книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Оптика. Квантовая физика

k = ( k′+ p)cos α,

где p – импульс отлетевшего электрона. Таким образом, из закона сохранения импульса следует связь волновых чисел налетевшего k и рассеянного k′ фотонов:

Присоединим сюда еще закон сохранения энергии, который после сокращения на скорость света, примет вид

k +mc = k′+ p2 + m2c2 .

Исключив отсюда величины p и k′ с помощью соотношений

(1) и (2), приходим к уравнению для импульса налетевшего фотона k:

И окончательно с учетом связи k = 2π/ λ получаем

3.2.9. Рассеяние фотона на электроне в магнитном поле. Фо-

тон с энергией, превышающей энергию покоя электрона в η=1,5

раза, испытал лобовое столкновение с покоящимся свободным электроном, который находится в однородном магнитном поле. В результате электрон стал двигаться по окружности радиусом R = 2,9 см. Найти индукцию B магнитного поля.

181

В данной задаче нам с самого начала придется воспользоваться законами релятивистской динамики, так как энергия фотона превышает энергию покоя электрона. Обратимся ко второму закону Нью-

трона; e – его заряд. Так как сила перпендикулярна скорости, то она не совершает работы, соответственно не изменяет энергию электрона и модуль импульса. В этом случае электрон движется по окружности радиусом R с постоянной скоростью v. Рассчитаем

мет вид

evB = pRv .

Откуда находим значение индукции магнитного поля

B = eRp .

Таким образом, для определения B нам необходимо найти только импульс электрона после взаимодействия с фотоном. Для этого обратимся к законам сохранения энергии и импульса, полагая, что рассеянный фотон движется назад:

182

сеянного фотона; E и p – энергия и импульс отлетевшего электрона. Из этих уравнений находим

E + pc = (2η+1)mc2 .

Добавим к этому уравнению связь импульса и энергии релятивистской частицы

E2 − p2c2 = m2c4 .

Тогда из последних двух уравнений, исключив энергию E, нетрудно найти

p = mc 2η(η+1) .

И окончательно находим

B= mc 2η(η+1). eR 2η+1

Подставив численные значения, получаем В = 0,11 Тл.

183

Глава 4 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

Завершающим разделом курса общей физики является квантовая (современная) физика. Предмет изучения квантовой физики – микрообъекты (микрочастицы) и системы, состоящие из большого числа микрочастиц. Принципиальное отличие микрочастиц от привычных нам тел заключается в том, что каждая микрочастица сочетает в себе свойства и частицы и волны. В этом проявляется их корпус- кулярно-волновой дуализм. Квантовая механика имеет статистический (вероятностный) характер в отличие от классической физики, где делаются детерминированные выводы. В то же время выводы, получающиеся из квантового рассмотрения систем частиц, гораздо лучше согласуются с тем, что реально наблюдается на опыте. Более того, именно квантовая физика в ряде случаев позволяет объяснить то, что «обычная» классическая физика сделать не в состоянии, или ее выводы совершенно не согласуются с опытными фактами. Естественно, квантовая физика представляет собой большой самостоятельный раздел физики, поэтому мы рассмотрим только некоторые вопросы, имеющие существенное значение для ее понимания.

4.1. Основные принципы квантовой механики

Квантовая механика основана на представлениях, принципиально отличных от представлений классической физики. Например, в квантовой механике не существует понятия траектории частицы. Это обстоятельство составляет содержание так называемого принципа неопределенности – одного из основных принципов квантовой механики, сформулированного В. Гейзенбергом. Суть принципа заключается в том, что если пытаться измерить одновременно координату и импульс микрочастицы, то чем с большей точностью известно положение частицы, тем больше неопределенность в значении импульса. С математической точки зрения данное положение обычно записывают в следующем виде:

184

где ∆x – неопределенность координаты x; ∆px – неопределенность импульса в направлении оси x (аналогично для других направлений). Подобное же соотношение существует и для энергии:

∆E∆t ≥ ,

которое означает, что чем короче время существования какого-то состояния или время, отведенное для его наблюдения, тем с меньшей определенностью можно говорить об энергии этого состояния. Если состояние стационарно, то оно может существовать бесконечно долго. Иногда соотношение неопределенности для энергии трактуют таким образом, что для измерения энергии с точностью ∆E необходимо время ∆t ≥ / ∆E.

Соотношение неопределенностей не связано с несовершенством измерительных приборов, а глубоко обусловлено самой природой вещей. Если бы оказалось возможным преодолеть это ограничение, то рухнуло бы все здание квантовой механики. В некоторых литературных источниках в правой части соотношений неопределенности стоит не , а / 2 или даже h = 2π . Это не имеет существенного значения, так как во всех принципиальных вопросах важно знать порядок величины ∆x ∆px , а не ее точное значение.

Естественно, принцип неопределенности, обладая в некотором смысле отрицательным содержанием, недостаточен для построения на его основе новой механики частиц. В основе такой теории должны лежать некоторые положительные утверждения. Основу математического аппарата квантовой механики составляет тот факт, что каждое состояние системы микрочастиц может быть описано некоторой функцией координат и времени Ψ(x, y, z,t). Ее называют волновой

функцией (пси-функцией). В общем случае эта функция является

185

комплексной. Физический смысл ее заключается в том, что квадрат ее модуля определяет вероятность обнаружить частицу в пределах

= A∫ ΨΨ*dV =1 (знак * означает комплексное сопряжение). Это по-

V

зволяет переопределить пси-функцию таким образом, чтобы было

ка имеет статистический характер. С помощью волновой функции можно только предсказать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в данном месте пространства. Сама волновая функция является решением дифференциального уравнения, которое впервые получил Э. Шредингер. Уравнение Шредингера является основным уравнением квантовой механики и не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что вытекающие из него следствия точно согласуются с опытными фактами. Само уравнение выглядит следующим образом:

U (x, y, z,t) – функция, градиент которой, взятый со знаком минус, определяет силу, действующую на частицу. Если функция U не зависит от времени, то она имеет смысл потенциальной энергии.

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то U не зависит явно от времени и в этом случае решение уравнения Шредингера можно представить в виде произведения двух множите-

186

лей, один из которых зависит только от времени, другой – от координат:

Ψ(x, y, z,t) = ψ(x, y, z)exp −iEt ,

где E – полная энергия частицы (в случае стационарных полей остается постоянной). После подстановки этого выражения в исходное

В то время как, согласно интерпретации пси-функции, частица, как говорят, «размазана» в пространстве, потенциальная энергия U рассматривается как функция локализованной точечной частицы в силовом поле.

Из физического смысла пси-функции следует, что она должна быть однозначной, непрерывной и конечной, т.е. отвечать стандартным условиям. Иногда встречаются ситуации, когда имеет смысл не квадрат модуля волновой функции, а отношение квадратов модулей волновых функций, взятых в разных точках пространства. Это отношение дает относительную вероятность обнаружения частицы в разных точках пространства.

Известно, что уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет решения не при всех значениях параметра E, а только при некоторых, называющихся собственными значениями энергии. Тогда соответствующие им функции ψ(x, y, z) называются собственными функциями.

187

При практическом применении уравнения Шредингера иногда встречаются ситуации, когда потенциальная энергия в некоторой точке имеет конечный разрыв. В этом случае волновая функция остается гладкой, т.е. ее первая производная по координате является непрерывной. Для доказательства проинтегрируем уравнение Шредингера по узкой области шириной 2δ, внутри которой имеется скачок потенциальной энергии:

( ) ( ) +δ 2m ( )

ψ′x +δ −ψ′x −δ = ∫ 2 E −U ψdx.

−δ

Ввиду конечности разрыва потенциальной энергии интеграл при δ →0 также стремится к нулю. Отсюда автоматически следует гладкость волновой функции. Кроме того, для волновой функции выполняется соотношение, аналогичное классическому уравнению непрерывности

∂ Ψ 2 / ∂t:

∂∂Ψt 2 = ∂(ΨΨ∂t ) = Ψ ∂ψ∂t +Ψ ∂Ψ∂t ,

ивоспользуемся нестационарным уравнением Шредингера

Отсюда сразу следует

∂ ∂Ψt 2 = 2mi (Ψ∆Ψ −Ψ ∆Ψ).

188

И если воспользоваться тождеством Ψ∆Ψ −Ψ ∆Ψ = = div(Ψ Ψ −Ψ Ψ) , то сразу приходим к требуемому результату.

Для придания законченной формы связи символов квантовой механики с реально наблюдаемыми величинами применяют так называемый операторный метод. Под оператором понимают правило, посредством которого одной функции – ϕ соответствует другая

функция – f . Символически это записывают в виде

f = Qϕ,

где Q – символическое обозначение оператора. Примеры операторов:

оператор Лапласа (лапласиан) ∆ = 2 = ∂22 + ∂22 + ∂22 ;

∂x ∂y ∂z

оператор «набла» = i ∂∂x + j ∂∂y + k ∂∂z .

В простейшем случае оператор представляет собой умножение исходной функции ϕ на некоторую другую Q:

f =Qϕ.

Одно из главных утверждений квантовой теории заключается в том, что среднее значение любой физической величины Q нахо-

дится как

Q = ∫ψ Qψdx,

где Q – оператор физической величины Q. Кроме того, состояние, в котором физическая величина Q имеет определенное значение, описывается ψ-функцией, являющейся решением уравнения

Qψ =Qψ

189

(естественно, в общем случае это равенство нельзя сокращать на ψ,

так как слева стоит оператор!).

Примеры часто применяемых в квантовой механике операторов: оператор координаты x = x;

оператор проекции импульса на ось х (аналогично для осей у и z декартовой системы координат) px = −i ∂∂x ;

оператор проекции момента импульса на ось z в сферической системе координат (ϕ – азимутальный угол, характеризующий вра-

щение вокруг оси z) Lz = −i ∂ϕ∂ .

Общее правило, позволяющее находить операторы других вели-

чин: формулы классической физики для связи между величинами в квантовой теории следует рассматривать как правила, связывающие операторы этих величин.

Например, связь между квадратом импульса и квадратом его проекций в классической механике имеет вид p2 = px2 + p2y + pz2. Тогда оператор квадрата импульса

Аналогично находим оператор кинетической энергии:

и оператор полной энергии – гамильтониан:

2

H = Ek +U = − 2m 2 +U.

190