книги / Математическое моделирование кинетики сложных химических реакций. Ч. 1

Каждая клетка Пj ( j =1, 2, ..., n) представляет собой квадратичную матрицу некоторого порядка nj = (1 ≤ nj ≤ n) вида

На главной диагонали стоит один из корней характеристического уравнения матрицы A, то есть det (A – λE) = 0, где E – единичная матрица, на соседней диагонали снизу стоят единицы, а остальные элементы нули. При этом nj равно сте-

пени так называемого элементарного делителя (λ −λj )n j , со-

ответствующего корню характеристического уравнения λj .

Рассмотрим наиболее простой случай, когда все элементарные делители первой степени (если все корни характеристического уравнения различны), все клетки имеют первый порядок, то есть матрица B имеет диагональный вид. Введем обозначения z = K y, g(x) = K f (x), тогда для z(x) получится следующая система уравнений:

dxdz = B z + g(x).

Если теперь перейти от матричной записи системы к обычной, скалярной, то получится k групп уравнений, отвечающих k жордановым клеткам матрицы B, где первая группа имеет следующий вид:

51

Для дальнейших рассуждений сделаем замену этих функций по формулам, которые называются «растяжением» функций:

Будем считать, что все коэффициенты aj ≠ 0 произволь-

ные числа. Тогда система (2.16) переходит в следующую систему вида

g1 (x) = a1gn1 (x), ... , gn1 (x) = an1 gn1 (x) .

Замечание: подбирая коэффициенты a1, ..., an1 , можно сделать α1, ..., αn1−1 любыми наперед заданными отличными от

52

нуля числами; особый интерес представляют следующие отношения: пусть, например, a1 =1, тогда

a2 = α1, a3 = a2α2 , ... , an1 = an1−1αn1−1.

Запишем теперь систему линейных дифференциальных уравнений в каноническом виде [21]:

53

Замечание: числа αi , βi , ..., ωi можно выбирать произвольно, лишь бы только они не равнялись нулю, можно считать их, например, произвольно малыми по модулю. Числа λi

вполне определяются данной системой.

После приведения системы к каноническому виду ее легко проинтегрировать. Действительно, в первое уравнение системы входит только одна переменная z1(x). Определив ее и подставив во второе уравнение, опять получим линейное уравнение с одной неизвестной z2 (x) и т.д.

Сформулируем следующую теорему: пусть дана линей-

ная система с постоянными коэффициентами

dx j=1

Тогда всегда существует такое линейное преобразование

n

yi = ∑Cij z j , j=1

для которого коэффициенты Cij выбираются постоянными,

а определитель Cij ≠ 0 и которое приводит систему (2.19) к каноническому виду (2.18).

2.2.6.Нахождение частных решений неоднородных систем дифференциальных уравнений

Рассмотрим случай, когда в системе (2.19)

dy n

dxi = ∑ aij yi + fi (x), i = 1, 2, …, n,

j=1

m

fi (x) = ∑Ci(k )eαk x xβk , (2.19′)

k=1

54

причем αk и Ci(k ) могут быть как действительными, так и комплексными, а βk – целые неотрицательные числа, то есть

βk ≥ 0 .

Разберем случай, когда m = 1, тогда функции (2.19′) имеют вид

fi (x) = Cieαx xβ , i = 1, 2, …, n.

Выпишем группу уравнений системы (2.19), соответствующих элементарному делителю(λ−λs )ps . Тогда матрицы (λE-A) могут быть представлены в следующем виде [24]:

тогда получим систему вида

55

При интегрировании этой системы рассмотрим два случая. 1-й случай: λS ≠ α. Интегрируя уравнения (2.19а) после-

довательно, начиная с первого, получим функции zi* = Mi(β) (x) e(α−λs )x , i = k + 1, …, k + ps ,

где Mi(β) (x) – некоторые многочлены по x не выше степени β. Отсюда zi = Mi(β) (x) eαx , где i = k + 1, …, k + ps .

Если не одно из чисел λs ≠ α, то все функции zi (i =1, 2, ..., n) будут иметь вид

zi = Mi(β) (x) eαx

и частное решение будет

найти сравнением коэффициентов при одинаковых степенях x в уравнениях (2.19б) после подстановки в них место yi выра-

жений (2.19б) и сокращения на eαx ≠ 0.

56

2-й случай: λS = α. Тогда система (2.19 а) принимает вид

Интегрируя последовательно эти уравнения, найдем частное решение в виде

zk*+i (x) = Mk(i+)i xβ , i = 1, 2, …, ps ,

где Mk(i+)i – многочлен не выше i-й степени по x. Отсюда

zk+i (x) = xβ Mk(i+)i eαx , i = 1, 2, …, ps .

Следовательно, система (2.19) будет иметь частное реше-

ние:

yi (x) = Mi*(β+p) (x) eαx , i = 1, 2, …, n,

где Mi*(β+p) (x) – многочлен не выше (β+ p) -й степени по x, а p – наивысший показатель степени у элементарных делителей (λE-A), которые имеют следующий вид: (λ−α)s .

57

2.2.7. Свойства и методы решений уравнений Риккати

Анализ классификационной табл. 1.3. (см. гл. 1) показал, что параллельные и обратимые реакции второго порядка описываются системами линейных неоднородных дифференциальных уравнений, которые с помощью линейных преобразований сводятся к уравнению Риккати [10,25]. В этом пункте рассмотрим общие свойства и методы их решений.

Рассмотрим общее уравнение Риккати:

где b1 (x), b2 (x), b3 (x) коэффициенты, которые являются не-

прерывными функциями на интервале (a, b). Введем следующие обозначения для коэффициентов:

f (x) = b1 (x) ; g (x) = b2 (x) ; h(x) = b3 (x).

дифференцируемые функции, то рассмотрим подстановку [10]

U (x) = y + b2 ((x)) ,

2b1 x

которая приводит к следующему результату:

58

= −∫b1 (x) E (x)dx, после преобразований приходим к уравнению вида

нулли, и подстановка U (x) = y−1 приводит его к линейному уравнению

Общее уравнение Риккати тесно связано с линейными дифференциальными уравнениями второго порядка. Если при α < x <β функции b1 (x) и b2 (x) непрерывны и b1 (x) дифференцируема, то каждое решение y(x) уравнения Риккати, оп-

ределяемое в интервале (α, β), переводится преобразованием

в отличное от нуля решение данного линейного дифференциального уравнения

называется уравнением Риккати специального типа.

59

Замечание 2: для уравнения (2.27) дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

U′′ = a1 b4 xαU.

Обратно, если b1 (x) ≠ 0, то каждое ненулевое решение U (x) этого линейного уравнения переводится преобразовани-

в решение уравнения Риккати.

Замечание: линейное уравнение часто решается гораздо проще, чем исходное уравнение Риккати.

Если известно одно частное решение ϕ(x), где x (α,β), то нахождение общего решения сводится к решению линейного уравнения первого порядка. Функция y(x) будет отличным от ϕ(x) решением уравнения Риккати только в том случае, если

Φ(x) =1 ( y (x) −ϕ(x)) , x (α,β)

есть нигде не обращающееся в нуль решение уравнения z′+(2b1 (x) ϕ+b2 (x))z +b1 (x) = 0.

всегда постоянно.

Если известны три решения, то все остальные могут быть получены путем приравнивания (2.28) постоянной величине.

60