книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Оптика. Квантовая физика

повороте николя не будет. Если же интенсивность меняется, но не падает до нуля – это частично поляризованный по кругу свет (или смесь естественного и поляризованного по кругу).

Допустим, что падающая волна поляризована эллиптически. Если поставить николь, то при его вращении интенсивность проходящего света в двух положениях (отличающихся друг от друга на 180°) будет максимальна, а в перпендикулярных к ним положениях минимальна. Эти положения определят направления главных осей эллипса колебаний. После этого на пути падающего света поставим пластинку λ/ 4, оптическая ось которой ориентирована параллельно одной из главных осей эллипса. Тогда после прохождения через пластинку свет станет поляризован линейно и может быть погашен поворотом николя.

Теперь нетрудно сообразить, как поступить, чтобы отличить друг от друга: 1) эллиптически поляризованный свет; 2) смесь естественного света с линейно-поляризованным светом (отчасти линейнополяризованный свет); 3) смесь естественного света с эллиптически поляризованным (отчасти эллиптически поляризованный свет). Необходимо поместить на пути света пластинку λ/ 4, а за ней николь. Если вращением пластинки вокруг луча можно найти такое положение, при котором свет, прошедший через нее, можно погасить последующим вращением николя, то падающий свет был эллиптически поляризован. Если это сделать не удается, то мы имеем дело либо со смесью естественного света с линейно-поляризованным, либо со смесью естественного света с эллиптически поляризованным. Чтобы отличить друг от друга эти два последних случая, на пути света ставят сначала один николь и устанавливают его на минимум интенсивности проходящего света. Затем перед николем помещают пластинку в четверть волны. Вращением пластинки и николя снова добиваются минимума интенсивности. Если этот минимум получает при прежнем положении николя (или поворотом его на 180°), то мы имеем смесь естественного света с линейно-поляризованным. Если же для получения минимума требуется повернуть николь на некоторый угол, то это смесь естественного света с эллиптически поляризованным.

131

2.3.3. Соприкасающиеся поляроиды. Плоская световая моно-

хроматическая волна с интенсивностью I0 падает нормально на сис-

тему из двух соприкасающихся поляроидных полуплоскостей (рис. 2.50). Плоскости пропускания поляроидов взаимно перпендикулярны. Какова интенсивность света в точке P, расположенной в плоскости, перпендикулярной поляроидам и проходящей через границу их раздела, если свет: 1) естественный; 2) поляризованный по кругу; 3) линейно-поляризованный в плоскости, составляющей угол ϕ

с плоскостью пропускания одного из поляроидов? Считать, что в поляроидах нет поглощения света разрешенной поляризации.

линейно-поляризованный свет. Поэтому представим колебания в падающей на поляроиды волне в виде

пропускания одного из поляроидов, а значок – к составляющей, ей перпендикулярной; E0 – максимальное значение напряженности электрического поля в каждой из поляризованных волн. Для величин E0 , I0 существует связь

I0 = χ E02 cos2 ωt +χ E02 cos2 (ωt +δ) .

И так как среднее от квадрата косинуса в любом случае равно

1/ 2, то

132

Каждый поляроид пропускает только одну из составляющих в выражении (1) и если бы поляроид был бесконечным, то поле за ним в точке P было бы равно либо E0 , либо E0 . Но так как поля-

роиды полубесконечны и точка P находится как раз под границей их раздела, то в данную точку приходит только половина того и другого колебания. Таким образом, электрическое поле в точке P имеет вид

и для интенсивности получаем прежний результат независимо от угла ϕ и типа поляризации:

133

2.3.4. Зоны Френеля и поляризаторы. Плоская монохромати-

ческая волна естественного света с интенсивностью I0 падает нор-

мально на круглое отверстие, которое представляет собой первую зону Френеля для точки наблюдения P. Найти интенсивность света в точке P, если отверстие перекрыть двумя одинаковыми поляризаторами, плоскости пропускания которых взаимно перпендикулярны, а граница раздела проходит: 1) по диаметру отверстия; 2) по окружности, ограничивающей первую половину зоны Френеля.

Если граница раздела проходит по диаметру отверстия, то мы можем воспользоваться результатом предыдущей задачи. При этом нужно только учесть, что амплитуда колебаний E от первой зоны Френеля в два раза превышает амплитуду колебаний от всего фронта волны E0:

E = 2E0.

Таким образом, интенсивность света в точке P будет в четыре раза больше, чем от всего фронта волны (она в соответствии с предыдущей задачей равна I0 / 4):

I = 4 I40 = I0 .

Пусть теперь граница раздела поляризаторов проходит по окружности, ограничивающей первую половину зоны Френеля. Представим колебания в падающей волне, как и в предыдущей задаче, в виде

пропускания одного из поляроидов, а значок – к составляющей, ей перпендикулярной; E0 – максимальное значение напряженности электрического поля в каждой из поляризованных волн. Ее значение связано с интенсивностью падающей волны I0:

I0 = χ E02 cos2 ωt +χ E02 cos2 (ωt +δ) = χE02.

134

Если теперь вспомнить принцип построения результирующего колебания от первой зоны Френеля (см., например, задачу 2.2.1), то амплитуда колебаний от каждой половины первой зоны Френеля

(рис. 2.51)

Так как каждый поляризатор пропускает только одну из составляющих в выражении (1), то для интенсивности света в точке P получаем

I = χ E2 cos2 ωt +χ E2 cos2 (ωt +δ) =

2

= χ 2E0 cos2 ωt + cos2 (ωt +δ) = 2χE02 = 2I0.

2

Заметим, что полученные результаты будут справедливы и для волны, поляризованной по кругу.

Изменим несколько постановку задачи. Пусть теперь плоская поляризованная по кругу монохроматическая волна с длиной λ и интенсивностью I0 падает на диск, вырезанный из идеального поляроида с показателем преломления n. Диск закрывает для некоторой точки P одну зону Френеля. Какова должна быть толщина диска d, чтобы интенсивность света в точке P была максимальной? Найти эту интенсивность.

Наличие поляроидного диска с показателем преломления n внесет дополнительную разность фаз только в ту часть фронта волны, которая находится в пределах первой зоны Френеля. Вспомним теперь, что колебание от первой зоны Френеля отличается по фазе от колебаний всех остальных зон на π. Теперь становится понятным, что для получения максимальной интенсивности поляроидный диск должен внести именно эту разность фаз, а точнее

∆ϕ = π+2mπ = (2m +1)π, m = 0,1,2...

135

Значение этой разности фаз определяет дополнительную разность хода лучей, прошедших поляроидный диск

Ну, а какова будет интенсивность в точке P? Для этого обратимся к рис. 2.52, а, на котором отображены максимальные значения векторов колебаний в падающей волне от первой зоны Френеля с амплитудой 2E0 и всех остальных зон с амплитудой E0 (эти значения достигаются в разное время, так как взаимно перпендикулярные составляющие этих волн имеют вид E cos ωt и E cos(ωt +δ), где разность фаз δ = π/ 2). После прохождения диска фаза волны, про-

шедшей поляроид, изменяется на обратную и исчезает одна из ее составляющих, перпендикулярная плоскости пропускания поляроида

(рис. 2.52, б).

Тогда для интенсивности волны в точке P имеем

I = χ 9E02 cos2 ωt +χ E02 cos2 (ωt +δ) = 5χE02.

136

И так как интенсивность падающей волны с напряженностью E0 , поляризованной по кругу, составляет I0 = χE02 (это в два раза больше, чем для неполяризованной волны той же напряженности), то

I = 5I0.

Заметим, что если бы поляроид изменил только фазу волны без отсечения одной из ее составляющих, то интенсивность увеличилась бы в девять раз.

2.3.5. Несовершенные поляризаторы. На пути естественного пучка света поместили два несовершенных поляризатора. Оказалось, что при параллельных плоскостях пропускания поляризаторов эта система пропускает в η раз больше света, чем при скрещенных по-

ляризаторах. Найти степень поляризации P0 каждого поляризатора в отдельности и всей системы Pсист при параллельных плоскостях

пропускания поляризаторов.

Естественный свет, прошедший несовершенный поляризатор, является частично поляризованным, так как в нем присутствуют разные по интенсивности плоскополяризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях волны. Интенсивность волны, поляризованной в плоскости пропускания поляризатора, – Iмакс, в плоскости, перпен-

дикулярной плоскости поляризатора, – Iмин. Если Iмин = 0, то это совершенный поляризатор, если Iмин = Iмакс, то данное устройство не

является поляризатором. По определению степень поляризации P рассчитывается как

P = Iмакс − Iмин .

Iмакс + Iмин

Если на несовершенный поляризатор направить свет, поляризованный в плоскости пропускания с интенсивностью I, то из него

выйдет свет с интенсивностью I = α I; если же направить свет, по-

ляризованный перпендикулярно плоскости пропускания с интенсивностью I, то из него выйдет свет с интенсивностью I = α I (для

137

а для системы двух поляризаторов при параллельных плоскостях пропускания

Значение α можно найти из следующих соображений. Направим на систему двух несовершенных поляризаторов естественный свет, который можно представить в виде двух взаимно перпендикулярных волн с интенсивностью I. Тогда, очевидно, при параллельных плоскостях пропускания поляризаторов из системы выйдет свет с интенсивностью

138

Из системы уравнений (3)–(5) нетрудно получить уравнение для определения коэффициента α

Если возвести в квадрат соотношение (1), то получаем

P02 = (α−1)2 .

(α+1)2

Значения (α−1) и (α+1) можно найти из (6), преобразуя данное уравнение к полному квадрату. Тогда

Выражая α из соотношения (1)

α= 1+ P0

1− P0

иподставляя это в (2), находим

2.3.6. Стопа Столетова. Узкий пучок естественного света падает под углом Брюстера на стопу Столетова, состоящую из N толстых стеклянных пластин. Найти степень поляризации прошедшего пучка.

Понятно, что нам необходимо, прежде всего, понять, что происходит после прохождения одной пластины, а затем мы сможем обобщить результат и на произвольное число пластин. На рис. 2.53 отображен ход лучей при прохождении света через одну пластину

139

и характер поляризации всех лучей (стрелками показано направление

колебаний вектора E в плоскости падения, точками – перпендикулярно ей). Нетрудно сообразить, что если угол падения α для верхней поверхности пластины является углом Брюстера, то и угол β для нижней

tg αБр = n.

Пусть напряженность электрического поля в падающей волне – E, в волне, прошедшей первую границу (верхняя поверхность пластины), – E1, а в волне, прошедшей вторую границу (нижняя поверхность пластины), – E2 . По определению степень поляризации

P = Iмакс − Iмин ,

Iмакс + Iмин

где за Iмакс можно принять интенсивность составляющей волны, параллельной плоскости падения I , а за Iмин – интенсивность состав-

ляющей, перпендикулярной плоскости падения. И так как интенсивность волны пропорциональна квадрату напряженности, то

140