книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Оптика. Квантовая физика

Если теперь взять вещественную часть от x, то получаем прежний результат.

Исследуем теперь поведение амплитуды результирующего колебания (1) при большом числе колебаний N. В этом случае сдвиг фазы результирующего колебания α практически равен разности фаз первого и последнего колебаний и составляет

α =(N −1) δ2 ≈ N2δ.

можно представить как функцию разности фаз первого и последнего колебаний

A = aN sinαα .

Так как интенсивность колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, то интенсивность суммарного колебания I можно записать как

71

смотреть два случая: 1) расстояние от линзы до источников равно 2 f ; 2) источники находятся в фокальной плоскости линзы.

Рассмотрим вначале ситуацию, когда между источниками и экраном нет линзы. Это классическая схема опыта Юнга (см. рис. 2.1). Так как обычно расстояние d между щелями S1 и S2 мно-

го меньше расстояния до экрана, то угол θ <<1 (см. рис. 2.1) и разность хода интерферирующих лучей можно записать как ∆ = d θ. А так как θ ≈ x / l, то для координат максимумов на экране получаем

/ l = mλ (m = ±0,1,2...). Откуда

72

Что же произойдет, если между щелями и экраном поместить линзу с фокусным расстоянием f <l ? Эта линза внесет добавочную

оптическую разность хода, что соответственно изменит картину интерференции на экране. Прямой расчет этой добавочной разности хода нам не удастся провести, так как нам ничего не известно о параметрах линзы, кроме ее фокусного расстояния. Поэтому воспользуемся тем, что мы знаем о линзах из раздела геометрической оптики. Рассмотрим вначале случай, когда линза помещена на двойном фокусном расстоянии от щелей. В этом случае за линзой формируются действительные изображения щелей, расстояние между которыми равно исходной величине d. Расстояние от изображений до

Поместим теперь линзу так, чтобы щели S1 и S2 находились

в ее фокальной плоскости. В этом случае за линзой будут сформированы две плоские волны, падающие на экран и создающие на нем интерференционные полосы с шириной ∆x′′. Эта ситуация была нами уже рассмотрена в задаче 2.1.1. В ней было показано, что ширина полос интерференции ∆x′′ = λ/ ϕ, где ϕ – угловое расстояние между

направлениями плоских волн. Из рис. 2.9 находим ϕ ≈ d / f (напомним, что угол ϕ <<1), и тогда

∆x′′ = λdf .

73

Эта ширина меньше исходной ∆x в lf =8 раз.

Очевидно, в данной ситуации положение экрана не имеет никакого значения, т.е. в любой плоскости за линзой и параллельной ей формируется одна и та же картина распределения поля, в точности совпадающая

Рис. 2.9 с той, которая формируется в области линзы.

2.1.5. Интерференционные схемы. Рассмотрим другие интер-

ференционные схемы, отличающиеся от схемы Юнга только способом формирования когерентных световых волн.

Зеркало Ллойда. В этой интерференционной схеме (рис. 2.10) интерферируют две волны – волна 1 исходит непосредственно от источника S (узкая ярко освещенная щель) и волна 2, отраженная от плоского зеркала З. На экране Э образуется система интерференционных полос. Найти длину волны света, если известно, что расстояние от источника до экрана равно l, ширина интерференционных полос ∆x, а после того, как источник отодвинули от зеркала на ∆h, ширина полос уменьшилась в η раз.

Рис. 2.10

74

Данная схема в точности похожа на схему опыта Юнга, только теперь роль когерентных источников выполняет реальная щель S и ее зеркальное изображение S′. Поэтому мы сразу можем воспользоваться соотношением (1) из задачи 2.1.4, определяющим ширину интерференционных полос:

где d = 2h. Откуда находим

2h = ∆λxl .

После отодвигания источника на ∆h имеем

2h +2∆h = λ∆lxη.

Вычитая последние два равенства, получаем

Зеркала Френеля. Здесь когерентные световые волны получаются при отражении от двух зеркал, плоскости которых образуют между собой небольшой угол α (рис. 2.11). Свет от ярко освещенной щели S, параллельной линии пересечения зеркал, после отражения от них попадает на экран Э. И там, где световые пучки перекрываются (область интерференции), возникает интерференционная картина в виде полос, параллельных щели S. При этом отраженные от зеркал пучки света распространяются так, как будто они исходят от мнимых источников S′ и S′′, являющихся изображением щели S. Расстояние от линии пересечения зеркал до щели равно a, до экрана – b. Найдем ширину ∆x интерференционных полос и их возможное количество.

75

мы покажем далее, все лучи отклоняются бипризмой на практически одинаковый угол. В результате образуются две когерентные волны, как бы исходящие из мнимых источников S′ и S′′, лежащих в одной плоскости со щелью S. Данная схема полностью идентична рассмотренной ранее схеме с зеркалами Френеля и единственное, что от нас требуется – это рассчитать угол отклонения лучей бипризмой α.

Рис. 2.12

Для этого обратимся к рис. 2.13. Вследствие малости углов падения (и преломления) закон преломления на передней и задней поверхности призмы примет вид

77

α=(ϑ1 −ϑ1′) +(ϑ′2 −ϑ2 ).

Ис учетом соотношений (2) и (3) получаем α =(n −1)θ.

2.1.6. Просветление оптики. Для уменьшения потерь света изза отражения от поверхностей стеклянных линз их покрывают тонкой пленкой из прозрачного диэлектрика. При каком значении показателя преломления пленки n′ амплитуды световых колебаний, отраженных от обеих поверхностей пленки, будут одинаковыми? При какой толщине пленки h отражательная способность стекла с показателем преломления n в направлении нормали будет равна нулю для света с длиной волны λ?

При прохождении света через каждую преломляющую поверхность линзы отражается примерно 4 % падающего света. Это довольно немного. Но в сложных объективах, состоящих из большого числа линз, суммарная потеря светового потока оказывается весьма ощутимой (например, в призменном бинокле она составляет свыше 50 %!). С целью уменьшения этих потерь и применяется просветление оптики, суть которого была описана в условии задачи.

Найдем вначале показатель преломления пленки, при котором амплитуды волн, отраженных от обеих поверхностей пленки при нормальном падении света, были бы одинаковыми (рис. 2.14). Для этого обратимся к формуле (2), приведенной во введении к этому подразделу:

и запишем ее для волны, отраженной от границы воздуха (n =1) с пленкой (n = n′):

78

E2′ = E n′′−n . n +n

Пренебрегая многократными отражениями света, будем считать, что амплитуды волн, падающих на обе границы, одинаковы. Тогда из равенства E1′ = E2′′ следует

Таких твердых веществ со столь малым показателем преломления не существует. Данная трудность может быть преодолена путем применения двухслойных покрытий. Сначала просветляемая поверхность стекла покрывается пленкой, показатель преломления которой значительно больше показателя преломления стекла, а затем пленкой с меньшим показателем преломления.

Определим теперь толщину однородной пленки, при которой отраженные лучи будут находиться в противофазе, что и обеспечит гашение колебаний. Это произойдет, если оптическая разность хода двух отраженных волн на выходе из пленки будет равна полуцелому числу длин волн в вакууме

Здесь мы учли, что обе волны отражаются от оптически более плотной среды и, значит, обе испытывают скачок фазы на π («потеря» полволны). Отсюда находим

79

Соотношение (1) показывает, что толщина пленки зависит от длины волны падающего света. Поэтому обычно просветление оптики проводят для средней (желто-зеленой) области видимого спектра, с которой поступает наибольшая энергия. Для краев же спектра белого света коэффициент отражения заметно отличается от нуля, поэтому объективы в отраженном свете кажутся пурпурными, что соответствует смешению красного и фиолетового оттенков цветов. Кроме того, у обычного света длина когерентности невелика (≈5λ),

поэтому пленка должна иметь толщину порядка нескольких длин волн.

2.1.7. Полосы равного наклона. Монохроматический свет от точечного источника S проходит через отверстие в экране Э (рис. 2.15) и, отразившись от тонкой плоскопараллельной стеклянной пластинки П, образует на экране систему интерференционных полос равного наклона. Толщина пластинки b, расстояние между ней и экраном l, радиусы i-го и k-го темных колец ri и rk . Учитывая, что ri и rk много меньше l, найти длину волны света.

Рис. 2.15

80