книги / Математическое моделирование кинетики сложных химических реакций. Ч. 1

2.4. Найти общие решения систем дифференциальных уравнений, заданных в симметрической форме:

а) 2dtx = −dxln t = ln tdy−2x .

б) 4ydt−5x = 5t dx−3y = 3xdy−4t . в) dtt = dxx = dyty .

101

2.5. Найти экстремумы функций одной переменной:

а) y = 2x3 −3x2.

б) y = 2x3 −6x2 −18x +7.

102

2.6. Исследовать функцию на условный экстремум:

103

Глава 3 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ

3.1. Постановка задачи и классификация численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Прямая задача химической кинетики сводится к задаче Коши, которая заключается в решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) 1-го порядка, представляемых в виде

где j =1, N − номер каждой зависимой переменной yj (концен-

трация соответствующего вещества); x – независимая переменная (время).

Решение системы (3.1) при заданных начальных условиях

(НУ)

x = x0 , y1 (x0 ) = y10 , y2 (x0 ) = y20 , ..., yN (x0 ) = yN 0

позволяет найти зависимости y1(x), y2 (x), ..., y j (x), ..., yN (x)

(интегральные кривые), проходящие через точки, заданные начальными условиями

(x0 , y10 ), (x0 , y20 ), ..., (x0 , y j0 ), ..., (x0 , yN 0 ).

104

Численные методы решения подобных задач рассмотрены, например, в работах [32–38]. Основу численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений составляют теория аппроксимации (в данном случае аппроксимация производных), рекуррентные формулы и итерационные методы. Наиболее распространенным и универсальным методом решения ОДУ является метод конечных разностей. Суть метода заключается в следующем. Область непрерывного изменения аргумента (например, отрезок) заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами (узлы образуют так называемую разностную сетку); искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке (эта функция называется сеточной). Далее исходное ОДУ заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции (при этом входящие в исходное уравнение производные аппроксимируются соответствующими конечно-разностными соотношениями).

В методе конечных разностей осуществляется, таким образом, следующее преобразование:

y(x) ≈ y (xi ) = yi ,

где y(x) – искомая функция непрерывного аргумента; y(xi ) –

приближенное значение искомой функции в узле (точке xi); yi – значение сеточной функции. При этом замена ОДУ разностным называется его аппроксимацией на сетке (или разностной аппроксимацией).

Таким образом, решение ОДУ сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки, т.е. пар значений {xi , yi} для i = 0, 1, 2…. Решение разностной задачи, в резуль-

тате которого находятся значения сеточной функции yi в узлах xi, приближенно заменяет решение y(x) исходной дифференциальной задачи. Переход от исходного ОДУ к разностному уравнению осуществляется путем аппроксимации

106

значения производной в ОДУ с использованием конечных разностей.

Для ОДУ первого порядка разностное уравнение в общем виде может быть записано следующей рекуррентной форму-

лой [35]:

при НУ

y(x0 ) = y0 =Y0.

Конкретное выражение правой части уравнения (3.6) зависит от способа аппроксимации производной, поэтому для каждого численного метода получается свой вид уравнения (3.6). При этом точность решения ОДУ с использованием уравнения (3.6) в значительной мере зависит от величины шага интегрирования hi = xi − xi−1 (чем меньше шаг, тем выше точ-

ность).

Из анализа общего вида (3.6) вытекает классификация численных методов решения задачи Коши для ОДУ:

1) если в правой части отсутствует yi+1 , т.е. значения yi+1 явно вычисляются по k предыдущим значениям yi , yi−1,

..., yi−k+1 , то разностная схема называется явной; если в правую часть (3.6) входит искомое значение yi+1 , то решение уравнения усложняется − в таких методах, называемых неявными, приходится решать уравнение (3.6) относительно yi+1 с помо-

щью итерационных методов;

2) если k = 1, то одношаговый метод; k = 2 – двухшаговый метод и т.д.

3.2. Метод конечных разностей

Наиболее эффективными численными методами решения многих математических задач (в частности задачи Коши (3.1), как было указано выше) являются разностные методы, в основе

107

которых лежит рассмотрение конечно-разностной задачи вместо исходной дифференциальной задачи.

Конечно-разностная задача, соответствующая исходной дифференциальной задаче, называется разностной схемой. Разностная схема представляет собой самостоятельный математический объект исследования. Теории разностных схем посвящена обширная учебная и специальная литература, напри-

мер [32–34].

разностной схемы, поэтому с исходной дифференциальной задачей может быть сопоставлено семейство разностных схем, зависящих от этого параметра. В теории разностных схем решения дифференциальных уравнений основным является вопрос о сходимости семейства приближенных решений, получаемых конечно-разностным методом, к точному решению исходной дифференциальной задачи при стремлении параметра разбиения к нулю.

В данном подразделе остановимся на простейших общих понятиях и, в частности, уточним понятие сходимости приближенного решения к точному решению [32, 34]. Далее все рассуждения будем проводить на примере численного решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, которое запишем в виде

3.2.1. Разностная схема. Понятие сходимости

Как уже отмечалось, в основе применения разностных схем к дифференциальной задаче лежит построение приближенного решения, определенного в конечном числе точек xi

108

отрезка [x0 , X ] интегрирования исходной дифференциальной задачи. Множество точек ωh ={xi} (i = 0,n), на котором ищется приближенное решение, называется сеткой. Обозна-

(hi = h = const). Очевидно, в последнем случае величина шага сетки на отрезке [x0 , X ] равна h = X − x0 / n . В дальнейшем,

если не будет оговорено особо, будем рассматривать равномерные сетки.

Функция дискретного аргумента u (xi ), определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией. Значения сеточной функции u на ωh обозначим ui (i = 0,n). Для определения

сеточной функции u, являющейся приближенным решением исходной дифференциальной задачи (3.7), должна быть задана разностная схема – система уравнений, связывающих между собой значения сеточной функции ui , заданных дополнитель-

Здесь символом L будем обозначать не только задание уравнения, но и задание дополнительных, например начальных, условий, записанное в определенном порядке. Через ϕ(x)

обозначены как правая часть уравнения, так и правые части дополнительных условий, записанные в соответствующем порядке. Так задача (3.7) может быть записана в виде [34]

109

правой части разностного уравнения, – в совокупности с правыми частями дополнительных условий.

Задача определения сеточных функций uh должна быть

поставлена так, чтобы при стремлении шага h сетки к нулю сеточные функции сходились в определенном смысле к точному решению исходной задачи (3.9).

Для определения сходимости семейства сеточных функций к решению исходной задачи в пространстве {vh} сеточных

функций необходимо задать расстояние между отдельными функциями как норму их разности. Понятие нормы в пространстве сеточных функций можно ввести по-разному. Чаще всего используется равномерная или чебышёвская норма, определяемая выражением

110