книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Оптика. Квантовая физика

Знак минус в выражении для энергии показывает, что это энергия притяжения электрона к ядру. Иначе электрон просто улетит от ядра, а это уже не атом. После подстановки значений m, k, e, нахо-

дим E1 = Ei = –13,6 эВ (Ei – энергия ионизации, т.е. минимальная энергия, необходимая для удаления электрона из атома водорода). Ну, а теперь попытаемся понять смысл постоянной r0. Для этого найдем вероятность обнаружить электрон в интервале dr:

dP = ψ 2 dV = ψ 2 4πr2dr =W (r)dr ,

=2 / kme2 = 510−11 м. Таким образом, r0 является наиболее вероят-

ным положением электрона в невозбужденном атоме водорода. Эта величина называется боровским радиусом.

Функция ψ(r ) = A0 exp(−r / r0 ) является не единственным реше-

нием уравнения (1). Простой подстановкой нетрудно убедиться, что функция

ψ1 (r ) = A1 (1−βr )exp(−βr )

241

И в общем случае энергия электрона в атоме водорода определяется выражением

4.4. Электроны в твердом теле

Для описания поведения электронов в твердом теле существует несколько моделей. Самая простая из них – модель свободных (не взаимодействующих) электронов. Состояние электрона в металле (и вообще в любом кристаллическом теле) определяется значением

волнового вектора k и спином. В силу конечности размеров тела состояния электронов образуют дискретный спектр. Для характеристики вероятности заполнения электронами различных состояний вводится понятие функции распределения электронов по состояниям:

f (E) = dNdν ,

где dN – число электронов, находящихся в интервале состояний от

и равно числу состояний, приходящихся на единичный интервал энергии. Для плотности состояний g(E) должно выполняться оче-

видное условие

где n – полная концентрация электронов (число электронов в единице объема кристалла). Соотношение (1) представляет собой по существу условие нормировки функции f (E). Из определения f (E) сле-

дует, что она представляет вероятность того, что состояние с энергией E занято электроном.

242

При абсолютном нуле температуры эта функция имеет вид f (E) = 1 при E ≤ EF (0) и f (E) = 0 при E > EF (0) (рис. 4.16, а).

Значение EF (0) называется уровнем Ферми при нулевой температуре и равно максимальной энергии электронов при T = 0

где n – концентрация электронов.

Функция распределения при ненулевой температуре (распределение Ферми–Дирака) имеет вид

Ферми стремится к EF (0) . Функция распределения Ферми–Дирака

имеет простой смысл: это среднее число электронов в состоянии с энергией E . При повышении температуры функция f (E) дефор-

мируется по сравнению с распределением при нулевой температуре – электроны вблизи EF (0) начинают занимать более высокие уровни

энергии, внутренние же электроны не могут изменять состояние

(рис. 4.16, б).

Рис. 4.16

243

При больших значениях энергии, когда E − EF >> kT экспо-

нента в распределении Ферми–Дирака много больше единицы и тогда распределение Ферми–Дирака переходит в классическое распределение Больцмана:

f (E) ≈ exp[−(E − EF ) / kT ] exp(−E / kT ) .

Поведение электронного газа существенно зависит от соотношения между температурой тела и температурой Ферми, равной EF / k. Различают два предельных случая:

1. kT << EF (в этом случае газ электронов называется вырожденным).

2. kT >> EF (такой газ называется невырожденным).

В металлах температура Ферми составляет величину порядка 104 К. Поэтому даже при температурах, близких к плавлению, электронный газ является вырожденным. В полупроводниках плотность свободных электронов гораздо ниже, чем в металлах, соответственно ниже значение температуры Ферми. Поэтому уже при комнатных температурах электронный газ во многих полупроводниках является невырожденным и подчиняется распределению Больцмана.

Многие практические задачи поведения свободных электронов в металлах и полупроводниках требуют знания распределения электронов не по состояниям, а по энергии. С учетом функции распреде-

Сравнение данного выражения с (1) дает значение плотности состояний электронов в металле

244

Учет взаимодействия электронов при наличии периодического поля кристаллической решетки приводит к появлению энергетических зон – каждый электрон может иметь любую энергию в пределах разрешенной зоны. Таких зон может быть несколько, их ширина не зависит от размеров кристалла и составляет несколько электрон-вольт. На рис. 4.17 цифрами 1 и 3 обозначены разрешенные зоны, 2 – запрещенная зона (∆E – ширина запрещенной зоны). Первая

зона при абсолютном нуле температуры свободна от электронов, третья зона может быть частично или полностью заполнена электронами и называется валентной, так как возникает из уровня, на котором находятся валентные электроны в основном состоянии атома.

В зависимости от степени заполнения электронами валентной зоны и ширины запрещенной зоны возможны три случая.

1.Часть уровней валентной зоны свободна. Достаточно сообщить электронам энергию порядка 10–23 эВ, и они могут занять более

высокие уровни энергии. Это происходит, например, за счет теплового движения (энергия теплового движения на 1 К порядка 10–4 эВ). Электрическое поле также способно переводить электроны на более высокие уровни, и они приобретают дополнительную скорость в направлении, противоположном электрическому полю. Такое распределение электронов характерно для металлов, являющихся хорошими проводниками. Для них валентная зона является зоной проводимости. Иногда имеет место перекрывание зон (запрещенная зона отсутствует).

2.Ширина запрещенной зоны ∆E несколько электрон-вольт. Валентная зона заполнена полностью. В этом случае ни тепловое

245

движение, ни электрическое поле не способны сообщить энергию, достаточную для переброса электронов в свободную зону. Это характерно для диэлектриков.

3. Валентная зона заполнена полностью. Электрическое поле не способно сообщить электронам энергию, достаточную для преодоления запрещенной зоны. Если ширина запрещенной зоны ∆E невелика (< 1 эВ), то только энергия теплового движения способна перевести электроны в свободную зону – она становится зоной проводимости (на самом деле не только энергия теплового движения способна перевести электроны в зону проводимости – об этом позднее). Это характерно для полупроводников.

Различают собственные и примесные полупроводники. Собственные полупроводники – химически чистые полупроводники. Примесные полупроводники – полупроводники с различными примесями.

Собственная проводимость возникает, если каким-то образом электрон из валентной зоны перебрасывается в зону проводимости. Тогда в зоне проводимости появляется электрон, свободный от атома и способный под действием электрического поля перемещаться по кристаллу. В валентной же зоне образуется вакантный уровень, на который могут попасть другие электроны. Таким образом, электропроводность полупроводника становится не равной нулю. При наличии вакантных уровней в валентной зоне поведение электронов валентной зоны (т.е. связанных с атомами) можно представить как движение положительно заряженных квазичастиц – «дырок». Таким образом, собственная проводимость полупроводников обусловлена движением электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне.

Примесная проводимость возникает, если некоторые атомы данного полупроводника заменить в узлах кристаллической решетки атомами, валентность которых отличается на единицу от валентности основных атомов.

В полупроводниках с примесью, валентность которой на единицу больше валентности основных атомов, имеется только один вид носителей тока – электроны. Атомы примеси, поставляющие элек-

246

троны, называются донорами, сам полупроводник обладает электронной проводимостью и называется полупроводником n -типа (negative). Дополнительный донорный уровень энергии располагается вблизи потолка запрещенной зоны.

В полупроводниках с примесью, валентность которой на единицу меньше валентности основных атомов, также возникают носители тока только одного вида – дырки. Атомы примеси, которые способны образовать дырку, являются акцепторами, проводимость называется дырочной, а сам полупроводник – р-типа (positive). Дополнительный акцепторный уровень располагается вблизи дна запрещенной зоны.

Электроны и дырки движутся в кристалле под действием внешнего электрического поля как свободные частицы, но каждая из них со своей эффективной массой.

4.4.1. Уровень Ферми в металлах при низких температурах.

Определить уровень Ферми EF как функцию температуры.

Для упрощения расчетов будем полагать объем тела V =1 и воспользуемся соотношением (1) из введения в данный подраздел:

в единице объема); f (E ) – функция распределения Ферми–Дирака

g (E) – плотность состояний электронов, равная числу состояний, приходящихся на единичный интервал энергии. Очевидно, при известной функции g (E ) соотношение (1) неявно определяет значение уровня Ферми EF .

247

При нулевой температуре ситуация тривиальна: f (E ) =1, когда E < EF (0) и обращается в нуль при E > EF (0). Тогда (1) переходит в

получаем равенство

2 2m3 EF (0)3/ 2 = n.

3π2 3

Откуда находим

EF (0) = 2m2 (3π2n)2 / 3 .

Этот результат нам уже известен из введения к данному подразделу. При T ≠ 0 очевидно

Таким образом, для определения уровня Ферми при ненулевой температуре нам необходимо каким-то образом вычислить интеграл в правой части

Как отмечалось ранее, в металлах в силу высокой концентрации электронов электронный газ является сильно вырожденным (kT << EF ), и это значительно упрощает задачу определения EF (T ).

Проинтегрируем (4) по частям

248

249

т.е. в первом приближении искомый интеграл

EF

I ≈ G (EF ) = ∫ g (E)dE .

0

Общий член ряда в правой части равенства (7) пропорционален интегралу

Расширение нижнего предела от нуля до −∞ связано с тем, что для сильно вырожденного электронного газа отношение −EF / kT → −∞. Известно, что интегралы вида

вычисляются для четных n как суммы быстросходящихся рядов (для нечетных n равны нулю). Практически редко приходится учитывать члены с n > 2 и для n = 2 имеем

In = π62 (kT )2 .

250