книги / Математическое моделирование кинетики сложных химических реакций. Ч. 1

Если четыре функции ϕν (x), (ν =1, 2, 3, 4) имеют в интервале (α, β) непрерывные производные и выполнено условие

ϕ1 ϕ4 −ϕ2 ϕ3 ≠ 0,

то совокупность всех функций

y= ϕ1 +cϕ2 ϕ3 +cϕ4

удовлетворяет некоторому уравнению Риккати.

Замечание: в силу тесной связи между уравнением Риккати и важными типами линейных уравнений второго порядка следует всегда пытаться отыскать те случаи, когда могут быть легко найдены одно или даже все решения этого уравнения.

Рассмотрим эти случаи: 1) b1 (x) +b2 (x) +b3 (x) ≡ 0

y = c + ∫((b1 ((x)) +b3 ((x)))) E ((x))dx − E ((x)) ,

c + ∫ b1 x +b3 x E x dx + E x где E (x) = exp ∫(b1 (x) −b3 (x))dx;

2)(более общий случай): существуют такие постоянные p

иm, причем p + m > 0, что

p2 b1 (x) + p m b2 (x) + m2 b3 (x) ≡ 0.

Если m = 0, т.е. b1 (x) ≡ 0, то уравнение сводится к линей-

ному, а при m ≠ 0 оно сводится подстановкой y = pm−1 +U (x) к уравнению Бернулли

U′ = b1 (x) U 2 +(2 p m−1 b1 (x) +b2 (x))U

ив обоих случаях легко решается;

3)если b3 (x) = c02 b1 (x)exp 2∫b2 (x)dx и b1 (x) b3 (x) > 0, то

61

Если при соответствующим образом подобранной функ-

(Φ = −b1′(x)b1 (x));

62

4) пусть G (x) и H (x) – многочлены. Если степень многочлена

∆ = G2 −2G′−4H

нечетна, то уравнение

не может иметь полиномиального решения. Если же ∆ имеет четную степень, то этому уравнению могут удовлетворять лишь многочлены:

y = −12(G ± ∆ ), (2.30)

где ∆ означает целую рациональную часть разложения

∆ по убывающим степеням x. Решением являются обе функции (2.29), (2.30) в том и только в том случае, когда ∆ = const.

Пример: x4 −2x3 + x −6 = x2 − x −12.

2.3. Системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка

2.3.1. Вводные замечания

Как было отмечено в п. 1.2.4, некоторые типы реакций не могут быть сведены к системам линейных дифференциальных уравнений и их классифицировали системой вида (1.23), то есть

63

Подробные решения систем (1.23) и прикладных задач, связанных с ними, приведены в п. 4.5. гл. 4.

Попутно отметим, что не существует единых методов решения нелинейных систем и получить их аналитические решения можно лишь для узкого класса прикладных задач химической кинетики. В основном их приходится решать (при выбранных математических моделях) численными методами (см. гл. 3). Не останавливаясь пока на частных случаях, рассмотрим общие подходы и методы решения нелинейных систем дифференциальных уравнений первого порядка.

2.3.2. Нелинейные системы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решения

Сначала введем основные понятия и определения для произвольных систем обыкновенных дифференциальных уравнений [21].

Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

64

Порядком системы (2.31) называется число p, p =

= k1 + k2 +... + kn.

Теорема. Любую каноническую систему (2.32) можно свести к произвольной системе 1-го порядка подстановкой

yi(k ) (x), удовлетворяющих системе дифференциальных урав-

нений первого порядка, состоящих из уравнений (2.31) и (2.33). Справедливо и обратное утверждение.

В дальнейшем будем рассматривать систему обыкновенных дифференциальных уравнений в упрощенном виде:

где fν – называются правыми частями системы (2.34) и явля-

ются нелинейными функциями относительно своих аргументов. Решением (интегральной кривой) системы (2.34) называ-

ется совокупность n дифференцируемых функций y1 = ϕ1 (x), y2 = ϕ2 (x), ..., yn = ϕn (x),

удовлетворяющих системе (2.34).

Систему (2.34) можно записать также в векторной форме:

где y = ( y1, y2 ,...yn ), f = ( f1, f2 ,... fn ) – некоторые векторы. Из теорем существования и единственности решения сис-

темы (2.34) остановимся на теоремах Пеано, Каратеодори и теореме Осгуда.

Доказательство их можно найти, например, в работах [22, 24, 26].

65

1. Теорема существования решений Пеано

ти G проходит, по крайней мере, одна интегральная кривая. Каждая из этих кривых может быть продолжена в обе стороны вплоть до границы любой замкнутой области, целиком содержащейся в G и содержащей точку P внутри себя.

Для доказательства этой теоремы сначала строятся ломаные Эйлера [22], потом переходят к пределу, используя теорему Арцеля.

2. Теорема существования решений Каратеодори

Пусть функции fν (x, y1, y2 , ..., yn ), ν =1, 2, ..., n определены и непрерывны в области G:

a < x < b; −∞ < y1, y2 ,..., yn < +∞ ,

при любых фиксированных значениях y1, y2 ,..., yn измеримы по

x, а при каждом фиксированном значении x, принадлежащем некоторому подмножеству полной меры интервала a < x < b, непрерывны по y1, y2 , ..., yn. И пусть

fν (x, y1, y2 ,..., yn ) ≤ M (x) , (ν =1, 2, ..., n),

где M(x) – некоторая интегрируемая по Лебегу функция на ин-

66

Всюду, где подынтегральное выражение непрерывно, функции уν (x) удовлетворяют уравнениям (2.36) и (2.34). Ес-

ли функции уν (x) удовлетворяют уравнениям (2.36) и если при любых значениях yν (x) выполнено условие Липшица:

n

fν (x, y1, y2 ,..., yn ) − fν (x, y1, y2 ,..., yn ) ≤ N (x) ∑ yp (x) − yp (x) ,

p=1

где N (x) – некоторая интегрируемая по Лебегу функция, то система (2.34) имеет единственное решение y1 (x), y2 (x),

..., yn (x), и это решение непрерывно зависит от ξ,η1,η2 ,...,ηn.

где ϕ(u) – непрерывная функция, которая:

Тогда существует не больше одной интегральной линии системы (2.34), проходящей через любую заданную внутреннюю точку области G. В частности, можно считать, что

ϕ(u) = ku,

67

где k – некоторая положительная константа.

Тогда условие (2.38) есть условие Липшица по y1, y2 ,..., yn для функций f j , и его можно записать как

( ) ( ) n

fν x, y1**, y2**,..., yn** − fν x, y1*, y2* ,..., yn* ≤ k ∑ yν** − yν* .

ν=1

Доказательство этой теоремы основано на принципе сжатых отображений и приведено, например, в работе [26].

Замечание 1. Систему (2.34) иногда называют системой, записанной в нормальной форме.

Замечание 2. Для системы (2.34) формулировка задачи Коши аналогична формулировке задачи Коши линейных систем дифференциальных уравнений (см. п. 2.2.1).

Остановимся теперь на методах решений систем нелинейных уравнений, записанных в нормальной форме. Из всего многообразия методов, рассмотренных в литературе [21–28], остановимся на трех, наиболее часто применяемых при решении систем: методе исключения неизвестных, методе интегрируемых комбинаций и методе Эйлера.

1. Метод исключения неизвестных

Общая схема состоит в следующем. Дифференцируя, например, первое из уравнений (2.34) последовательно (n −1) раз

68

Определив y2 ,..., yn из первых (n −1) уравнений системы

(2.39) и подставив эти выражения в последнее уравнение системы, получим дифференциальное уравнение n-го порядка

Решив это уравнение, найдем решение исходной системы уравнений.

2. Метод интегрируемых комбинаций

Этот метод интегрирования системы дифференциальных уравнений (2.34) состоит в следующем: с помощью подходящих арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) из уравнений системы образуют так называемые интегрируемые комбинации, т.е. достаточно просто решаемые уравнения вида

Каждая интегрируемая комбинация дает один первый интеграл. Если найдено n независимых первых интегралов системы (2.34), то её интегрирование закончено; если же найдено m независимых первых интегралов, где m < n, то система (2.34) сводится к системе с меньшим числом неизвестных функций.

3. Метод Эйлера

Метод Эйлера в большинстве случаев применяется при решении линейных однородных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами вида

69

где коэффициенты aik – постоянные, а xk (t) – искомые функ-

ции.

Однако его можно применять и при решении нелинейных систем дифференциальных уравнений, если систему (2.34) удается с помощью замены переменной

fν (t,u1,u2 ,...,un ) = aνkuk (t) (ν =1, 2, ..., n, k =1, 2, ..., n)

свести к уравнению (2.39′).

В целях упрощения выкладок проиллюстрируем метод Эйлера на примере системы (2.39′) при i =1, 2, 3. В этом случае

система (2.39′) имеет вид

Система (в) имеет ненулевое решение, когда её определитель ∆ равен нулю (∆ = 0).

70