книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Оптика. Квантовая физика

плоскости падения и перпендикулярные ей). Таким образом, степень поляризации волны, прошедшей первую границу, составляет

где значения E1 и E1 определяются формулами Френеля (2), приведенными во введении к данному подразделу. В соответствии с ними

После несложных тригонометрических преобразований с учетом закона преломления (sin α/ sin β = n) и закона Брюстера (tg αБр = n) находим

где γ определяется равенством (4).

141

Перейдем теперь ко второй границе, на которую свет падает под углом Брюстера для данной границы. Степень поляризации света P2 после прохождения данной границы в соответствии с (1)

а отношение E2 / E2 в силу формул Френеля связано с отношением

E1 / E1

E2 = E1 cos(α−β)

E2 E1

или с учетом (3)

E2 = cos2 (α−β) = γ2 .

E2

Тогда для P2 получаем

Из сравнения выражений (5) и (6) легко увидеть, что после прохождения n -й границы степень поляризации станет

142

Тогда из второго поляризатора выйдет свет интенсивностью

I2 = I1 (1−k )cos2 ϕ = 12 (1−k )2 I0 cos2 ϕ.

По условию задачи нам задано

Из этих уравнений, исключая коэффициент поглощения, находим

2.3.8. Поляризатор и частично поляризованный свет. Час-

тично линейно-поляризованный свет рассматривается через николь. При повороте николя на 60° от положения, соответствующего максимальной яркости, яркость пучка уменьшается в два раза. Найти степень поляризации падающего света.

Степень поляризации по определению можно представить как

где Iпол – интенсивность поляризованной составляющей; Iест – ин-

тенсивность естественной (неполяризованной) составляющей. При первом положении николя, соответствующем максимальной яркости пучка, через него проходит вся поляризованная составляющая и половина неполяризованной составляющей, т.е. интенсивность прошедшего света составит

I1 = Iпол + 12 Iест.

При повороте николя на 60° относительно первого положения интенсивность света составит

144

Откуда находим Iпол = Iест и тогда в соответствии с формулой (1)

P = 12 .

2.3.9. Система из трех поляризаторов. Два николя N1 и N2

повернуты один относительно другого на угол α. Между ними помещен третий николь N3. На систему падает параллельный пучок неполяризованного света интенсивностью I0. Предполагая, что необыкновенный луч проходит через каждый николь без потерь, найти ориентацию николя N3 относительно первого, при которой интенсивность проходящего света максимальна, и найти эту интенсивность.

Обозначим угол, на который нужно повернуть николь N3 относительно николя N1, как β (рис. 2.55). Тогда

интенсивность света, прошедшего эту систему, в соответствии с законом Малюса составит

I = 12 I0 cos2 β cos2 (α−β) .

Поэтому возможны два решения:

1) β = α−β→β = α2 и интенсивность I = 12 I0 cos4 α2 ;

145

2) β = α−β−π→β = α2−π и интенсивность I = 12 I0 sin4 α2 .

Поместим теперь между николями N1 и N2 вместо николя N3

пластинку из одноосного кристалла, вырезанную параллельно оптической оси и вносящую разность хода λ/ 2 между обыкновенным и необыкновенным лучами. Какой угол β должна составлять оптиче-

ская ось пластинки с направлением пропускания первого николя, чтобы свет не прошел эту систему?

После прохождения первого николя свет станет линейно-поля- ризованным и при любом положении второго николя (кроме угла в 90°) из системы выйдет свет. Для того чтобы свет не вышел, необходимо повернуть плоскость колебаний света, прошедшего первый николь так, чтобы она стала перпендикулярной плоскости пропускания второго николя. Эту задачу и должна выполнить кристаллическая пластинка в полволны. Ее толщина h должна удовлетворять условию

h(n −n ) = m λ, m =1,3,5...

На выходе из такой пластинки между обыкновенной и необыкновенной волнами возникает разность фаз δ = π (точнее, mπ). Это

значит, что свет, вышедший из нее, остается линейно-поляризован-

ным, однако направление колебаний вектора E повернется на угол, в два раза превышающий угол между плоскостью поляризации падающего света и главным сечением пластинки OO′, симметрично главному сечению (рис. 2.56, а).

Обратимся теперь к рис. 2.56, б. На нем обозначено: N1 – направление пропускания первого николя; N2 – второго, направление AB перпендикулярно N2 , а пунктирными линиями обозначено положение главного сечения пластинки. Очевидно, для поворота плоскости колебаний из положения N1 в положение AB N2 необходимо, чтобы главное сечение пластинки было ориентировано по бис-

146

Примем направление оптической оси кристаллической пластинки за ось х. Тогда после прохождения анализатора, плоскость пропускания которого OO′ составляет угол ϕ

с оптической осью пластинки (рис. 2.57), выйдет результирующее колебание

E = Ex cosϕ+ Ey sin ϕ = a cos ωt cos ϕ+asin (ωt +δ)sin ϕ.

Его интенсивность

I = χ E2 = χa2 cos2 ωt cos2 ϕ+

+2cosϕsin ϕcosωt sin (ωt +δ) +sin2 ϕsin2 (ωt +δ),

что после усреднения дает

I = 12 χa2 (1+sin 2ϕsin δ) .

Учитывая (2), получаем окончательно

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1. δ = π/ 2, ϕ = π/ 4. В этом случае после прохождения кругопо-

ляризованного света он становится линейно-поляризованным, и, так как его плоскость колебаний совпадает с плоскостью пропускания анализатора, то он должен весь пройти через систему. В соответствии с (3) I = I0 , что и ожидалось.

148

2. δ = π. В данном случае после прохождения кристаллической пластинки свет останется поляризованным по кругу, но сменится на-

правление вращения вектора E и при любой ориентации анализатора через него должна пройти только половина падающего света. Именно это и следует из (3).

2.3.11. Интерференция поляризованного света. Между двумя скрещенными николями помещена кристаллическая пластинка толщиной h = 0,045 мм с показателями преломления ne =1,55, no =1,54.

Пластинка вырезана параллельно оптической оси кристалла и ориентирована так, что направление пропускания первого николя составляет угол ϕ =30° с ее оптической осью. На систему нормально пада-

ет естественный свет с длиной волны λ = 600 нм и интенсивностью I0. Найти интенсивность света, прошедшего через систему.

В данной задаче используется классическая схема наблюдения интерференции поляризованного света (см. рис. 2.48) с тем отличием, что угол ϕ между плоскостью пропускания поляризатора (перво-

го николя) и оптической осью кристаллической пластинки не равен 45°. Примем главные направления кристаллической пластинки за координатные оси х, у (рис. 2.58). Направления пропускания поляризатора и анализатора обозначим

символами P и A (угол между ними равен π/ 2). Пусть амплитуда света, вышед-

обыкновенную и необыкновенную волны с амплитудами колебаний вдоль оси х – a cos ϕ и вдоль оси у – asin ϕ. Причем между этими

колебаниями появится разность фаз

δ = 2λπh(ne −no ) .

149

Из этих колебаний анализатор пропустит колебания с амплиту-

дами a1 cos ϕcos(ϕ+π/ 2) = −a cos ϕsin ϕ и a2 = asin ϕsin (ϕ+π/ 2) = = asin ϕcosϕ. При сложении этих колебаний с разностью фаз δ получается колебание с амплитудой A, определяемой соотношением

A2 = a12 +a22 +2a1a2 cos δ = (a1 + a2 )2 −4a1a2 sin2 δ2

или после подстановки значений a1 и a2

A2 = a2 sin2 2ϕsin2 δ2 .

Нам осталось только связать амплитуды a и A с интенсивностью падающего неполяризованного света I0 и интенсивностью поляризованного света I, вышедшего из системы. Так как поляризатор (первый николь) пропускает только половину естественного света

тель 1/ 2 появился из-за усреднения cos2 ωt ). Интенсивность же

поляризованного света, вышедшего из системы, I = 12 χA2. Отсюда следует

I = 12 I0 sin2 2ϕsin2 δ2 ,

и, так как δ = 2λπh(ne −no ) ≈ 32 π, то I ≈ 0,19I0.

2.3.12. Вращение плоскости поляризации. Узкий пучок плос-

кополяризованного света проходит, двукратно отражаясь, через правовращающее положительное вещество, находящееся в продольном магнитном поле с напряженностью H (рис. 2.59). На какой угол повернется плоскость поляризации вышедшего пучка, если длина трубки с веществом равна l, его постоянная вращения α, постоянная Верде V ?

150