книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Оптика. Квантовая физика

Одно из главных условий – наличие когерентности, т.е. согласованности протекания волновых процессов. Во многих интерференционных схемах используют разделение тем или иным способом световой волны, излучаемой одним источником света, с последующим наложением полученных волн друг на друга. Образовавшиеся после разделения вóлны можно представить как бы исходящими из двух точечных источников S1 и S2.

Рис. 2.1

На рис. 2.1 представлена схема классического опыта Юнга для демонстрации интерференции на двух щелях. Для наблюдения устойчивой картины интерференции от двух щелей необходимо вы-

полнение условий временнóй и пространственной когерентности,

аименно:

1.Оптическая разность хода ∆ = n(l2 −l1 ) складываемых коле-

баний не должна превышать длину когерентности lког ≈ λ2 / ∆λ, где ∆λ – интервал длин волн, испускаемых источником с длиной волны λ. Длина когерентности связана с длиной волны lког = mλ, где m –

значение порядка интерференции, при котором картина интерференции исчезает. Кроме того, длина когерентности связана с так называемым временем когерентности τког – промежутком времени, в течение которого случайные изменения фазы световой волны в данной

61

точке достигают значения порядка π. За это время волна распространяется на расстояние порядка lког = cτког.

2. Расстояние между щелями d не должно превышать ширины когерентности hког ≈ λ/ ϕ, где ϕ – угловая ширина исходного ис-

точника относительно щелей, за которыми находится экран. Под шириной когерентности понимают характерное для данной установки расстояние между точками поверхности, на которой отдельные участки волны в достаточной степени когерентны между собой.

Временнáя когерентность связана с разбросом значений длин волн или модуля волнового вектора k. Пространственная же коге-

рентность связана с разбросом направлений вектора k.

Пусть в точку A (см. рис. 2.1) приходят волны, напряженности полей которых равны E1 и E2. По принципу суперпозиции напряженность результирующего поля равна их векторной сумме: E = E1 + E2. Экспериментально наблюдаемая интенсивность света в точке A пропорциональна среднему значению квадрата напряженности E2 за время, определяемое инерционностью приемника из-

лучения:

I E2 = (E1 + E2 )2 = E12 + E22 +2 E1E2 .

Это выражение помимо суммы интенсивностей каждой из волн содержит еще одно слагаемое, пропорциональное скалярному произве-

дению 2 E1E2 , называемому интерференционным членом. Если

складываемые волны поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях, то это слагаемое в любой точке пространства равно нулю и ни о какой интерференции не может быть и речи. В дальнейшем

будем считать, что оба вектора E1 и E2 колеблются вдоль одной прямой. Тогда можно отвлечься от векторного характера этих величин и интерференционный член записывать как 2 E1E2 . Если в точке наблюдения складываемые колебания имеют вид

62

E1 = A1 cos(ωt +α1 ), E2 = A2 cos(ωt +α2 )

(значения α1 и α2 зависят от положения точки наблюдения), то при

сложении этих колебаний получается гармоническое колебание той же частоты

E = Acos(ωt +δ).

Здесь δ – разность фаз складываемых колебаний, δ = α2 −α1 ; A – амплитуда, квадрат которой определяется равенством

A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cosδ.

Тогда интенсивность результирующего колебания

I = I1 + I2 +2 I1I2 cos δ.

При выполнении условий когерентности результат интерференции определяется значением разности фаз δ, которая зависит от оптической разности хода ∆ интерферирующих волн:

δ= 2π ∆.

λ0

Если в рассматриваемой точке пространства оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме

то в данной точке наблюдается интерференционный максимум. Если ∆ равна полуцелому числу длин волн в вакууме

то в данной точке наблюдается интерференционный минимум.

При расчете оптической разности хода необходимо помнить следующее. Если в каком-либо месте происходит отражение от оптически более плотной среды, то фаза волны скачком изменяется на

63

π, или, как говорят, происходит «потеря» полуволны. Это означает, что к вычисленной из геометрических соображений разности хода следует добавить (или убавить) слагаемое λ/2.

2.1.1. Интерференция плоских волн. Направления распростра-

нения двух плоских волн с одинаковой длиной волны λ составляют малый угол ϕ/ 2 с нормалью к плоскости экрана, на котором наблю-

даются интерференционные полосы (рис. 2.2). Найти расстояние ∆x между соседними интерференционными полосами.

Обратимся к уравнению плоской волны

Е = Аcos(ωt −kx +α), где коор-

дината x отсчитывается вдоль направления распространения волны. Так как мы хотим найти картину распределения поля вдоль экрана, нормаль к которо-

му составляет угол ±ϕ/ 2 с направлением распространения интерферирующих волн, то нам следует переписать уравнение волны, заме-

Колебания в этих волнах происходят не в одной плоскости, но так как угол ϕ мал, то будем полагать, что эти волны поляризованы в одной плоскости. При их сложении в каждой точке экрана с координатой х возникает гармоническое колебание с амплитудой

A2 = A12 + A22 +2A1 A2 cos ∆ϕ(x) ,

64

деление же интенсивности светового поля I (x) в любой плоскости, перпендикулярной оси z, будет иметь вид

I (x) = I1 + I2 +2 I1I2 cos ∆ϕ(x),

где I1 = A12 , I2 = A22. При малом угле ϕ имеем

∆ϕ(x) ≈ kϕx + ∆α.

Тогда пространственный период интерференции ∆x найдем из условия

kϕ ∆x = 2π → ∆x ≈ ϕλ .

Отсюда следует, что чем меньше угол схождения интерферирующих волн, тем зримее интерференционная картина (больше ∆х). Так, чтобы ∆х было порядка 1 мм при λ ≈ 0, 5 мкм, необходимо

иметь угол ϕ ≈ 0,5 10−3 рад. Таким образом, малость угла схождения

вреальной оптике – необходимое требование.

2.1.2.Максимальный порядок интерференции. Определить максимальный порядок интерференции для немонохроматических волн с интервалом длин волн от λ до λ + ∆λ.

65

длиной волны λ придут уже в противоположных фазах, и для длины волны λ наблюдается минимум. При этом условии в окрестности точки A светлые полосы с длиной волны λ′ = λ+δλ наложатся на темные полосы с длиной волны λ. И в итоге интерференционные полосы в указанной окрестности просто исчезнут. Условие исчезновения полос, таким образом, есть mλ′=(m +1/ 2)λ, или

Пусть теперь свет от источника S непрерывно и равномерно заполняет спектральный интервал (λ,λ+∆λ). В этом случае интервал

∆λ можно разбить на множество пар бесконечно узких спектральных линий, находящихся на расстоянии ∆λ/ 2 по шкале длин волн. К каждой такой паре применима формула (1), если в ней сделать замену δλ → ∆λ/ 2. Поэтому исчезновение интерференционных полос произойдет для порядка интерференции

m = ∆λλ ,

что вдвое больше, чем (1). Отношение λ к ∆λ называют степенью монохроматичности света и именно эта величина определяет максимально возможный (т.е. зрительно наблюдаемый) порядок интерференции. Максимальная разность хода лучей, при которой еще возможна интерференция, – длина когерентности

L = mλ = λ2 . ∆λ

66

Для белого света ∆λ ≈ λ, т.е. максимальный порядок интерференции m ≈1. Казалось бы, что в белом свете интерференционные полосы не должны наблюдаться. Это действительно так, если использовать такие приемники света, как, например, фотоэлементы, обладающие примерно одинаковой чувствительностью в различных участках спектра. Но глаз – селективный приемник, т.е. его чувствительность к различным длинам волн разная. Именно поэтому в белом свете глаз может видеть около десятка интерференционных полос.

2.1.3. Сложение N когерентных колебаний. Некоторое коле-

бание возникает в результате сложения N когерентных колебаний одного направления с одинаковым последовательным сдвигом фазы δ. Каково результирующее колебание?

Стакой ситуацией приходится встречаться, например, в задаче

оформировании волновых пакетов. Но наиболее явно это проявляется при рассмотрении интерференционных и дифракционных явлений. Итак, требуется найти сумму большого числа N гармонических

колебаний одного направления с одинаковой частотой ω и амплитудой a, каждое из которых сдвинуто по фазе относительно соседних на δ:

Воспользуемся векторным способом представления гармонического колебания х = асоs(ωt + a). Такое колебание отображается вектором длиной a, вращающимся с угловой скоростью ω против часовой стрелки (рис. 2.4). Направление

вектора образует с осью x угол, равный начальной фазе колебания α.

В математическом плане обобщением данного способа является использование комплексных чисел вида z = x + iy,

где x и y – вещественные числа,

67

тельные числа отображаются точками оси x

(действительная ось), мнимые числа – точками оси y (мнимая ось).

Кроме того, каждой точке (x, y) соответствует определенный вектор

ρ – радиус-вектор этой точки. Поэтому комплексные числа можно представлять также в виде радиус-векторов на плоскости.

В полярных координатах координаты любой точки плоскости можно определить как x = ρcos ϕ, y =ρsin ϕ, где ρ = x2 + y2 , ϕ= arctg( y / x). Расстояние ρ от начала координат до точки, изображающей число, называется модулем комплексного числа z (обозна-

eiϕ = cosϕ+isin ϕ

любое комплексное число z с модулем ρ и аргументом ϕ можно записать в следующей показательной форме

ρ(cos ϕ+isin ϕ) =ρeiϕ .

Мнимую единицу можно рассматривать как векторный оператор, имеющий определенный физический смысл. Когда какой-либо вектор умножается на i (т.е. оператор i действует на вектор), то вектор поворачивается на угол π/ 2 против часовой стрелки. Наряду с комплексным числом z = x +iy можно ввести комплексно-сопря-

68

женное число z = x −iy или в показательной форме z =ρexp(−iϕ).

Нетрудно видеть, что z z =ρ2. Произведение z z называется квад-

ратом модуля комплексного числа z и иногда обозначается как z 2 . В соответствии с вышесказанным любое гармоническое колеба-

ние типа x = acos(ωt +α) можно записывать в виде

зультирующую амплитуду

69

sin Nδ

A = a sin δ2 . (1) 2

Величина фазового сдвига α, как видно из рис. 2.6, определяет-

α=(N −1) δ2 . Таким образом, результирующее колебание запишется

ввиде

Заметим, что этот же результат можно получить, представив косинусы в виде комплексных экспонент и вычислив сумму ряда как сумму геометрической прогрессии

Выражения, стоящие в скобках в числителе и знаменателе, как нетрудно убедиться из формулы Эйлера, равны соответственно

−2sin N2δ и −2sin δ2 . Поэтому

70