книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Оптика. Квантовая физика

Поэтому нам придется разбить фронт волны на очень узкие кольцевые зоны площадью δS (не зоны Френеля). Амплитуду колебаний, создаваемых каждой из таких зон-полосок, изобразим векто-

ром δA. Причем вследствие увеличения расстояния до точки P каждое последующее колебание будет отставать по фазе от предыдущего на небольшой угол δθ. Изобразив отставание по фазе поворотом ка-

ждого вектора δA против часовой стрелки на угол δθ, получим цепочку векторов, векторная сумма которых и есть результирующая амплитуда A в точке P.

результат действия первой зоны Френеля (по ее определению!). В связи с этим для произвольного, но не очень

101

2.2.2. Зоны Френеля на стеклянной пластинке. Плоская све-

товая волна с λ = 0,60 мкм падает нормально на достаточно большую стеклянную пластинку, на обратной стороне которой сделана круглая выемка (рис. 2.33). Для точки наблюдения P она представляет собой первые полторы зоны Френеля. При какой глубине выемки ∆h интенсивность света в точке P будет: а) максимальной; б) минимальной?

Рассмотрим вначале ситуацию при отсутствии стеклянной пластинки. На рис. 2.34 отображены векторы-амплитуды колебаний:

A0 – от всей волновой поверхности (это половина амплитуды от первой зоны Френеля); A1,5 – от первых полутора зон Френеля; Aост – от всех остальных зон. При этом выполняется равенство A0 = A1,5 + Aост.

Поместим теперь на пути волны плоскопараллельную стеклянную пластинку с показателем преломления n и толщиной h. Эта

пластинка внесет оптическую разность хода ∆0 = h(n −1), одинако-

вую для всех зон Френеля. Поэтому все векторы-амплитуды повернутся на одинаковый угол и в итоге картина распределения амплитуд не изменится. Если же в пластинке сделать выемку толщиной ∆h, приходящуюся только на первые полторы зоны Френеля, то это при-

102

ведет к неодинаковому повороту векторов-амплитуд. Тогда колебания, проходящие через выемку, начнут опережать по фазе остальные колебания, поскольку их оптический путь уменьшится на

∆ = ∆h(n −1), что соответствует сдвигу по фазе на δ = 2π∆/ λ и по-

вороту вектора A1,5 на этот угол по часовой стрелке.

Для получения максимума интенсивности (или амплитуды) нуж-

Чтобы получить минимум интенсивности, необходимо повернуть вектор A1,5 на угол δ =(7 / 4)π+2mπ, m = 0,1, 2... (рис. 2.35, б). Следовательно, теперь должно быть выполнено условие

103

2.2.3. Зоны Френеля с линзой. На длиннофокусную собирающую линзу с ирисовой диафрагмой падает параллельный пучок монохроматического света. На расстоянии b от линзы помещен экран, на котором наблюдаются дифракционные кольца. При каких радиусах диафрагмы R центр колец будет темным и при каких светлым, если фокусное расстояние линзы равно f ?

ет принять за b, а расстояние S′O – за a = f . Из треугольника AS′B на рис. 2.36 находим

= r2 hb 2mb .

104

Кроме того, как следует из рис. 2.36, в соответствии с методом зон Френеля модуль разности величин hf и hb должен быть равен

mλ/ 2:

hf −hb = m2λ.

2.2.4. Гладкий шарик вместо объектива. Известно, что яркий источник можно сфотографировать, поместив между ним и фотопластинкой гладкий непрозрачный шарик (опыт Поля). Определить раз-

b =18 м, размер источника h = 7 мм. Определить минимальную высоту неровностей hmin , хаотически покрывающих поверхность шари-

ка, при которой изображение будет испорчено.

Данная задача имеет прямое отношение к так называемому пятну Пуассона. Это светлое пятно в центре геометрической тени за круглым непрозрачным диском. Если диск перекрывает лишь несколько зон Френеля, то интенсивность в центре геометрической

105

тени почти такая же, как при отсутствии диска. Это непосредственно следует из спирали Френеля (рис. 2.37). Если диск закрывает, скажем, полторы зоны Френеля, то результирующий вектор A0 при полно-

стью открытой волновой поверхности можно представить как сумму двух векто-

ров: A0 = A1,5 + Aост. Так как первые полторы зоны закрыты, то остается только век-

Рис. 2.37

тор Aост – от всех остальных зон. А он по модулю лишь немного меньше вектора A0. Все это означает, что

можно получить изображение яркого источника (правда, не очень хорошего качества), используя в качестве объектива преграду в виде круглого шарика или диска. Естественно, в данном случае можно воспользоваться и формулой для увеличения линзы Γ:

106

Какой ставить знак перед первым слагаемым, не имеет значения, так как интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды (знаки остальных слагаемых привязаны к знаку первого слагаемого). Здесь

≈D2 = abλ 4m D(a +b).

Таким образом, высота неровностей hmin на поверхности шарика должна удовлетворять условию

2.2.5. Зонная пластинка. Точечный источник монохроматического света расположен перед зонной пластинкой на расстоянии a. Изображение источника формируется на расстоянии b от пластинки. Каково ее фокусное расстояние?

Существует еще более эффективный способ получения изображения источника, заключающийся в использовании так называемой зонной пластинки. Если в преграде, стоящей на пути световой волны

107

открыть только нечетные зоны Френеля, то векторы-амплитуды от этих зон, имея одинаковое направление, дадут при сложении вектор,

превосходящий во много раз по модулю векторы A0 (от всей волновой поверхности) и A1 (от первой зоны Френеля). Такую систему на-

зывают зонной пластинкой (точнее, амплитудной зонной пластинкой). Ее можно изготовить, начертив на листе бумаги темные кольца, а затем сфотографировать их в уменьшенном масштабе. Внутренние радиусы колец должны быть пропорциональны квадратным корням из последовательных нечетных чисел, а внешние – из четных. Тогда получится пластинка, центр которой светлый. Можно изготовить аналогичную пластинку с темным центром. Ширина всех колец должна быть велика по сравнению с длиной волны. Тогда при надлежащих размерах колец пластинка со светлым центром будет удалять из волнового фронта все четные, а пластинка с темным центром – все нечетные зоны Френеля.

Более того, интенсивность света в точке наблюдения можно еще увеличить в четыре раза, если изменить на π фазы вторичных волн, исходящих от всех зон Френеля с четными (или нечетными) номерами – так называемая фазовая зонная пластинка. Ее можно изготовить путем травления поверхности стеклянной пластинки, если глу-

Усиление интенсивности света зонной пластинкой аналогично фокусирующему действию обычной линзы. Более того, расстояния от пластинки до источника (а) и «изображения» (b) связаны тем же соотношением, что и соответствующие величины для линзы. В этом легко убедиться, если формулу (1) из задачи 2.2.1 переписать в виде

1 + 1 = m2λ . a b rm

Выражение в правой части можно рассматривать как 1/ f , где f – фокусное расстояние,

108

от линзы, зонная пластинка – система не таутохронная. Колебания, приходящие в точку наблюдения от соседних открытых зон, отличаются по фазе на 2π (разность хода λ). Кроме того, в отличие от

линзы зонная пластинка имеет несколько фокусов. Точка, положение которой определяется по формуле (1), есть основной фокус. Это точка, для которой зоны, начерченные на пластинке, совпадают с зонами Френеля. Следующие фокусы получаются, если в первой зоне, на-

черченной на пластинке, укладывается 3,5,...(2k +1) зон Френеля,

Знаку плюс соответствуют действительные фокусы, а знаку минус – мнимые. Эти фокусы оказываются более слабыми по сравнению

сосновным.

2.2.6.Отражательная зонная пластинка. Требуется изгото-

вить отражательную зонную пластинку на вогнутом сферическом

зеркале кольцевыми зонами Френеля. Найти радиус m-й зоны rm , если источник света и точка наблюдения расположены на оси зеркала

Так как поверхность сферического зеркала не является волновой поверхностью, все точки которой имеют одинаковую фазу, то условие построения m-й зоны Френеля (рис. 2.39) будет выглядеть следующим образом:

109

где SA = a, AS′ = b, а величины SM и MS′ находим из рис. 2.39:

Этот результат можно получить и проще, если в принятом приближении строить зоны Френеля не на поверхности зеркала, а на поверхности сходящейся волны, отраженной от зеркала, с радиусом кривизны a′= MS′. Значение a′ можно найти из формулы сферического зеркала

1a + a1′ = R2 → a1′ = R2 − 1a .

Если же теперь воспользоваться формулой (1) из задачи 2.2.3 (там как раз обсуждается случай с вогнутой сферической волновой поверхностью) и заменить f на a′, то приходим к прежнему результату.

110