книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Оптика. Квантовая физика

И тогда для четных волновых функций имеем условие cos kl = 0, а для нечетных – sin kl = 0. Но именно эти условия определяют значение параметра k в бесконечно глубокой яме. Значит, и для энергии частицы получаем те же значения, что и в бесконечно глубокой яме.

Отметим в заключение этой задачи то, что волновая функция не обращается тождественно в нуль за пределами ямы, т.е. существует ненулевая вероятность обнаружить частицу за пределами ямы (очень похоже на прохождение частицей потенциального барьера). Представим такую ситуацию: большое число близко расположенных ям (например, кристаллическая решетка металла-проводника). Внутри какой-нибудь ямы сидит электрон. Если расстояние между ямами не очень велико, то существует ненулевая вероятность того, что электрон из одной ямы перескочит в соседнюю, или еще дальше!

Аэто уже механизм проводимости металлов.

4.2.4.Сферически симметричная яма. Частица локализована в трехмерной потенциальной яме прямоугольной формы (рис. 4.14). Радиус ямы равен l. Каковы возможные значения энергии частицы?

Данная яма является частным случаем сферически симметричного силового поля, для которого потенциальная энергия может быть

эту задачу в сферической системе координат, ограничиваясь только симметричными решениями, для которых волновая функция зависит только от расстояния до силового цен-

φ = rψ, то для нее получаем следующее уравнение:

231

d 2φ + 2m [E −U (r)]φ = 0. dr2 2

Данное уравнение ничем не отличается от рассмотренного нами уравнения Шредингера для одномерного случая, и мы можем воспользоваться полученными ранее в задаче 4.2.3 решениями. Правда, здесь есть специфика. При r = 0 функция φ(r ) должна обращаться

в нуль, чтобы избежать расходимости исходной волновой функции ψ(r ) = φ/ r при r = 0. Это означает, что в общем выражении для

волновой функции частицы в одномерной потенциальной яме конечной глубины мы должны оставить только нечетные решения sin kr. Тогда волновая функция частицы в сферической потенциальной яме будет иметь вид

Причем, так как ctg kl < 0, то необходимо брать значения синуса

в четных четвертях. Изобразим графически левую и правую части последнего уравнения (рис. 4.15). Тогда координаты точек пересечения прямых с синусоидой будут определять собственные значения энергии.

232

4.2.5. Энергетическое уширение в кристалле. При сближении атомов возможен туннельный переход электронов внешних оболочек из одного атома в другой, что приводит к уширению уровней (образованию зон в твердом теле). Считая, что в атоме электрон находится

(d ≈10−10 м), оценить энергетическое уширение в кристалле.

Понятно, что данная задача слишком сложна для ее детального анализа на основе уравнения Шредингера. Поэтому воспользуемся оценочными соображениями. Состояние каждого электрона в потенциальной яме является в принципе нестационарным и это позволяет говорить о времени существования данного состояния τ. Это время в силу соотношения Гайзенберга связано с неопределенностью энергии электрона ∆E, которую можно принять за энергетическое уширение в кристалле (ширину зоны энергии):

∆E τ ≈ .

Таким образом, вопрос сводится к оценке времени существования состояния электрона в потенциальной яме. Вероятность проникновения электрона через потенциальный барьер пропорциональна числу его столкновений с потенциальной стенкой за 1 секунду n и коэффициенту прохождения барьера D. Если сравнить процесс проникновения электрона через потенциальный барьер с радиоактивным распадом, то понятно, что вероятность проникновения есть постоянная распада λ в дифференциальной формулировке закона распада δN = −λN δt. Здесь N – число частиц в системе; δN – уменьшение числа частиц за время δt. Итак, λ = nD. Обратимся теперь к интегральной формулировке закона радиоактивного распада N = N0 exp(−λt ). Отсюда видно, что величина λ равна времени, за

которое число частиц уменьшается в e раз. Это время и будем счи-

234

тать временем жизни электрона в потенциальной яме (время туннелирования). Таким образом,

τ ≈ λ1 = nD1 .

Частоту ударов электрона о стенки ямы нетрудно связать с их скоростью v и шириной ямы a

n = av .

Для оценки скорости электрона также воспользуемся соотношением неопределенности ∆x ∆p ≈ , где за ∆x разумно принять по-

луширину ямы, а ∆p ≈ p = mv. Тогда находим

v ≈ ma2 .

Осталось только найти коэффициент прохождения барьера:

τ= nD1 ≈1,1 10−15 с.

Иокончательно получаем

∆E ≈ τ ≈ 9,4 10−20 Дж ≈ 0,6 эВ.

235

Это число достаточно близко к значениям, полученным из других соображений.

4.3. Гармонический осциллятор. Атом водорода

Рассмотрим теперь две задачи, имеющие большое практическое значение.

4.3.1. Гармонический осциллятор. В механике под гармониче-

ским осциллятором понимают частицу, совершающую гармонические колебания под действием квазиупругой силы F = −kx. Потен-

циальная энергия такой частицы имеет вид U = 12 kx2 , где k – жест-

кость пружины; x – смещение частицы от положения равновесия. В дальнейшем более удобным оказывается представление потенци-

альной энергии в виде U = 12 mω2 x2 , где m – масса частицы; ω –

частота осциллятора. К задаче о гармоническом осцилляторе можно свести, например, задачу о колебаниях атомов твердого тела около положения равновесия.

Уравнение Шредингера для такого гармонического осциллятора будет иметь вид

Найдем собственные функции ψ и собственные значения энергии E. Точное решение данного уравнения выражается через так называемые полиномы Эрмита. Мы же попытаемся сделать иначе. Из физических соображений понятно, что волновая функция должна стремиться к нулю при больших x. Очень часто такая зависимость имеет экспоненциальный вид exp(−αx). Но такая зависимость

не проходит через уравнение (1). Попробуем другой вариант (а почему бы и нет!):

236

ψ(x) exp(−αx2 ).

После дифференцирования и подстановки в (1) получаем

Для того чтобы данное соотношение было тождеством при любых x, необходимо потребовать равенство коэффициентов при одинаковых степенях x (включая и нулевую степень) слева и справа:

Эти соотношения означают, что при данных значениях параметров α и E одной из собственных функций гармонического осциллятора является

и другие также являются решением уравнения Шредингера, но при

E = E1 = 32 ω (это значение соответствует ψ1 (x) ) или E = E2 = 52 ω (это соответствует ψ2 (x) ). В выражениях (2) и (3) постоянные

237

A0 , A1, A2 являются нормировочными коэффициентами, которые не-

тавляем самостоятельно проверить с использованием интеграла Пуассона (см. задачу 4.1.8), что

Это означает, что квантовый осциллятор, находящийся в потенциальной яме, может находиться в различных состояниях, характеризуемых набором волновых функций ψn (x). С этим мы уже знако-

мы. Причем, каждой волновой функции соответствует свое значение энергии E. В общем случае энергия гармонического осциллятора принимает дискретные (квантованные) значения:

En = (n +1/ 2) ω, n = 0,1,2...

Состояние с n = 0 – основное (невозбужденное) с минимальной энергией E0 , остальные состояния – возбужденные. Расстояние между соседними уровнями энергии

∆E = ω.

При переходах осциллятора из одного состояния в другое происходит либо испускание, либо поглощение фотона. В квантовой теории доказывается, что квантовое число n осциллятора при поглощении или излучении фотона может меняться только на ±1, т.е. ∆n = ±1, что называется правилом отбора. Это означает, что вероятность переходов на не соседние уровни равна нулю, и тогда энергия фотона всегда ε = ω. Все это находится в полном соответствии с гипотезой Планка. Как и в случае с прямоугольной потенциальной ямой, квантование энергии здесь связано с финитностью движения частицы в силовом поле.

238

4.3.2. Атом водорода. В атоме водорода вокруг ядра с зарядом +e вращается электрон с зарядом −e. Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром в системе СИ имеет вид

Тогда уравнение Шредингера запишем как

Волновая функция в общем случае зависит уже от трех пространственных координат. Естественно рассматривать сферическую систему координат r, θ, ϕ (см. рис. 4.3). Рассмотрим частный случай,

когда волновая функция электрона в атоме сферически симметрична, т.е. зависит только от расстояния до ядра r. Такой случай не предусматривался старой теорией Бора. В ней всякое движение электрона вокруг ядра происходило по плоским орбитам и естественно не могло быть сферически симметричным. Но так как в квантовой механике нет представлений о движении по орбитам, то нет и препятствий для реализации сферически симметричных состояний.

Оператор Лапласа в сферической системе координат имеет вид

где Φ(θ,ϕ) представляет «угловую» часть 2 , зависящую как от уг-

лов, так и от производных по ним. Перепишем теперь уравнение Шредингера:

Как и в предыдущей задаче, попытаемся найти собственные функции и собственные значения энергии без «лишней крови». Так

239

как электрон не может находиться в ядре, то существует состояние, в котором электрон находится наиболее близко к ядру, и это состояние обладает наименьшей энергией. Кроме того, это состояние должно быть сферически симметричным (самое простое состояние), т.е. не должно зависеть от углов. В этом случае уравнение Шредингера приобретает вид

которой выясним позднее. После подстановки предполагаемого ре-

Таким образом, экспонента (2) на самом деле является решением при правильном выборе r0 и E. Значение постоянной A нетрудно найти из условия нормировки:

240