книги / Математическое моделирование кинетики сложных химических реакций. Ч. 1

систему (2.2) линейной однородной системой, в противном случае – линейной неоднородной.

2.2.1. Основные теоремы для однородных систем дифференциальных уравнений первого порядка

Пусть однородная система уравнений имеет m решений:

Линейной комбинацией назовем векторную функцию

торые теоремы из работы [21].

Теорема 1. Линейная комбинация решений однородной линейной системы является также решением этой системы.

Определение: m векторных функций (2.3) называются линейно зависимыми между собой, если существуют такие постоянные C1, C2 , ..., Cm (среди которых есть, по крайней

мере, одна постоянная, отличная от нуля), при которых имеет место тождество

m

∑Ck y(k ) (x) ≡ 0.

k=1

41

Определитель системы (2.3), записанный в виде

называется определителем Вронского для указанной системы векторных функций:

Теорема 2. Если функции (2.5) линейно зависимы, то оп-

ределитель W(x)≡0 [22,23].

Теорема 3. Если W(x) для системы функций (2.5), являющихся решением системы (2.2′′) равен нулю хотя бы в одной точке x = x0 , то функции (2.5) линейно зависимы на некотором

интервале (a,b) x = x0.

Определение: система n линейно независимых решений системы (2.2′′) называется ее фундаментальной системой решений.

Теорема 4. Если функции (2.5) составляют n линейно независимых решений системы (2.2′′), то всякое решение этой системы можно представить как линейную комбинацию этих решений в виде

n

y(x) = ∑Ck y(k ) (x),

k=1

где Ck – постоянные.

42

Вывод: совокупность решений системы (2.2′′) образует n- мерное линейное пространство. Фундаментальная система решений – базис в этом пространстве [21, 23].

Общий вывод: общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений есть линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами из решений, составляющих фундаментальную систему.

В рассматриваемом случае при фиксированных индексах i получим

С учетом обозначений уравнение (2.1) примет вид

dy n ( ) ( )

dxi = ∑ aij x y j + fi x .

j=1

Запишем полученную систему в развернутом виде

43

Полученная линейная неоднородная система уравнений может быть записана также в матричном виде:

2.2.2. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений

Запишем систему (2.6) для случая fi ≡ 0 в виде

dy n

dxi = ∑ aij (x) y j .

j=1

Пусть однородная система имеет m решений:

44

Составим линейную комбинацию

m

∑Ck y(k ) (x) = C1 y(1) (x) +C2 y(2) (x) + C3 y(3) (x) + ... + Cm y(m) (x), k=1

где C1, C2 , C3,…, Cm – некоторые константы, определяемые по

работе [24].

Составим определитель Вронского:

2.2.3. Определитель Вронского

Если векторная функция (2.8) представляет собой n решений однородной линейной системы (2.6), то между значениями в точках x и x0 и определителем W(x) существует следующая зависимость [21, 22]:

45

W(x) = W (x0 ) exp ∫x [a11(ξ) + a22 (ξ) + a33 (ξ) +... + ann (ξ)dξ]. (2.9)

x0

Заметим прежде всего, что не всякие n векторных функций y(k ) (x), имеющие непрерывные первые производные, яв-

ляются фундаментальной системой решений некоторой системы вида

с непрерывными коэффициентами.

По теореме 3 необходимо, чтобы их определитель W≠0. Это условие является достаточным. Для доказательства составим следующие n линейных дифференциальных уравнений относительно функций y1(x), y2 (x), ..., yn (x), с определителем

Легко видеть, что этим уравнениям удовлетворяют функции, записанные в столбцах (2.5). Кроме того, так как определитель, составленный из функций (2.5), нигде не обращается в нуль, то все эти уравнения можно разрешить относительно

dydxi , где i = 1, 2, …, n. Полученная система и будет удовлетво-

рять всем требуемым свойствам, описанным выше.

46

2.2.4. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений первого порядка

Сформулируем сначала теорему о структуре общего решения [23].

Теорема. Пусть векторная функция φ(x) представляет собой одно какое-либо частное решение неоднородной системы (2.2′), тогда всякое решение этой системы можно представить в следующем виде: y(x) = v(x) + φ(x), где функции φ(x) и v(x) удовлетворяют однородной системе (2.9′).

Справедливо и обратное утверждение: всякая функция y(x) рассмотренного вида удовлетворяет системе (2.2).

Докажем сначала прямое утверждение:

Следствие. Всякое решение неоднородной линейной системы можно представить в виде

y = ϕ+ ∑Ck y(k ), где k = 1, 2, …, n.

k

Функции y(k ) образуют фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы, а Ck – некоторые од-

нозначно определяемые для этого решения постоянные. Справедливо и обратное утверждение.

Для нахождения коэффициентов Ck используют обычно метод вариации произвольных постоянных.

Метод вариации постоянных: пусть функции y(k ) (x)

образуют фундаментальную систему решений системы (2.9′). Попытаемся теперь удовлетворить системе (2.2′), для чего положим

n

y(x) = ∑Ck (x) y(k ) (x), (2.11)

k=1

47

На основании этого можно сделать следующий вывод: из системы (2.12) можно единственным образом определить Ck′(x).

Пусть Ck′ (x) = ϕk (x) – некоторые функции. Отсюда, интегрируя, получим

где Ck – совокупность некоторых постоянных.

Так как достаточно найти только одно частное решение системы (2.2′), то эти постоянные можно считать, например, равными нулю. Тогда искомое решение имеет следующий вид:

y(x) = ∑ψk (x) yi(k ) (x).

k

Отсюда следует утверждение [24]: если оставить Ck про-

извольными, то после подстановки (2.13) в (2.11) получим общее решение системы (2.2).

48

2.2.5. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Будем рассматривать линейные системы дифференциальных уравнений, у которых неизвестные функции, свободные члены и коэффициенты – комплексные, а независимая переменная – действительная.

(дифференцирование идет по x).

Линейную систему с постоянными коэффициентами запишем в следующем матричном виде:

(векторы).

Основная идея решения системы (2.14) состоит в том, чтобы с помощью линейного преобразования искомого вектора привести эту систему к наиболее простому виду [24]. Покажем это.

Пусть дано линейное преобразование в виде

n

zi = ∑ kij y j , где i = 1, 2, …, n,

j=1

тогда его можно коротко записать в матричной форме

z = K · y,

где z(x) – новая искомая матрица-столбец, зависящая от x, а K – квадратная матрица выбранного преобразования.

49

Будем рассматривать невырожденные преобразования, т.е. такие, для которых выполняются условия

det K ≠ 0 и y = K−1 z.

Подставляя это выражение в равенство (2.14), получим

K−1 dxdz = A K−1 z + f (x).

Откуда после несложных преобразований получим dxdz = K A K−1 z + K f (x)

или с учетом обозначений

B = K A K−1; g (x) = K f (x)

Система (2.15) имеет тот же вид, что и система (2.14), но матрица коэффициентов изменилась по следующей формуле:

B = K A K−1 .

Подберем матрицу преобразования в жордановой нормальной форме и обозначим ее через B = K A K−1 . Эта форма распишется так: вдоль диагонали матрицы B стоят жордановы

50