книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Оптика. Квантовая физика

С учетом преобразований Галилея имеем

r = r′+ v0t, p = p′+ mv0.

Осталось только найти преобразование энергии

Так как первые два множителя представляют собой волновую функцию в K′-системе, то окончательно

В таком виде эта формула уже не содержит величин, характеризующих свободное движение частицы, и устанавливает искомый общий закон преобразования волновой функции произвольного состояния частицы. Для системы частиц в показателе экспоненты в (1) должна стоять сумма по всем частицам.

4.1.8. Частица в одномерном потенциальном поле. Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле U (x) в ста-

ционарном состоянии, для которого волновая функция имеет вид ψ(x) = Aexp(−αx2 ), где A и α – заданные постоянные (α > 0). Полагая U (x) = 0 при x = 0, найти U (x) и энергию E частицы.

Очевидно, найти полную и потенциальную энергию частицы можно из уравнения Шредингера, так как нам известен вид волновой функции. Поэтому подставим ее значение в одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

201

E= αm2 .

Итак как значение E уже определено, то из (1) нетрудно установить вид потенциальной энергии

U (x) = 2α2 2 x2. m

Именно такой вид имеет выражение для потенциальной энергии

не являются независимыми и связаны между собой условием нормировки

∞

∫ψ2dx =1 → ∫ A2 exp(−2αx2 )dx =1.

−∞

Данный интеграл сводится к известному интегралу Пуассона

и с учетом его значения находим искомую связь A = 2α 1/ 4 .π

202

любой функции координат

∞

U = ∫ψ U (x)ψdx = kA2 ∫ x2 exp(−2αx2 ) dx.

−∞

Если воспринимать интеграл Пуассона (1) как функцию параметра

что после подстановки значений k и A дает

U = α 2 . 2m

4.1.9. Ортогональность волновых функций. Воспользовав-

шись стационарным уравнением Шредингера, показать, что из него следует взаимная ортогональность волновых функций состояний с различной энергией.

Ортогональность волновых функций различных состояний квантовой системы означает, что интеграл от произведения ψmψn по всему пространству равен нулю. Здесь ψm и ψn – две волновые функции, удовлетворяющие стационарным уравнениям Шредингера:

203

2

− 2m ∆ψm +Uψm = Emψm ,

2

− 2m ∆ψn * +Uψn* = Enψn *.

Умножим первое из них на ψn*, а второе – на ψm и вычтем почленно друг из друга. Это дает

(Em − En )ψmψn* = 2m2 (ψm∆ψn * −ψn * ∆ψm ) =

2

= 2m div(ψm ψn * −ψn * ψm ).

Проинтегрируем обе стороны этого равенства по всему пространству, в котором находится частица

от дивергенции по объему преобразуется в интеграл по поверхности, ограничивающей область, в которой находится частица. Так как на границе данной области волновые функции обращаются в нуль, то соответственно обращается в нуль и интеграл в левой части (1)

(Em − En )∫ψmψn * dV = 0.

И так как Em ≠ En , отсюда следует искомое соотношение ортогональности

Данное условие выполняется только для невырожденного спектра. Спектр считается невырожденным, если каждому значению

204

энергии соответствует одна волновая функция. О функциях, подчиняющихся условию (2), говорят как об ортогональных. Таким образом, совокупность собственных функций ψn образует полную сис-

тему нормированных и взаимно ортогональных функций, или, как говорят для краткости, систему ортонормированных функций.

4.1.10. Оператор момента импульса. Найти вид оператора мо-

мента импульса, его собственные значения и функции.

Для этого вспомним, что формулы классической физики, связывающие различные величины, в квантовой теории следует рассматривать как формулы, связывающие операторы этих величин. Согласно классической механике вектор момента импульса строится по правилу

где i , j, k – орты осей X , Y , Z. В соответствии с общим правилом

построения операторов найдем вид оператора проекции момента импульса на ось Z

Очень часто данный оператор используется не в декартовой, а сферической системе координат (r, θ, ϕ). Для перехода к сфериче-

ской системе координат используем связь между декартовыми

исферическими координатами (рис. 4.3):

x= r sin θcos ϕ,

205

С помощью этих формул выразим частную производную по ϕ через

производные по x, y, z

Вычислив частные производные

∂ϕ∂x , ∂ϕ∂y и ∂ϕ∂z формул (2), подставим

Рис. 4.3

результаты в (3) и получим

∂ϕ∂ = −r sin θsin ϕ∂∂x + r sin θcosϕ∂∂y .

Из сопоставления данного выражения с (2) видим, что его можно переписать иначе

∂ϕ∂ = −y ∂∂x + x ∂∂y .

Правая часть этого равенства полностью совпадает с выражением в скобках формулы (1). Поэтому

Lz = −i ∂ϕ∂ .

Для определения собственных значений и собственных функций этого оператора нужно решить дифференциальное уравнение

экспоненту в (4) и сокращая на общий множитель exp(αϕ), прихо-

206

дим к уравнению −i α = Lz , из которого находим постоянную α:

α= iLz / . Таким образом, решение уравнения (4) имеет вид

ψ= C exp Lz ϕ .

Найденная нами волновая функция конечна, непрерывна и гладкая. Но она должна быть также и однозначной по углу ϕ. Это означает, что для

нее должно быть выполнено условие

ψ(ϕ+2π) = ψ(ϕ).

Данное условие может быть выполнено только в том случае, если отношение Lz к является

целым числом, т.е. проекция момента импульса на ось Z должна быть кратна постоянной Планка

Lz = m , m = 0, ±1, ± 2, ...

Рис. 4.4

Поскольку ось Z выбирают произвольно, последнее равенство означает, что проекция мо-

мента импульса на любое направление квантуется. Схематически это показано на рис. 4.4. Разумеется, подобные схемы не следует вос-

принимать буквально, так как «вектор» L принципиально не имеет определенного направления в пространстве.

4.2.Потенциальные барьеры и ямы

Вданном подразделе будут рассмотрены стационарные задачи

одвижении частицы в силовом поле, имеющем вид потенциального барьера или ямы. В этих задачах уравнение Шредингера имеет вид

207

Для одномерных задач это уравнение выглядит как

где функция U (x) имеет разные значения для разных интервалов

изменения координаты x. Если внутри каждого интервала потенциальная энергия имеет постоянное значение (но различное для разных интервалов), то уравнение (2) записывают отдельно для каждого интервала и приходят к некоторой системе линейных дифференциальных уравнений. На каждой границе двух соседних интервалов должны выполняться условия непрерывности волновых функций (их равенство) и условия гладкости (равенство первых производных).

В двухмерных (или трехмерных) задачах очень часто потенциальную энергию представляют в виде произведения множителей, каждый из которых является функцией только одной переменной. Например, для двух переменных U (x, y) =U1 (x)U2 ( y). В данном слу-

чае решение уравнения (1) ищут методом разделения переменных,

няться условия непрерывности и гладкости.

Практически важной является ситуация, когда потенциальная энергия сферически симметрична относительно некоторого силового центра. К этому сводится, например, задача о поведении электрона в электрическом поле заряженного ядра, взаимодействие протона с нейтроном в ядре дейтерия и многие другие. Будем полагать для простоты силовой центр неподвижным. В этом случае потенциальная энергия зависит только от расстояния от частицы до силового центра – U (r). В то же время волновая функция частицы может зависеть

не только от расстояния r, но и от угловых переменных. Мы ограничимся только сферически симметричными решениями, т.е. будем полагать волновую функцию зависящей только от r: ψ(r).

208

В сферической системе координат уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид

Введем новую функцию φ = rψ. Тогда уравнение Шредингера легко привести к виду

d 2φ + 2m [E −U (r)]φ = 0. dr2 2

Это уравнение математически тождественно с уравнением Шредингера для одномерного случая. Правда, здесь есть специфика. При r = 0 функция φ должна обращаться в нуль, так как в противном

случае волновая функция ψ = φ/ r обращалась бы в бесконечность.

Важным показателем характера движения частицы при наличии потенциальных барьеров и ям являются коэффициенты отражения R и прохождения (прозрачности) D, характеризующие соответствующие вероятности. Данные коэффициенты опираются на понятие плотности потока вероятности, введенное в подразд. 4.1:

j = 2im (ψ ψ −ψ ψ).

Для одномерных задач при условии E >U решения уравнения (2) имеют вид бегущих волн ψ exp(±ikx) (без учета временного множителя exp(−iEt / )), где знак плюс берут для волны, бегущей вдоль оси X , знак минус – для волны, бегущей против оси X , а параметр k имеет смысл волнового числа. В этом случае модуль вектора j (плотность потока вероятности), очевидно, пропорционален величине kψψ

j kψψ .

209

ψ1 (x < 0) = a1 exp(ik1x) +b1 exp(−ik1x), ψ2 (x ≥ 0) = a2 exp(ik2 x) +b2 exp(−ik2 x),

где k1 = 2mE / , k2 = 2m(E −U0 ) / . Коэффициент a1 дает амплитуду падающей волны, коэффициент b1 – амплитуду отраженной волны, a2 – амплитуда волны, прошедшей барьер, b2 – амплитуда волны в области x > 0, движущейся против оси x. Так как ей взяться неоткуда, то, очевидно, необходимо положить b2 = 0. В соответствии

с видом ψ-функций для падающей, отраженной и проходящей волн мы должны полагать плотность потока вероятности падающей волны j k1a12 , отраженной j′ k1b12 и проходящей j′′ k2a22. Тогда веро-

ятность отражения частицы от барьера – коэффициент отражения R можно определить как отношение плотности потока вероятности отраженной от барьера волны к плотности потока вероятности падающей волны:

Соответственно коэффициент прохождения D можно определить как отношение плотности потока вероятности прошедшей барьер волны к плотности потока вероятности падающей волны

210