книги / Математическое моделирование кинетики сложных химических реакций. Ч. 1

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

По найденным инвариантам g2

и g3 составим теперь аб-

солютный инвариант

g23 −27g32

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

1.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2320 21 22 23 > Следующая >>>

гочлена четвертой степени правой части уравнения получим решение системы (4.26) в эллиптических функциях.

Доказательство теоремы приведено в работе [30] и п. Д. 2.6. Вернемся теперь к задаче 4.11. Исследуем случай некратных корней правой части уравнения (4.37). Для простоты рас-

суждений примем, что в уравнениях (4.37) и (4.65)

a2 +b = −6,

ab2 = 3.

Составим многочлен ϕ( y1 ) = y14 +6y12 +3 и используем условие теоремы. Тогда

a0 =1; a1 = 0; a2 =1; a3 = 0; a4 = 3.

Подсчитаем инварианты g2 и g3:

g2 =1 3 −4 0 +3 12 = 6;	g3 =	1	0	1	= 2 .
g2 =1 3 −4 0 +3 12 = 6;	g3 =	0	1	0	= 2 .
		1	0	3

Решение однозначно устойчиво.

Тогда каноническая форма дифференциального уравнения (4.37) имеет вид

Ψ(t1 ) = 4t13 −6t1 −2. .

Составим соответствующие решения по виду (2.70) и (4.66) (см. п. Д. 2.6):

191

χ = c* + ∫			dt1	,	(4.67)
χ = c* + ∫	4	t3	−6t −2	,	(4.67)
	4	t3	−6t −2
		1	1
где t1 = χ(χ+c* ).
Для нахождения окончательного решения для					y1 неслож-

но теперь вернуться к старой переменной. Используя формулы (4.33) для y2 и y3 задачи 4.4 и проведя аналогичные выкладки, можно получить аналитические решения в эллиптических функциях для интегральных кривых y3 (x) и y2 (x) (концен-

траций второго и третьего веществ реакций). Окончательный вид интеграла (4.67) выбирается в виде алгебраического многочлена, который удобно использовать в вычислениях (такие аппроксимирующие многочлены приведены во вспомогательных таблицах, например, работы [31]).

Задача 4.12. Показать, что если в какой-либо химической

то сама концентрация y1 находится аналитически в виде функ-

ции Вейерштрасса.

Пусть для определенности константа a =1. Тогда уравнение запишется в виде

dy1	3	= y3	−2y2	+ y .	(4.68′)
		1	1	1
dx
Составим многочлен		ϕ( y1 ) = y13 −2y12 + y1			и используем

рассмотренную выше теорему. Найдем следующие соотношения:

a0 = 0; 4a1 =1; 6a2 = −2; 4a3 =1; a4 = 0,

192

из которых получим

	a = 0;				a = 1				;			a = −1							;		a = 1 ; a =							0.
0					1		4				2						3				3		4			4
							4										3						4
Теперь подсчитаем инварианты g2 ,																						g3:
g2 = a0a4 −4a1a3 +3a22 = −4 1 1																		+3 −				1	2		= −	1 +		1	=		1		;
g2 = a0a4 −4a1a3 +3a22 = −4 1 1																		+3 −				3	2		= −	1 +		3	=	12			;
											4 4											3				4		3		12
																			1			−	1
															0				1			−	1
				a0	a1					a2									4				3
																			4				3
															1				−1 1							1
	g		=	a a a								=			1									= −		1		;
	g	3	=	a a a								=												= −				;
		3		1	2				3						4				3			4				216
				a2	a3					a4					4				3			4				216
															−	1			1			0
															−	1			1			0
																3			4
и абсолютный инвариант G:
													1			3										1
			3

																									1728
G =		y2			=								12									=			1728							=
G =	y23 −27g32				=	1				3									1 2			=			1			27				=
												−27					−						1728				− 46656
												−27					−						1728				− 46656
							12											216
											1

					=						1728									→ ∞.
					=				1								27			→ ∞.
														1−			27
														1−
								1728

Решение в целом не устойчиво.

Тогда функция Вейерштрасса задачи 4.12 может быть построена на конкретном (узком) интервале (например, для химических реакций x = t [0;3c] ) и описывается функцией Вей-

ерштрасса вида

χ = c* + ∫				dt1				.	(4.69)

	4t3	−		1	t +		1
			12				216
1						1

193

Таким образом, для химической реакции (4.68) на интервале x [0;3] можно построить решение вида (4.69).

4.5. Примеры решения прикладных задач химической кинетики численными методами

В данном пункте остановимся на некоторых примерах задач, которые иллюстрируют сопоставительный анализ решения прикладных задач аналитическими способами и методами численного интегрирования дифференциальных уравнений.

Задача 4.13. В табл. 4.3 представлены решения задачи 4.3 (см. п. 4.4) типа I табл. 1.4. численным методом Рунге–Кутта 4-го порядка (см. п.3.3) с шагом h = 0,1. Здесь же приведены результаты аналитического решения – расчета по формулам (4.25). Как видно, результаты аналитического и численного решений с учетом округлений совпадают до 4-го знака после запятой.

					Таблица 4.3
	Решение задачи 4.3 типа I (см. табл. 1.4)

	Численное решение			Аналитическое решение
t	C1	C2	C3	C1	C2	C3
	C1	C2	C3	C1	C2	C3
0,0	0,50	0,25	0,75	0,50	0,25	0,75

0,2	0,5906	0,2593	0,6687	0,59063	0,25930	0,66867

0,4	0,6648	0,2844	0,6195	0,66484	0,28438	0,61954

0,6	0,7256	0,3210	0,5954	0,72559	0,32100	0,59541

0,8	0,7753	0,3654	0,5901	0,77533	0,36539	0,59006

1,0	0,8161	0,4143	0,5983	0,81606	0,41434	0,59828

1,2	0,8494	0,4653	0,6159	0,84940	0,46529	0,61588

1,4	0,8767	0,5163	0,6396	0,87670	0,51626	0,63956

1,6	0,8991	0,5658	0,6668	0,89905	0,56582	0,66677

1,8	0,9174	0,6130	0,6956	0,91735	0,61298	0,69563

2,0	0,9323	0,6571	0,7248	0,93233	0,65708	0,72475

194

На рис. 4.6 приведены интегральные кинетические кривые соответственно для концентраций C1, C2 и C3 веществ реакции.

Рис. 4.6

Задача 4.14. В табл. 4.4 представлено решение задачи 4.1 (см. п. 4.2) численным методом Рунге – Кутта с шагом h = 0,1. Здесь же приведены результаты аналитического решения этой задачи – расчета по формулам (4.13)–(4.14). Результаты аналитического и численного решений, с учетом округлений при получении аналитического решения с помощью микрокалькулятора, и в этом случае совпадают достаточно близко.

На рис. 4.7 представлены интегральные кинетические кривые для соответствующих концентраций реагентов, приведенных в табл. 4.4.

195

Таблица 4.4

Решение задачи 4.1 (см. п. 4.2)

t	Численное значение						Аналитическое решение
t	Cч		Cч	Cч	Cч		Ca			Ca		Ca			Ca
	Cч		Cч	Cч	Cч		Ca			Ca		Ca			Ca
	A		B	C	D		A			B			C		D
0,0	0,1000	0,2000		0,3000	0,0000	0,1187			0,2001		0,3000			0,0000
0,2	0,1290	0,1476		0,2388	0,0846	0,1408			0,1501		0,2403			0,0886
0,4	0,1321	0,1168		0,1924	0,1586	0,1400			0,1199		0,1947			0,1658
0,6	0,1238	0,0963		0,1569	0,2229	0,1294			0,0993		0,1596			0,2325
0,8	0,1112	0,0811		0,1293	0,2784	0,1153			0,0836		0,1320			0,2898
1,0	0,0976	0,0689		0,1075	0,3260	0,1008			0,0710		0,1101			0,3390
1,2	0,0845	0,0587		0,0900	0,3668	0,0871			0,0605		0,0923			0,3810
1,4	0,0726	0,0501		0,0756	0,4016	0,0748			0,0516		0,0777			0,4169
1,6	0,0622	0,0427		0,0638	0,4313	0,0639			0,0440		0,0657			0,4474
1,8	0,0531	0,0364		0,0540	0,4566	0,0546			0,0375		0,0556			0,4734
2,0	0,0452	0,0310		0,0457	0,4781	0,0465			0,0319		0,0471			0,4956
	0,60
	0,60
	0,50
	0,50							CDa
	0,40


			СCa							CDч

С 0,30	Cч
	Cч
	C
0,20
CAa
0,10
CAч	C a	ч
	B	CB
	B
0,00

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

Рис. 4.7

196

Задача 4.15. Для задачи IV типа (см. табл. 1.4) в табл. 4.5 приведены результаты её численного решения методом Рунге – Кутта с шагом h = 0,1 при значениях начальных концентраций

C1(0) = 0,25; C2 (0) = 0,25 и C3 (0) = 0,75, а в табл. 4.6 с тем же шагом h при значениях начальных концентраций C1(0) = 0,5;

C2 (0) = 0,25 и C3 (0) = 0,75.

Таблица 4.5

Решение задачи IV типа (см. табл. 1.4)

при С1(0) = 0,25; С2(0) = 0,25; С3 = (0) = 0,75

t	C1(t)	C2(t)	C3(t)
0,1	0,2379	0,2629	0,7495
0,2	0,2266	0,2766	0,7481
0,3	0,2160	0,2910	0,7458
0,4	0,2062	0,3062	0,7424
0,5	0,1971	0,3222	0,7381
0,6	0,1888	0,3388	0,7329
0,7	0,1812	0,3561	0,7265
0,8	0,1743	0,3740	0,7192
0,9	0,1680	0,3925	0,7108
1	0,1624	0,4115	0,7013
1,1	0,1575	0,4308	0,6907
1,2	0,1533	0,4504	0,6791
1,3	0,1496	0,4702	0,6664
1,4	0,1466	0,4900	0,6526
1,5	0,1442	0,5098	0,6379
1,6	0,1423	0,5293	0,6221
1,7	0,1411	0,5485	0,6055
1,8	0,1405	0,5673	0,5881
1,9	0,1404	0,5855	0,5700
2	0,1410	0,6030	0,5513
2,1	0,1421	0,6197	0,5322
2,2	0,1439	0,6356	0,5127
2,3	0,1462	0,6505	0,4929
2,4	0,1491	0,6644	0,4731
2,5	0,1527	0,6773	0,4533
2,6	0,1569	0,6891	0,4337
2,7	0,1617	0,6998	0,4143
2,8	0,1672	0,7094	0,3953
2,9	0,1733	0,7180	0,3767
3	0,1801	0,7255	0,3587

197

Таблица 4.6

Решение задачи IV типа (см. табл. 1.4)

при С1(0) = 0,5; С2(0) = 0,25; С3 = (0) = 0,75

t	C1(t)	C2(t)	C3(t)
0,1	0,4752	0,2585	0,7631
0,2	0,4511	0,2684	0,7743
0,3	0,4277	0,2798	0,7834
0,4	0,4053	0,2925	0,7907
0,5	0,3840	0,3067	0,7959
0,6	0,3639	0,3224	0,7992
0,7	0,3451	0,3394	0,8005
0,8	0,3277	0,3577	0,7998
0,9	0,3116	0,3774	0,7972
1	0,2969	0,3984	0,7926
1,1	0,2837	0,4204	0,7860
1,2	0,2719	0,4435	0,7774
1,3	0,2615	0,4674	0,7669
1,4	0,2526	0,4920	0,7544
1,5	0,2450	0,5171	0,7400
1,6	0,2388	0,5423	0,7238
1,7	0,2340	0,5676	0,7057
1,8	0,2306	0,5926	0,6861
1,9	0,2285	0,6170	0,6649
2	0,2278	0,6406	0,6425
2,1	0,2284	0,6631	0,6189
2,2	0,2304	0,6844	0,5946
2,3	0,2337	0,7042	0,5696
2,4	0,2384	0,7224	0,5444
2,5	0,2445	0,7388	0,5191
2,6	0,2519	0,7533	0,4940
2,7	0,2608	0,7660	0,4694
2,8	0,2710	0,7766	0,4454
2,9	0,2827	0,7854	0,4222
3	0,2958	0,7921	0,4001

198

Для найденных численных значений концентраций C1(t), C2 (t) и C3 (t) в осях координат t – C(t) построены их графики,

приведенные соответственно на рис 4.8 для табл. 4.5 и рис. 4.9 для табл. 4.6.

Рис. 4.8

Рис. 4.9

199

Задания к главе 4

4.1.а. Решить задачу 4.1 (последовательная реакция первого порядка) при заданных (экспериментально определённых) скоростях реакций:

k1 = 7,128, k2 = 0,74, k3 = 6,62, k4 = 5,60, k5 =3,47, k6 = 2,57, k7 =10,8, k8 =1,08, k9 = 2,90

и следующих начальных условиях:

CA (0) = 0,015, CB (0) = 0,01158, CС (0) = 0,00993, CD (0) = 0;

при температуре 669 К и давлении 760 мм рт. ст.

4.1.б. Решить задачу 4.2 (обратимая реакция второго порядка) при экспериментально определённых константах

скоростей реакций: k =5,4 10−3 , k			2	=1,35 10−3	и начальных
	1
концентрациях реагентов (при Т и Р = const),					равных CA(0) =
=CB(0) =1;	CR(0) =CS(0) = 0.	Используя результат исследований,
выяснить,	за какой промежуток времени τ концентрация ве-

щества А уменьшится вдвое.

4.2.а. Решить задачу 4.3 при тех же данных, но начальные

условия принять следующие:		y1(0) = 0,1, y2 (0) = 0,2, y3 (0) =
= 0,5.	Используя полученный результат решения, выяснить, за
какой	промежуток времени	τ концентрация первого реаги-

рующего вещества уменьшится втрое.

4.2.б. Для данных задачи 4.4 решить систему

	2		2	2
ay1		+by2 +cy3 = c1,
a2 y2			+b2 y2	+c2 y2	= c
		1	2	3	2
при заданных значениях a = 2,				b =1,	c = −1. Построить функ-

цию Вейерштрасса для интегральной кривой y1 (x).

200

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2320 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги