книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Оптика. Квантовая физика

определяемом углом ϕ, создадут на экране колебания с одинаковой амплитудой dA, так как линза собирает в фокальной плоскости плоские (а не сферические) волны. В связи с этим множитель 1/ r в выражении (1) будет отсутствовать. Если же ограничиться малыми углами дифракции, то коэффициент K (ϕ) в (1) можно считать посто-

янным.

Проведем суммирование вторичных волн с помощью векторной диаграммы. Каждое колебание, приходящее от зоны-полоски, имеет одинаковую амплитуду dA, но эти колебания от соседних зон имеют одинаковый небольшой сдвиг фазы δθ, обусловленный разностью расстояний от краев зоны до точки P и зависящий от угла дифракции ϕ. Таким образом, нам необходимо сложить графически цепоч-

ку векторов dA, одинаковых по модулю и повернутых относительно друг друга на один и тот же угол δθ.

При ϕ = 0 (т.е. в центре экрана) разность фаз всех соседних векторов δθ = 0 (напомним, что линза – система таутохронная). В этом случае векторная диаграмма имеет вид, показанный на рис. 2.24, а. Амплитуда результирующего колебания A0 равна сумме амплитуд dA складываемых колебаний – это нулевой максимум. Если угол ϕ таков, что разность хода лучей, приходящих от краев щели, ∆ =bsin ϕ = λ/ 2, то полный сдвиг фазы первого и последнего колебаний, приходящих от краев щели, равен π (колебания находятся в противофазе). Соответственно векторы dA располагаются вдоль полуокружности длиной A0 (сумма их модулей не может измениться!). Это отображено на рис. 2.24, б. Следовательно, результирующая амплитуда равна 2А0/π, что меньше амплитуды при ϕ = 0. Увеличим еще угол ϕ до значения, при котором разность фаз колебаний от краев щели станет равной 2π. В этом случае разность хода ∆ =bsin ϕ = λ

и векторы dA расположатся вдоль окружности (рис. 2.24, в). Результирующая амплитуда станет равной нулю – первый минимум.

91

Соответствующая картина распределения интенсивности света в зависимости от sin ϕ представлена на рис. 2.25. Обратим внимание

на то, что центральный максимум значительно превосходит по интенсивности остальные максимумы и в нем сосредоточивается основная доля светового потока, проходящего через щель.

Рис. 2.25

Кроме того, мы нашли угловое положение как максимумов, так и минимумов интенсивности. Условие

bsin ϕ= ±kλ (k =1,2,3...)

определяет угловое положение минимумов (при k = 0 всегда наблюдается максимум), а условие

определяет положение максимумов при дифракции Фраунгофера на щели шириной b.

Дифракция Фраунгофера от круглого отверстия представляет большой практический интерес, так как оправы линз и объективов

93

в оптических приборах, а также диафрагмы имеют обычно круглую форму. Дифракцию наблюдают по той же схеме, что и дифракцию Фраунгофера на узкой щели (см. рис. 2.23), только вместо ширины щели b необходимо учитывать диаметр отверстия D. Дифракционная картина имеет вид центрального светлого пятна, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами. Подавляющая часть (около 84 %) светового потока, проходящего через отверстие, попадает в область центрального светлого пятна (кружок Эйри). Интенсивность первого светлого кольца составляет всего 0,75 %, а второго – 0,41 % от интенсивности центрального пятна (соответствующее распределение интенсивности света в зависимости от sin ϕ приведе-

но на рис. 2.26). Поэтому в первом приближении дифракционную картину можно считать состоящей из одного лишь светлого пятна с угловым радиусом, определяемым формулой

sin ϕ1 =1,22 Dλ .

Рис. 2.26

Это пятно является по существу изображением бесконечно удаленного точечного источника света, уширенным дифракцией от краев круглого отверстия диаметром D.

Одним из важнейших спектральных приборов является дифракционная решетка – стеклянная или металлическая пластинка, на ко-

94

bsin ϕ= ±mλ (m =1,2,3...).

Условие дополнительных минимумов, располагающихся между главными максимумами с номером k:

где N – число штрихов решетки. Между дополнительными минимумами располагаются добавочные максимумы, интенсивность которых при достаточно большом N пренебрежимо мала (менее 5 % от интенсивности главных максимумов). Поэтому практически наиболее важными являются главные максимумы.

Дифракция рентгеновского излучения на кристаллической решетке твердого тела описывается формулой Вульфа–Брэгга

2d sin α = ±mλ (m =1, 2,3...),

95

где α – угол скольжения; d – расстояние между кристаллическими плоскостями, в которых атомы расположены наиболее плотно (рис. 2.28).

2.2.1. Зоны Френеля. Рассмотрим несколько примеров задачи о зонах Френеля.

1. Плоская световая волна с длиной волны λ падает нормально на диафрагму с круглым отверстием, которое открывает первые N зон Френеля

для точки P на экране, отстоящем от диафрагмы на расстояние b. Найти интенсивность света I0 перед диафрагмой, если известно распределение интенсивности света на экране I (r), где r – расстояние до точки P.

Рассмотрим вначале общий случай падения на диафрагму с круглым отверстием сферической световой волны от точечного источника S, находящегося на расстоянии a от диафрагмы (рис. 2.29). Так как волновая поверхность, которой мы перекрываем отверстие, симметрична относительно прямой SP, то целесообразно разбить волновую поверхность на кольцевые зоны с центром на оси отверстия. Данные зоны выберем так, чтобы разность расстояний от краев каждой зоны до точки P была равна λ/ 2. Эти кольцевые полоски и есть зоны Френеля в данном случае.

Рис. 2.29

96

Так как световой поток с интенсивностью I0 , прошедший за диафрагму, весь попадает на экран с распределением I (r), то должно выполняться равенство

97

I0πrN2 = ∫ I (r)dS,

где интегрирование ведется по всей площади экрана, а значение rN

в соответствии с формулой (2) равно bNλ. В качестве элемента dS целесообразно взять тонкие плоские кольца радиусом r и шириной dr. Тогда dS = 2πr dr. Таким образом, для I0 получаем

2 ∞

I0 = bNλ ∫0 I (r)dr.

2. Плоская монохроматическая световая волна с интенсивностью I0 падает нормально на поверхности непрозрачных экранов, показанных на рис. 2.31. Найти зависимость от угла α интенсивности света I в точке P:

а) расположенной за вершиной угла экрана (рис. 2.31, а); б) для которой закругленный край экрана совпадает с границей

где A0 – амплитуда колебаний на самом фронте волны. Квадрат этой амплитуды равен интенсивности I0. Значит, интенсивность колебаний в точке P составляет

I≈ 1− 2απ 2 I0.

98

Приближенный знак равенства поставлен из-за того, что мы пренебрегли дифракцией от краев экрана.

В случае, отображенном на рис. 2.31, б, для нахождения амплитуды A в точке P нам придется просуммировать ряд

где Am – амплитуда колебаний от m-й зоны Френеля. Этот ряд составлен из следующих соображений. Площади зон Френеля (при

(b – расстояние от экрана до точки P). Но амплитуды колебаний,

приходящих в точку P от этих зон, монотонно и слабо убывают изза увеличения расстояния до точки P и увеличения угла ϕ между

нормалью к зоне и направлением на точку P. Кроме того, фазы колебаний, возбуждаемых в точке P соседними зонами, отличаются на π, поэтому векторы-амплитуды соседних зон противоположны по направлению.

Представим ряд (3) несколько иначе

В силу монотонности убывания амплитуд можно считать приближенно Am ≈( Am−1 + Am+1 )/ 2 и тогда каждая скобка в (5) обращается

в нуль, поэтому

A1 − A2 + A3 −... ≈ A21 .

Данный результат означает, что амплитуда колебаний от всего фронта волны A0 равна половине амплитуды от первой зоны

99

Френеля (очень неожиданный результат). Для второй скобки в (4) имеем

Но значение A1 / 2 и есть амплитуда колебаний от всего фронта волны A0. Поэтому

A = A 1+ α .

0 2π

Соответственно интенсивность колебаний в точке P составляет

I= I0 1+ 2απ 2 .

3.Плоская световая волна с λ = 640 нм и интенсивностью I0 падает нормально на круглое отверстие радиусом R =1, 20 мм. Найти

интенсивность в центре дифракционной картины на экране, отстоящем на расстояние b =1,50 м от отверстия.

Если бы в отверстии умещалось какое-то небольшое целое число зон Френеля N, то задача сводилась бы к суммированию ряда

A = A1 − A2 + A3 −... ± AN ,

где знак плюс перед AN соответствует нечетному N, а знак минус –

100