книги / Математическое моделирование кинетики сложных химических реакций. Ч. 1
.pdf
τ =1,5 |
с |
при |
C1(t) = |
1 |
. |
|
|
|
|
3 |
|
4.2 б. Указания и решения. Преобразовав и решив данную систему, приходим к дифференциальному уравнению относи-
тельно y1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
y '2 =3y4 |
+ 1 (1−3n) y2 |
+ 1 mn, |
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
где m = c1 +c2 , |
n = c1 −c2 – произвольные постоянные. |
|
|
|||
Для построения функции Вейерштрасса достаточно при- |
||||||
нять m = n =1 |
и найти |
инварианты |
уравнения y '2 |
= 3y4 |
− |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
−y12 + 14 (см. задачу 4.11):
g2 = 121 , g3 = −10813 .
Тогда функция Вейерштрасса имеет вид
χ(x) = ±∫ |
|
|
dy1 |
|
|
+c* , где y1 = χ(x +c* ). |
|||
4y3 |
− |
|
1 |
y + |
|
13 |
|||
|
|
||||||||
12 |
108 |
|
|||||||
1 |
|
1 |
|
||||||
4.2в
(*)g2 = 0; g3 = −72964 a2 (a = const).
(**) g2 = 0; g3 = |
4 −3a2 |
|
27 |
(a = const). |
|
|
|
|
4.3 а. Функция определена на интервале (0;+∞), а следо- |
||
вательно, и на интервале |
(0;3]. Точек экстремумов не имеет. |
|
Так как функция монотонно убывающая, то своего наибольшего значения не имеет на заданном промежутке, а наименьшего достигает в правом конце интервала при x = 3, y1наим =1.
211
4.3 б. Указания и решения. Подставляя заданные значения x = 2, c3 = 0, α =β = γ =1 в (4.59) (см.задачу 4.56), приходим к системе
4c1 +2λc1 +1,09c2 = −1,
1,09c1 +0,26c2 −2λc2 = 0,
c12 +c22 −1 = 0.
Далее получаем вектор u1 ее решений: u1 ={2;0,977; −0,211;−2,394}. Затем составляем определитель ∆ по формуле
(2.55′′): ∆1 = 20,929 > 0.
Таким образом, точка P(0,977; −0,211) является точкой условного минимума функции.
4.4 а
Для табл. 4.7 lопт (0; 1,1 с). Для табл. 4.8 lопт (0; 1,7 с).
212
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Бенсон С. Основы химической кинетики: пер. с англ. / под ред. Н.М. Эмануэля. – М.: Мир, 1964. – 603 с.
2.Эмануэль Н.М., Кнорре Д.Г. Курс химической кинетики: учебник для хим. фак. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.:
Высш. школа, 1974. – 400 с.
3.Иоффе И.И., Письмен Л.М. Инженерная химия гетерогенного катализа. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Химия, 1973. – 461 с.
4.Киперман С.А. Основы химической кинетики в гетерогенном катализе. – М.: Химия, 1979. – 349 с.
5.Панченков Г.М., Лебедев В.П. Химическая кинетика
икатализ. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: Химия, 1985. – 592 с.
6.Семиохин И.А., Страхов Б.В., Осипов А.И. Кинетика гомогенных химических реакций. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. – 232 с.
7.Берлин А.А., Вольфсон С.А., Ениколопян Н.С. Кинетика полимеризационных процессов. – М.: Химия, 1978. – 320 с.
8.Жданов В.П. Скорость химической реакции. – Новосибирск: Наука, 1986. – 101 с.
9.Писаренко В.Н., Погорелов А.Г. Планирование кинетических исследований. – М.: Наука, 1969. – 176 с.
10.Федосеев А.М., Кетиков В.Н. Аналитические и численные методы решения дифференциальных уравнений, описывающих кинетику химических реакций: учеб. пособие / Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь, 2004. – 48 с.
11.Кетиков В.Н., Федосеев А.М. О некоторых аспектах математического моделирования кинетики химических реакций // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. –
Пермь, 2004. – С. 77–84.
12.Кетиков В.Н., Федосеев А.М. О разрешимости некоторых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений кинетики сложных химических реакций //
213
Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. – 2005. –
С. 38–43.
13.Кетиков В.Н., Федосеев А.М. Математическое моделирование последовательной реакции первого порядка химической кинетики // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. – Пермь, 2007. – С. 72–75.
14.Кетиков В.Н., Федосеев А.М. Исследование физикохимических параметров кинетики некоторых сложных химических реакций // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная ма-
тематика. – Пермь, 2008. – № 14. – С. 42–49.
15.Кетиков В.Н., Федосеев А.М. Получение некоторых экстремальных характеристик сложных химических реакций // Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика. – Пермь, 2010. – № 15. – С. 83–92.
16.Кафаров В.В., Глебов М.Б. Математическое моделирование основных процессов химических производств: учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 1991. – 400 с.
17.Построение математических моделей химикотехнологических объектов / Е.Г. Дудников [и др.]. – Л.: Химия, 1970. – 312 с.
18.Закгейм А.Ю. Введение в моделирование химикотехнологических процессов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.:
Химия, 1982. – 288 с.
19.Математическое моделирование химико-технологиче- ских процессов / Ас.М. Гумеров [и др.]. – М.: КолосС, 2008. – 159 с.
20.Бондарь А.Г. Математическое моделирование в химической технологии. – Киев: Вища школа, 1973. – 279 с.
21.Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: пер. с нем. – изд., 5-е, стереотип. – М.:
Наука, 1971. – 576 с.
22.Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. – М.:
Наука, 1981. – 381 с.
214
23.Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Наука, 1980. – 287 с.
24.Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения: пер. с англ. – М.: Мир, 1970. – 720 с.
25.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям: учеб. пособие. – 3-е изд. перераб. и доп. – М.: Высш. школа, 1978. – 287 с.
26.Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1970. – 280 с.
27.Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи: учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. школа, 1989. – 383 с.
28.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление.
Теория устойчивости: учеб. пособие. – 2-е изд., перераб.
идоп. – М.: Наука, 1981. – 302 с.
29.Корн Г., Корн Т.Справочник по математике для научных работников и инженеров: пер. с англ. / под ред. И.Г. Арамановича. – М.: Наука, 1968. – 720 с.
30.Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Наука, 1970. – 304 с.
31.Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции, формулы, графики, таблицы. – М.: Наука, 1968. – 344 с.
32.Самарский А.А. Теория разностных схем. – 2-е изд. –
М.: Наука, 1983. – 616 с.
33.Самарский А.А. Введение в численные методы: учеб. пособие для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1987. – 288 с.
34.Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.:
Наука, 1985. – 231 с.
215
35.Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. – М.: Физматлит, 2002. – 304 с.
36.Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для ПВЭМ. – М.: Наука, 1987. – 240 с.
37.Саутин С.Н., Пунин А.Е. Методы интегрирования жестких систем дифференциальных уравнений: учеб. пособие. –
Л.: 1987. – 77 с.
38.Полак Л.С., Гольденберг М.Я., Левицкий А.А. Вычислительные методы в химической кинетике. – М.: Наука, 1984. – 280 с.
39.Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного: учеб. пособие. – 5-е изд., испр. –
М.: Наука, 1987. – 688 с.
40.Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций: учеб. пособие. – 4-е изд., испр. и доп. – М.: Нау-
ка, 1978. – 416 с.
216
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Программа решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента
program gaussglav;
type matrix = array[1..15,1..15] of real; vector = array[1..15] of real;
var
a,c : matrix; x,b,g : vector; v,s : real;
i,k,l,m,j,k1,j1,n,n1 : integer; label L1,L2,L3,L4;
procedure POISC; label L1,L2,L3,L4; begin
n1:=n-1;
for k:=1 to n1 do begin
if abs(a[k,k])>0 then goto L3; k1:=k+1;
for m:=k1 to n do begin
if abs(a[m,k])>0 then goto L1; goto L2;
L1: for l:=1 to n do begin
v:=a[k,l];
a[k,l]:=a[m,l];
a[m,l]:=v;
end; L2: end; v:=b[k];
b[k]:=b[m];
b[m]:=v;
L3: g[k]:=b[k]/a[k,k]; k1:=k+1;
for i:=k1 to n do begin b[i]:=b[i]-a[i,k]*g[k]; for j1:=k to n do
217
begin j:=n-j1+k;
c[k,j]:=a[k,j]/a[k,k]; a[i,j]:=a[i,j]-a[i,k]*c[k,j]; end;
end;
end;
end;{poisk}
BEGIN
writeln('Введите количество уравнений N:'); readln(n);
writeln('Введите значения элементов матрицы А:'); for j:=1 to n do
for i:=1 to n do begin
writeln('a[',j,':',i,']');
readln(a[j,i]);
end;
writeln('Введите значения элементов вектора B:'); for i:=1 to n do
begin writeln('b[',i,']'); readln(b[i]);
end;
POISC; m:=n;
x[m]:=b[m]/a[m,m]; L4: m:=m-1; s:=0;
for l:=m to n1 do s:=s+c[m,l+1]*x[l+1]; x[m]:=g[m]-s;
if m>1 then goto L4; writeln('Решение системы уравнений') for i:=1 to n do writeln('x[',i,']=',x[i]); writeln('Нажмите любую клавишу'); readln;
END.
218
2. Программа решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге–Кутта 4-го порядка
Program RungCut; uses crt;
type mas=array[1..10] of real; Var n,V,H,x,xk: real;
i: integer; y,A,k,F,W:mas;
Procedure O(y:mas;Var F:mas); begin
F[1]:= y[2]-y[3]; F[2]:= sqr(y[1])+y[2]; F[3]:= sqr(y[1])+y[3];
{F[1]:=-y[2]+y[3]; F[2]:=sqr(y[1])-y[2]; F[3]:=sqr(y[1])-y[3];} end;{O}
BEGIN clrscr;
textcolor(13);
randomize;
writeln('Решение СДУ методом Runge-Kutta'); writeln('Введите число уравнений N'); readln(n);
writeln('Задайте шаг интегрирования h'); readln(H);
writeln('Введите начальное x0'); readln(x);
writeln('Введите конечное xk'); readln(xk);
writeln('Задайте начальные условия y0 в точке x0'); i:=1;
while i<=n do begin
Write('y0[',i,']=');
readln(W[i]);
y[i]:=W[i];
i:=i+1;
end;
219
while x<xk do begin
O(y,F);
i:=1;
while i<=n do begin
V:=H*F[i];
K[i]:=V;
y[i]:=W[i]+V/2;
i:=i+1;
end;
x:=x+H/2;
O(y,F); i:=1;
while i<=n do begin
V:=H*F[i];
K[i]:=K[i]+2*V;
Y[i]:=W[i]+V/2;
i:=i+1;
end;
O(y,F); i:=1;
while i<=n do begin
V:=H*F[i];
K[i]:=K[i]+2*V;
Y[i]:=W[i]+V;
i:=i+1;
end;
x:=x+H/2;
write({'x=',}x:5:2);
O(y,F);
i:=1;
while i<=n do begin
y[i]:=W[i]+(K[i]+H*F[i])/6;
write({' y[',i,']=',}' ',y[i]:6:4); W[i]:=y[i];
i:=i+1;
end;
Writeln;
end;
readln;
END.
220