Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Математическое моделирование кинетики сложных химических реакций. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

1.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 238 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

	a −r	b	c
	a −r	b	c
∆ =	a1	b1 −r	c1	= 0 .	(г)
	a2	b2	c2 −r

Уравнение (г) называется характеристическим. Рассмотрим один из частных случаев решения уравнения

(г). Пусть корни r1,r2 ,r3 уравнения (г) действительные и различные. Подставив в (в) вместо r число r1 и решив систему (в), получим первую тройку решений (λ1,µ1,ν1 ). Затем, полагая в (в) r = r2 и решив систему, получим вторую тройку решений (λ2 ,µ2 ,ν2 ) и, наконец, при r = r3 получим третью тройку решений (λ3 ,µ3,ν3 ) .

Соответственно трем наборам чисел (λ,µ,ν) по формулам (б) получим три частных решения:

x = λ er1t , y = µ er1t , z = ν er1t ,
1		1			1	1	1		1
x = λ		er2t		, y	2	=µ	er2t , z	2	= ν		er2t ,
2	2					2			2
x = λ			er3t , y =µ				er3t , z = ν			er3t .
3	3				3	3	3		3

По найденным частным решениям системы (а) легко записывается общее решение системы (а):

x = c1λ1er1t +c2λ2er2t +c3λ3er3t , y = c1µ1er1t +c2µ2er2t +c3µ3er3t , z = c1ν1er1t +c2ν2er2t +c3ν3er3t .

Применение метода Эйлера будет подробно изложено на примере моделирования последовательной реакции первого порядка в п. 4.2. гл. 4.

Рассмотренные выше методы решения систем уравнений (2.34) можно применять также к решению систем диффе-

ренциальных уравнений, записанных в симметричной форме, т.е. систем вида

dy1	=	dy2	=... =	dyn
					,	(2.40)
y1 ( y1,..., yn )		y2 ( y1,..., yn )		yn ( y1,..., yn )

где y1, y2 ,..., yn – некоторые непрерывные функции не равные

тождественно нулю.

При решении системы уравнений (2.40) полезно использовать свойства равных дробей. Если имеются равные дроби

a1	=	a2	=... =	an
b		b		b

1	2			n

и произвольные числа k1, k2 , ..., kn , то


a1	=	a2	=... = an =	k1a1 + k2a2 +...+ knan		.
b		b
			b	k b + k b	+...+ k b
1	2		n	1 1 2 2	n n

Метод исключения (сведения системы дифференциальных уравнений к одному уравнению) и метод интегрируемых комбинаций подробно разобраны в гл. 4, здесь же ограничимся несколькими простыми примерами.

Пример 2.1. Решить задачу Коши для системы

dx	= 3x +8y,
dt	= 3x +8y,	(а)
		(а)
dy	= −x −3y
	= −x −3y
dt
при заданных начальных условиях x(0) = 6;		y(0) = −2.
Решение. Из второго уравнения системы (а) найдем
x = −3y − dy .		(б)
	dt

Откуда, после дифференцирования (б) по t, получим

dx	= −3 dy	− d 2 y .	(в)
dt	dt	dt2

Подставляя (б) и (в) в первое уравнение системы (а), получим уравнение

		d 2 y	− y = 0,
			− y = 0,
		dt2
общее решение которого будет
	y = c et +c e−t .					(г)
	1			2
Подставляя (г) в (б), найдем
	x = −4c et			−2c e−t .
	1			2
Тогда общее решение системы (а) имеет вид
x = −4c et −2c e−t , y = c et +c e−t .						(д)
1	2			1	2

При заданных начальных условиях из (д) получим систему для определения с1 и с2:

6 = −4с1 −2с2 ,

−2 = с1 +с2.

Её решение даёт с1 = −1, с2 = −1.

Подставляя значения c1 и c2 в (д), получим решение поставленной задачи Коши:

x = 4et + 2e−t , y = −et −e−t .

Пример 2.2. Вещество А разлагается на два вещества X и Y со скоростью образования каждого из них, пропорциональной количеству неразложившегося вещества. Найти закон изменения количеств x и y веществ X и Y в зависимости от вре-

мени t, если при t = 0 имеем x = y = 0, а через час x = 8a ,

y = 38a (а – первоначальное количество вещества А).

Решение. В момент времени t количество неразложившегося вещества А равно a − x − y. В силу условия задачи будем

иметь

dx				= k1 (a − x − y),
dt										(а)
										(а)
dy				= k2 (a − x − y).
				= k2 (a − x − y).
dt
Разделив почленно второе уравнение (а) на первое, полу-
чим
dy =	k2		, откуда y =					k2	x +c .	(б)
dy =			, откуда y =						x +c .	(б)
dx k1				1
dx k1								k1
При t = 0 имеем x = y = 0, поэтому из уравнения (б) нахо-
дим c1 = 0, а значит,
				y =		k2	x.			(в)
				y =			x.			(в)
						k
				1
Подставив (в) в первое уравнение системы (а), получим
уравнение
dx +				(k1 + k2 ) x = k1 a.						(г)
dt
Тогда общее решение уравнения (г) будет иметь вид
x =		k1 a			+c e−(k1+k2 ) t .					(д)
x =					+c e−(k1+k2 ) t .					(д)
				2
		k1 + k2

Используя теперь начальное условие x |t=0 = 0, найдем c2 из уравнения (д):

			c = −						k1 a					,
			c = −											,
				2					k1 + k2
									k1 + k2
таким образом,
			k a									− k +k					t
x =		1						(1−e (					1			2 )		).		(е)
x =			k + k			2		(1−e (					1			2 )		).		(е)
	1					2
Подставляя (е) в (в), имеем
			k	a				(1				− k +k					t	).
y =			2							−e (			1			2 )
y =			k + k			2				−e (			1			2 )
	1					2
Для определения коэффициентов k1 и k2																				примем за еди-
ницу времени час. Учитывая, чтоx = a																,	y =		3a	, при t =1, най-
ницу времени час. Учитывая, чтоx = a																,	y =		8	, при t =1, най-
													8						8
дем
	k				(1−e					− k +k			2 ) ) =					1
	1									(		1						8 ,
	k + k			2						(		1						8 ,
	1			2																(ж)
	k2				(1−e					−(k1+k2 )					) =			3		(ж)
	k2									−(k1+k2 )								3
																		8.
	k + k			2														8.
	1			2
Решение системы (ж) дает
	k2 = 3k1 , k1 + k2 = ln 2.
Таким образом,	k =			ln 2			,			k		= 3 ln 2 и искомое решение
Таким образом,	k =						,			k	2	= 3 ln 2 и искомое решение
	1			4							2		4
				4									4

системы (а) имеет вид

x = a4 (1−2−t ) , y = 34a (1−2−t ) .

Пример 2.3. Решить систему уравнений

dx	=	dy	=	dz	.	(а)
x + y − xy2		x2 y − x − y		y2 − x2

Решение. Система (а) – нелинейная и симметричная. Воспользуемся замечаниями этого пункта. В силу свойства равных дробей составим интегрируемую комбинацию

		2xdx + 2ydy			=		dz	,
	2x(x + y − xy2 )+ 2y		(x2 y − x − y)				y2 − x2
после упрощений получим
		d (x2 + y2 )	=	dz
						,
		2(x2 − y2 )		−(x2 − y2 )

(б)

(в)

откуда d (x2 + y2 ) = −2dz. После интегрирования (в) находим
x2 + y2 + 2z = c .	(г)
1

Для составления второй интегрируемой комбинации воспользуемся равенством, например таким:

		ydx + xdy				=	dz		.
		xy + y2 − xy3 + x3 y − x2			− xy		y2 − x2
Упрощая его, запишем его так:
		d (xy)	=	dz	, или		d (xy)	= dz .

	(y2 − x2 ) (1− xy)			y2 − x2			1− xy

Интегрируя (е), получим

ln 1− xy + z = c2 .

(д)

(е)

(ж)

Легко проверить, что первые интегралы (г) и (ж) независимы. Поэтому для ответа достаточно выбрать объединения множеств (г) и (ж).

Пример 2.4. Решить систему

dx	= x −5y,	dy	= 2x − y.
dt		dt

Решение. Выпишем систему для определения λ и µ:

(1−r)λ−5µ = 0,

2λ−(1+ r)µ = 0.

Характеристическое уравнение для (б) имеет вид

1−r	−5	= 0.
1−r	−5	= 0.
2	−1−r

(а)

(б)

(в)

Корни уравнения (в) комплексно-сопряженные: r1 = 3i , r2 = −3i . Подставляя r1 = 3i в (б), получаем два уравнения для определения λ1 и µ1:

(1−3i)λ1 −5µ1 = 0, 2λ1 −(1+3i)µ1 = 0,

из которых одно является следствием другого. Возьмем, например, λ1 = 5, µ1 =1−3i. Тогда первое частное решение запишется так:

x1 = 5e3it , y1 = (1−3i)e3it .

Аналогично, подставляя в (б) корень r2 = −3i,	найдем вто-
рое частное решение:
x2 = 5e−3it , y2 = (1+3i)e−3it .	(г)

Перейдем к новой фундаментальной системе решений

(см. п. 2.2.1):

x =

x1 + x2

, x =

x1 − x2

, y =

y1 + y2

, y

y1 − y2

. (д)

Используя формулу Эйлера [28], запишем e±αit в виде

e±αit

= cosαt ±isin αt ,

из (г) и (д) получим

x1 = 5cos3t,

x2 = 5sin 3t,

y1 = cos3t +3sin 3t,

y2 = sin 3t −3cos3t.

Тогда, окончательно, общее решение системы (а) имеет

вид

x = 5c1 cos3t +5c2 sin 3t,

y = c1 (cos3t +3sin 3t ) +c2 (sin 3t −3cos3t ).

2.3.3. Разрешимость нелинейных систем уравнений кинетики химических реакций

Анализ гл. 2 показывает, что разрешимость нелинейной системы (1.23), записанной в виде

dci (t)	=	f j (t,c1 (t),c2 (t),...,cn (t )) k*j , i =1,2,...,n, j =1,2,...,m ,
dt

должна быть обусловлена, с одной стороны, строгими математическими обоснованиями (системой совокупных математических положений и теорем), позволяющими обосновывать её разрешимость и достоверность, для применения в полной мере математических методов исследований. С другой стороны, приходится учитывать тот факт, что система (1.23) должна максимально отражать физико-химические процессы реальных динамических систем, используемых в химической кинетике

(см. гл. 1).

Всвязи с этими предпосылками можно сделать вывод

отом, что разрешимость системы (1.23) включает в себя два основополагающих аспекта [12].

1. Математический аспект:

–теоремы существования решений Пеано и Каратеодори;

–теорема единственности решений Осгуда;

–теорема Коши голоморфных функций;

–теорема о гладкости решений;

–теорема о зависимости решений от параметров и т.д. Эти теоремы подробно рассматриваются в литературе, на-

пример в работах [22–24, 26] и в гл. 2 настоящего пособия (см.

п. 2.3.2).

С понятием математической разрешимости произвольных систем дифференциальных уравнений тесно связано понятие устойчивости решений.

В литературе рассматриваются различные критерии устойчивости (Михайлова, Крылова, Пикара-Линделёфа, Ляпунова и т.д.). В рамках этого пункта остановимся на наиболее распространенном критерии устойчивости решений по Ляпу-

нову [25, 27, 28].

Пусть система (1.23) записана в виде

x'	(t ) = f	ν	(t, x , x ,..., x		), ν =1,..., n .	(2.41)
ν		ν	1 2	n
Здесь xν = xν (t )	– искомые функции, определяющие траекто-

рию движущейся точки. Если считать функции fν непрерывными в некоторой замкнутой области G:

t ≥ τ, −∞ < x1, x2 ,..., xn < +∞,
то для каждого решения
x1 = ϕ1 (t,τ,ξ10 ,...,ξ0n ), …, xn = ϕn (t,τ,ξ10 ,...,ξ0n )	(2.42)

системы (2.41) вытекает следующее. Если при некоторых фиксированных значениях τ,ξ10 ,...,ξ0n траектория (2.42) существует для всех t ≥ τ, то все траектории, проходящие через точки,

близкие к точке P(ξ10 ,ξ02 ,...,ξ0n ), остаются при всех значениях t,

удовлетворяющих условию τ ≤ t ≤T , вблизи траектории (2.42). Иначе говоря, для любых T > τ и ε > 0 существует такое δ > 0, что все решения

x1 = ϕ1 (t,τ,ξ1 ,...,ξn ) , …, xn = ϕn (t,τ,ξ1 ,...,ξn )							(2.43)
при τ ≤ t ≤T существуют и удовлетворяют неравенству
n		(t,τ,ξ1 ,...,ξn )−ϕν (t,τ,ξ10 ,...,ξ0n )
∑	ϕ1	(t,τ,ξ1 ,...,ξn )−ϕν (t,τ,ξ10 ,...,ξ0n )				≤ ε,	(2.44)
ν=1
если только
		n	ξν	−ξν0
		∑	ξν	−ξν0	≤ δ .		(2.45)
		ν=1
Если для каждого ε > 0				найдется такое δ > 0,			что, как

только выполнено условие (2.45), решение (2.43) даже на всей полупрямой τ≤ t < ∞ существует и удовлетворяет неравенству (2.44), тогда решение (2.43) называется устойчивым по Ляпунову.

Из критерия Ляпунова (2.43)–(2.45) и формулы (2.38) легко установить геометрический смысл теоремы Осгуда. Перечисленные выше условия можно трактовать как некоторое рас-

стояние между точками M ** и M * замкнутого параллелепипеда в пространстве (t,τ,ξ1 ,...,ξn ) непрерывных функций ϕν.

2.Физический аспект:

–ограничения на параметры, входящие в систему:

x= t > 0 , 0 ≤ C1,C2 ,C3 ( y1, y2 , y3 ) ≤1 ;

–закон сохранения заряда (электрохимический баланс реакций);

–закон сохранения массы и энергии реагирующих ве-

ществ;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 238 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги