книги / Математическое моделирование кинетики сложных химических реакций. Ч. 1

ляющих исследуемое решение). Поэтому в дальнейшем будем считать, что на устойчивость исследуется именно нулевое решение xi (t) = 0 или расположенная в начале координат точка покоя системы уравнений

Тогда равенство (4.60′′) определяет так называемое тривиаль-

Поясним введенные понятия на простом примере. Пример 1. Проверить, что каждое решение уравнения

181

Следовательно, любое решение уравнения (а) устойчиво. Покажем теперь, что асимптотической устойчивости уравнения согласно определению нет:

Остановимся на простейших типах точек покоя. Пусть система (2.41) представима в виде

где P(x, y), Q(x, y) – непрерывные функции в замкнутой области D.

Точка A(x0 , y0 ) называется точкой покоя системы (4.61),

если P(x0 , y0 ) = 0, Q(x0 , y0 ) = 0.

Исследовать по типам точки покоя можно в простейшем случае, если записать систему (4.61) в виде

где aij (i, j =1,2) – постоянные, и для нее можно составить характеристическое уравнение вида

182

В зависимости от вида корней уравнения (4.61′′) (действительные различные, действительные кратные, комплексносопряженные) определяется и тип точек покоя.

Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами (см. (2.2′′) п. 2.2.1)

характеристическим уравнением будет

Из анализа (4.62′) следует:

1)если действительные части всех корней характеристического уравнения (4.62′) системы (4.62) отрицательны, то точка покоя xi (t) = 0 (i =1, 2, ..., n) асимптотически устойчива;

2)если действительная часть хотя бы одного корня харак-

теристического уравнения (4.62′) положительна Re ki = pi > 0, то точка покоя xi (t ) = 0 (i =1, 2, ..., n) системы (4,62) неус-

тойчива; 3) если характеристическое уравнение (4.62′) имеет про-

стые корни с нулевой действительной частью (т.е. нулевые или чисто мнимые корни), то точка покоя xi (t) = 0 (i =1,n) систе-

мы (4.62) устойчива, но не асимптотически. Проиллюстрируем эти положения простым примером.

183

Пример 2. Установить характер точки покоя A(0;0) системы

dxdt = y,

dydt = −x.

чисто мнимые, то точка покоя устойчива, но не асимптотически (см. анализ формулы (4.62′)).

В заключение обзора сформулируем три очень важных теоремы об устойчивости нелинейных систем.

1. Теорема Ляпунова об устойчивости Если система (2.41) такова, что существует функция

υ(t, x1, x2 , ..., xn ) определенно положительная при t ≥ t0 в не-

которой H-окрестности начала координат, производная которой vt′, вычисленная в силу системы (2.41), не положительна,

то тривиальное решение системы (2.41) устойчиво.

2. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости Если рассматриваемая автономная система (2.41) такова,

что существует функция υ(t, x1, x2 , ..., xn ), определенно поло-

жительная в некоторой H-окрестности начала координат, производная которой vt′, вычисленная в силу системы (2.41), определенно отрицательна, то тривиальное решение xi = 0 (i =1, 2, ..., n) асимптотически устойчиво.

184

3. Теорема Четаева о неустойчивости Если для системы дифференциальных уравнений

можно найти функцию, удовлетворяющую условиям:

1) при сколь угодно больших значениях t (в сколь угодно малой окрестности начала координат) существует область v > 0;

2)в области v > 0 функция v ограничена;

3)в области v > 0 производная dvdt определенно положи-

тельная, то тривиальное решение этой системы неустойчиво. Проиллюстрируем сформулированные теоремы на кон-

кретных примерах.

Пример 3. Исследовать на устойчивость тривиальное решение системы:

dxdt = −5y −2x3,

dydt = 5x −3y3.

Решение. Функция v = x2 + y2 удовлетворяет условиям 2-й теоремы Ляпунова:

1)v(x, y) ≥ 0, v(0;0) = 0;

2)dvdt = 2x(−5y −2x3 )+ 2y(5x −3y3 ) = −(4x4 +6y4 ) ≤ 0,

то есть dvdt < 0 и dvdt = 0 только при x = y = 0, и, значит, есть

определенно отрицательная функция.

Следовательно, решение x = 0, y = 0 асимптотически устойчиво.

185

Пример 4. Исследовать на устойчивость тривиальное решение автономной системы

dxdt = x2 + y,

dydt = y2 + x.

Решение. Возьмем в качестве v(x, y) функцию

v = 13 x3 + xy + 13 y3.

Для данной функции областью v > 0 является, например, область x > 0, y > 0. В области v > 0 имеем

dvdt = ∂∂vx dxdt + ∂∂yv dydt = (x2 + y)2 +(x + y2 )2 > 0.

Согласно теореме 3 о неустойчивости решение x = 0, y = 0 неустойчиво.

Рассмотрим теперь применение изложенного материала конкретно к двум прикладным задачам химической кинетики.

186

Составим функцию v = x2 + y2 , которая должна удовлетворять условиям 2-й теоремы Ляпунова:

1)v(x, y) ≥ 0, v(0;0) = 0;

2)dvdt = 2x(−y +c* ) +2y(x2 − y) = −2xy + 2x2 y − y2 =

=−2xy (1+ x2 )− y2 = −y2 ≤ 0,

сучетом того, что из 3-го уравнения (4.64) x = const.

устойчиво.

Для случая z ≠ const (некоторая функция) система (4.64′) переходит в систему (4.64) и, проведя аналогичные выкладки

с использованием функции v = x2 + y2 + z2 , приходим к выводу, что нелинейная система (4.22), а следовательно, и реакции

188

системы І типа табл. 1.4 асимптотически устойчивы в окрестности точки A(0;0;0) (устойчивый узел реакции).

4.4.4. Некоторые примеры построения эллиптических функций

Остановимся здесь на некоторых подходах построения решений прикладных задач с помощью эллиптических функций. Среди всего многообразия эллиптических функций ( χ, ξ, и σ -функции Вейерштрасса, функции Якоби, тета-функ-

ции Якоби-Лежандра, присоединенные функции Лагерра и др.) [30, 31, 39] остановимся лишь на χ -функциях Вейерштрасса,

так как только они описывают нелинейные системы дифференциальных уравнений кинетики сложных химических реакций, приведенных в табл. 1.4. Основные понятия и соотношения между интегралами и χ- функциями Вейерштрасса приве-

дены в п. Д. 2.6.

Покажем основные этапы построения χ- функций Вейер-

штрасса на примерах решения прикладных задач, разобранных выше.

Задача 4.11. Используя данные и схему решения задачи 4.4, найти решения для интегральных кривых (кривых концентраций) y1, y2 , y3 в эллиптических функциях.

Решение. При решении задачи 4.4 выбрана система дифференциальных уравнений вида (4.26), для которой составлено дифференциальное уравнение специального типа (4.37) в виде

y′2 = y14 + Ay12 + B. .

Взадаче 4.4 разобраны частные случаи этого уравнения (случаи, когда его правая часть имела кратные корни). В рамках этой задачи разберем общий случай (случай некратных корней данного уравнения).

Взадаче 4.4. коэффициенты А и В связаны следующими соотношениями:

189

Если корни многочлена четвертой степени правой части уравнения некратны, то этот многочлен в общем случае подвергают дробно-линейному преобразованию на основании сле-

ской формой дифференциального уравнения (4.37).

Его решения на основании теоремы, рассмотренной выше, ищутся в виде

где y1 = χ(x +c* ), χ(x) – функция Вейерштрасса с инвариантами g2 и g3. Таким образом, для случая некратных корней мно-

190