					)	dt.
0 ∆(ψ,k)		0	(	−t	2	)(	−k	2		2	)
0 ∆(ψ,k)		0	1		2	1		2	t	2
			1			1			t

K (k ) и K′(k) = K(k′) называются связанными эллиптическими интегралами первого рода, а E(k) и E′(k) = E(k′) связан-

ными эллиптическими интегралами второго рода.

Всякий эллиптический интеграл может быть представлен как линейная комбинация элементарных функций и интегралов (2.57)–(2.59) в нормальной форме Лежандра [30].

Если преобразовать действительный эллиптический ин-

теграл
∫ R(x, a0 x4 + a1x3 + a2 x2 + a3x + a4 )dx	(2.69)

подходящим образом выбранной подстановкой
x =	p +qt	(если a	≠ 0 ) или x = t2 −r (если a	= 0 )

	1+t	0	0
к виду
		∫ R (t,	±(t2 −λ)(t2 −µ))dt,
				(2.70)

то во многих случаях можно привести его к нормальной форме с помощью вспомогательных таблиц. Эти таблицы приведены в работе [31].

Определение 2. Эллиптическими функциями называются функции, обратные эллиптическим интегралам. Эллиптическая функция является двоякопериодической мероморфной функцией комплексного переменного. Все её периоды можно представить в виде 2mω1 + 2mω2 (m, n – целые числа), где 2ω1, 2ω2 называются парой основных периодов. Отношение основных периодов τ = ω2 ω1 является комплексной величиной, поэтому

будем считать, что Im τ > 0.

Замечание 2. Начиная из произвольной точки u0 , можно

покрыть всю комплексную плоскость комплексного аргумента сеткой параллелограммов периодов, вершинами которого будут точки u0 + 2mω1 + 2nω2 (m, n – целые числа). Функция в силу своей двоякопериодичности принимает одно и то же значение в соответствующих (гомологических) точках всех параллельных параллелограммов периодов.

Из всего многообразия эллиптических функций (функции Якоби, функции Вейерштрасса, тета-функции) остановимся подробнее на эллиптических функциях Вейерштрасса [30].

Определение 3. Нормальной формой Вейерштрасса эллиптического интеграла первого рода (2.60) называется интеграл

∞	dS
u = ∫		,	(2.71)
u = ∫	S	,	(2.71)
0	S
96

где S = 4s2 − g2s − g3 = 4(s −e1 )(s −e2 )(s −e3 ), g2 , g3 – инвари-

анты.

Обратная функция называется эллиптической функцией Вейерштрасса и обозначается

S = χu = χ(u, g1, g2 ).

Она является двоякопериодической функцией комплексного аргумента u = u1 +iu2 с основными периодами 2ω, 2ω′,

которые для действительных чисел e1 > e2 > e3 задаются равенствами:

+∞	dS		e3	dS
2ω= 2 ∫		, 2ω′ = ∫			.	(2.72)
2ω= 2 ∫	S	, 2ω′ = ∫		−S	.	(2.72)
e1	S		−∞	−S
Величины g2 и g3 называются инвариантами функции.
Инварианты g2 , g3 , нули e1, e2 , e3			многочлена S			и периоды
ω, ω′ связаны соотношениями [31]

g2 = −4(e2e3 +e3e1 +e1e2 ) = 60∑ ω14 ,

g3 = 4e1e2e3 =140∑ ω16 , (2.73)

e1 = χ(ω), e2 = χ(ω+ω′),e3 = χ(ω′),

e1 +e2 +e3 = 0.

В (2.73) ∑ означает суммирование по всем отличным от нуля периодам ω= 2mω+ 2nω′ (m,n = 0,±1,...).

Рассмотрим некоторые частные случаи (2.73):

e1 = e2	= −	e3	g		= 3e2	, ω= ∞,
		2	:	2	3		πi	, χu = −2e1 +3e1 cth2 (u 3e1 ),
			g3		= e33 ,	ω′ =

							12e1

= −e1

= e

= 3e1

, ω=

χu

= e1 +

e1 ctg

, (2.74)

6e1

= e3, ω′ = ∞,

e = e = e = 0 : g

= g

= 0,

ω= ω′ = ∞, χu =

При

= 0,

получаем

, e

0,6300,

3 4

ε2

где 1, ε,

ε2

– кубические корни из единицы. Из урав-

3 4

нения

e2 = χω2

определяется

действительный

полупериод

ω2 =1,52995.

В заключение этого пункта остановимся на дифференциальных уравнениях, приводящих к функциям Вейерштрас-

са [30 ]:

dx 2

= 4x

− g2 x

− g3,

x = χ(u; g2 , g3 ),

(2.75)

dx 3

χ′

= x

(x −a)

x =

;0, g3

;

g3 = −

, (2.76)

729

dx 3

= (x

−2ax

+3x)

, x

;

a −3χ′(u;0, g3 )

(2.77)

4 −3a

g3 =

dx 4

128

(x + a

)(x

, x = 6χ

(u; g2

,0) −b;

+b)

(2.78)

g2 =

(a −b).

Некоторые типы уравнений (2.75)–(2.78) и методы решений с помощью функций Вейерштрасса приводятся в п. 4.4 гл. 4.

Задания к главе 2

2.1. Решить системы дифференциальных уравнений методом исключения неизвестных (сведением к одному дифференциальному уравнению):

а)

= xsin t,

= xecost .

б)

= ax + y,

= −x + ay, (a = const).

в)

=1−

dy =

−t

г)

= y,

= x,

= x + y + z.

д)

= z − y,

dy = z,

dz = z − x.

е) t dx = −x + yt, t

2 dy

= −2x + yt.

ж) 4 dx

− dy +3x = sin t,

dx + y = cost.

з)

= −y + z,

= z,

dz = −x + z.

2.2. Решить системы дифференциальных уравнений методом интегрируемых комбинаций:

а)

= 2(x2 + y2 )t,

= 4xyt.

б)

x − y

= x − y +1.

z −t

в)

=1−

dy =

x −t

г)

= x2 + y2 ,

= 2xy.

д)

= −

dy =

1 .

е)

ж)

− y

x − y

з)

= sin x cos y,

dy = cos x sin y.

2.3. Решить системы дифференциальных уравнений методом Эйлера:

а)	dx	= 3x − y + z,	dy	= −x +5y − z,	dz	= x − y +3z.
	dt		dt		dt

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2310 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги