книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Оптика. Квантовая физика

раметром параболы и входит в ее каноническое уравнение y2 = 2 px.

Не составляет большого труда доказать, что касательная к параболе MC и нормаль ML (рис. 1.26, б) в точке M (x, y) являются биссек-

Рис. 1.26

Опираясь на эти известные геометрические свойства параболы, нетрудно понять, что если направление MM ′ является падающим лучом света, то после отражения он пересечет ось параболы именно в ее фокусе, независимо от положения точки падения.

31

Получить параболическое зеркало можно, если сосуд с ртутью привести в равномерное вращение вокруг вертикальной оси (ось x).

В этом случае, как нетрудно показать, уравнение вертикального сечения, проходящего через ось вращения, имеет вид

y2 = 2ωg2 x,

где ω – угловая скорость вращения сосуда с ртутью. Из сравнения этого уравнения с каноническим уравнением параболы y2 = 2 px находим фокусное расстояние такого зеркала:

f= 2p = 2ωg 2 .

1.2.2.Какое зеркало? Известны положения оптической оси сферического зеркала AB, светящейся точки S и ее изображения S′.

Найти графическим построением положение вершины зеркала и его центра кривизны для случаев, изображенных на рис. 1.27.

Рис. 1.27

Эта задача является обратной задаче построения изображения при заданном положении сферического зеркала и его центра кривизны. Поэтому будет нелишне воспользоваться информацией, полу-

32

ченной из решения прямой задачи построения изображения в сферическом зеркале. Для нас сейчас будет полезно следующее:

1.Луч, соединяющий точки S и S′, пересекает оптическую ось

вцентре кривизны сферического зеркала (точка O).

2.Луч, отраженный от зеркала в его вершине (точка C) , состав-

ляет с оптической осью тот же угол, что и падающий луч. Для построения равных углов удобно ввести вспомогательную точку S′′, расположенную симметрично точке S (или S′) относительно оптической оси, и соединить прямой линией точку S′′ с точкой S (или S′). Точка пересечения C этой линии или ее продолжения с оптической осью, очевидно, и является вершиной зеркала.

3.Перевернутое изображение создает только вогнутое зеркало

иизображение действительное. Прямое изображение может быть создано вогнутым зеркалом, если точка S ближе к оптической оси,

чем точка S′, и выпуклым, если точка S находится дальше от оси, чем точка S′. В обоих случаях изображение мнимое.

С учетом сказанного ответ задачи будет выглядеть так: рис. 1.28, а, б – изображение действительное, рис. 1.28, в, г – изображение мнимое.

Рис. 1.28

33

1.2.3. Ход луча в зеркале. Найти построением ход луча после отражения в вогнутом и выпуклом сферических зеркалах (рис. 1.29, где F – фокус, AB – оптическая ось).

Рис. 1.29

В данной задаче, в отличие от предыдущей, у нас нет никаких предварительных соображений относительно хода отраженного луча (разумеется, кроме закона отражения). Поэтому разумно ввести некоторый вспомогательный луч – проводник, ход которого нам известен, и этот луч должен быть привязан к заданному нам лучу. Самый простой вариант – взять луч, параллельный заданному, и он должен пройти либо через фокус зеркала F, либо через центр кривизны O. Рассмотрим вначале отражение от вогнутого зеркала. Возьмем вспомогательный луч 1, параллельный заданному и проходящий через фокус зеркала. Так как оба луча параллельные, то отраженные лучи должны пройти через одну точку фокальной плоскости FF′. Но для вспомогательного луча это точка нам известна, после отражения он должен пойти параллельно оптической оси и пересечет фокальную плоскость в некоторой точке D. Значит, и заданный луч пройдет через эту же точку (рис. 1.30, а). В качестве вспомогательного луча можно взять луч 2, проходящий через центр кривизны зеркала (точка O). Напомним, что центр кривизны находится на удвоенном фокус-

ном расстоянии от вершины зеркала. Этот луч после отражения пойдет по старому пути и пересечет фокальную плоскость, естественно, в той же точке D, что и луч 1.

34

Аналогичная ситуация имеет место и при отражении от выпуклого зеркала, но только теперь через одну точку фокальной плоскости должны пройти продолжения лучей (рис. 1.30, б).

Рис. 1.30

1.2.4. Предмет в вогнутом зеркале. Действительное изображе-

ние предмета в вогнутом зеркале превышает по своим размерам предмет в три раза. После того как предмет отодвинули от зеркала на ∆a = 0,8 м, его изображение стало в два раза меньше предмета. Найти фокусное расстояние зеркала.

Данная задача рассчитана на прямое применение формулы сферического зеркала. Построение хода лучей имеет чисто прикладное значение. Так как изображение действительное, то расстояние от предмета до зеркала a превышает фокусное расстояние f . Обра-

тимся к рис. 1.31. Из него для первого положения предмета следует

35

где h – высота предмета; h1′ – высота изображения. Отсюда имеем

Аналогично для второго положения

h2′ = b2 = 1 .

h a2 2

Так как a2 = a1 +∆a, то последнее равенство приобретает вид

1.2.5. Сходящиеся лучи в выпуклом зеркале. Сходящиеся лу-

чи падают на выпуклое зеркало так, что их продолжения пересекаются в точке, находящейся на расстоянии l1 = 0,4 м за зеркалом

(рис. 1.32). После отражения от зеркала лучи расходятся таким образом, что их продолжения пересекаются в точке, отстоящей от зеркала на расстоянии l2 =1,6 м. Обе точки лежат на главной оптической оси

зеркала. Определить фокусное расстояние зеркала.

Хотя условие задачи абсолютно прозрачно, ее решение вызывает определенные психологические трудности. Попытка же ее графического решения приведет к значительным техническим трудностям. Попробуем воспользоваться формулой сферического зеркала

36

Правда, не очень понятно, что здесь принимать за величины a и b, ведь ни о каком реаль-

ном предмете и его изображении не идет и речи. И все становится прозрачным, если представить справа от зеркала глаз. Теперь становится понятным, что точке S′ (см. рис. 1.32) соответствует мнимое изображение, а точке S – мнимый предмет (сам предмет является изображением,

полученным от какой-либо линзы или сферического зеркала – в этом случае лучи идут на отражающую поверхность сходящимся пучком). Тогда в соответствии с правилом знаков мы должны полагать a = −l2 = −0, 4 м, b = −l1 = −1,6 м и из формулы (1) сразу получаем

f = −0,32 м. Как и предполагалось, величина f оказалась отрица-

тельной, что также согласуется с правилом знаков для выпуклого зеркала.

1.2.6. Рыбка в сферическом аквариуме. С каким максималь-

ным увеличением можно наблюдать рыбку, плавающую в сферическом аквариуме?

Будем полагать размеры рыбки много меньше размеров аквариума, чтобы можно было использовать приближение параксиальных лучей. Чтобы не усложнять решение задачи, будем считать, что свет выходит из воды прямо в воздух, исключив из рассмотрения стенку аквариума. Кроме того, будем полагать, что глаз человека и рыбка находятся на прямой, проходящей через центр аквариума. Таким образом, мы можем сразу воспользоваться готовой формулой для преломления света на сферической поверхности раздела двух прозрачных сред:

na1 + nb2 = n2 R−n1 ,

37

где n1 – показатель преломления воды, n1 = n (n = 4 / 3); n2 – показатель преломления воздуха, n2 =1; R – радиус аквариума. Так как

в данном случае изображение рыбки является мнимым (находится по одну сторону с самой рыбкой), то расстояние от передней стенки до рыбки a положительно, а расстояние от передней стенки до изображения b отрицательно (рис. 1.33). И так как преломляющая поверхность вогнутая, то радиус кривизны R необходимо считать отрицательным. Таким образом, формула, определяющая связь положения рыбки и ее изображения, запишется в виде

an − b1 =1−−Rn ,

где теперь величины a, b и R считаются положительными. Разре-

шая это уравнение относительно расстояния от передней стенки аквариума до изображения рыбки b, получаем

Рис. 1.33

38

Отсюда видно, что если рыбка находится ближе к передней стенке аквариума (a < R), то ее изображение находится перед рыб-

кой, если же рыбка плавает ближе к задней стенке (a > R), то ее изображение находится за рыбкой. И только если рыбка находится точно в центре аквариума (a = R), то ее изображение находится в том же месте, что и сама рыбка (b = a). Правда, если рыбка находится точно у передней стенки (a = 0), то изображение также совмещено с самой рыбкой (b = 0).

одной прямой (луч этого направления не испытывает преломления), то из подобия треугольников OS1′S2′ и OS1S2 следует

Γ= ba −−RR .

Ипосле подстановки в данное выражение, справедливое при любом положении рыбки на оптической оси, формулы (1) находим зависимость увеличения рыбки от ее положения внутри аквариума:

Γ = nR . nR −a(n −1)

Этот результат говорит о следующем. Если рыбка находится у передней стенки аквариума (a = 0), то увеличение Γ =1 (видим рыбку такую, какая она есть и в том же месте). Если рыбка находится в центре аквариума (a = R), то Γ = n (видим рыбку в том же месте,

но увеличенную в n раз). И самое большое увеличение наблюдается, если рыбка плавает у задней стенки аквариума: a = 2R. В этом слу-

чае Γ = 2 −n n . Если принять для воды n = 4 / 3, то максимальное уве-

39

личение рыбки составит Γ = 2 и видим мы ее на расстоянии 3R от передней стенки аквариума, хотя сама рыбка находится на расстоянии 2R от передней стенки.

1.2.7. Какая линза? Определить построением положение тонкой линзы и ее фокусов, если известно положение оптической оси OO′, источника S и его изображения S′ (рис. 1.34). Среды по обе стороны линз одинаковы.

Рис. 1.34

Начнем с рис. 1.34, а. Так как источник и его изображение находятся по одну сторону от оптической оси, то это означает, что изображение мнимое. Такое изображение могут создавать и собирающая и рассеивающая линзы. Но в данном случае изображение S′ находится дальше от оптической оси, чем источник (увеличенное изображение). Такие изображения дают только собирающие линзы, когда источник находится между линзой и ее фокусом.

Теперь, когда мы выяснили, с какой линзой имеем дело, можно найти положение линзы и ее фокусов. Для этого воспользуемся тремя лучами, ход которых нам известен:

1. Луч, идущий через оптический центр линзы, не преломляется; следовательно, прямая, проходящая через источник S и его изображение S′ при пересечении с главной оптической осью, определит положение линзы (рис. 1.35, а).

40