книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Оптика. Квантовая физика

И окончательно после взятия производной получаем

Cv = 16c σT 3V ,

что после подстановки численных значений составит Cv = 3 нДж/К.

3.1.6. Критерий Вина. Вином была получена формула для спектрального распределения объемной плотности излучения абсолютно

черного тела w(ω,T ) = ω2 f (ω/T ), где f (ω/T ) – некоторая функция отношения частоты к температуре. Показать с ее помощью, что:

а) наиболее вероятная длина волны λm 1/T;

б) максимальная спектральная плотность энергии пропорциональна T 5.

Так как величина w(ω,T ) является функцией распределения

энергии по частотам, то наиболее вероятная длина волны соответствует максимуму этой функции, аргументом которой должна являться не частота, а длина волны. Поэтому вначале преобразуем функцию w(ω,T ) так, чтобы ее аргументом была длина волны. Для этого оп-

ределим бесконечно малый интервал частот и длин волн так, чтобы выполнялось равенство энергии в данных интервалах

w(ω,T )dω= w(λ,T )dλ → w(λ,T ) = w(ω,T ) ddωλ .

Воспользовавшись связью длины волны и частоты (ω= 2πc / λ),

получаем

ddωλ = − 2λπ2c

(знак минус можно убрать, так как он показывает только то, что увеличение длины волны приводит к уменьшению частоты). Таким образом,

161

где F (λT ) – некоторая функция произведения λT.

Для определения длины волны λm , на которую приходится максимум функции w(λ,T ), найдем производную dw/ dλ и положим ее

случае корень этого уравнения x равен некоторому числу b. Отсюда следует

λmT = b → λm 1/T.

Иподставляя значение λm в (1), сразу получаем

w(λ,T )max = λ−m5F (λmT ) T 5.

3.1.7. Число фотонов. Определить среднее число фотонов в единице объема полости, заполненной равновесным излучением абсолютно черного тела, при температуре T.

Для того чтобы понять, что от нас требуется, обратимся к формуле Планка для спектрального распределения объемной плотности энергии теплового излучения

162

Если ее помножить на интервал частот dω, то мы получим энергию всех электромагнитных колебаний частоты ω в интервале частот (ω, ω+ dω) в единице объема. Но каждое электромагнитное

Естественно, для определения числа фотонов всех частот необходимо проинтегрировать соотношение (1) по частотам от нуля до бесконечности (разумеется, бесконечно больших частот не существует, но их вклад в интеграл пренебрежимо мал, поэтому мы и выбираем такой интервал частот):

Сюда входит табличный интеграл (его значение равно 2,405, см. например, [1]) и после подстановки значений всех констант получаем

n= 20,5T 3 ≈ 5,5 108 см–3.

3.1.8.Формула Планка. Опираясь на формулу Планка для спектральной плотности энергии единичного объема w(ω,T ), найти

среднее значение частоты ω , среднее значение энергии фотонов

163

εи наиболее вероятное значение энергии фотонов при заданной

температуре T.

Как уже отмечалось во введении к данному подразделу, функцию w(ω,T ) следует рассматривать как функцию распределения при

расчете среднего значения любой функции частоты ϕ(ω). Тогда среднее значение частоты излучения можно найти как

Введем переменную x = ω/ kT.

∞

ω = kT ∫0 exp(x) −1 .

∞

∫0 exp(x) −1

Данные интегралы являются табличными (верхний равен 24,9, нижний – π4 /15 ), и для ω получаем

ω =3,83 kT .

Среднее значение энергии фотонов можно определить как от-

∞

ношение всей энергии единичного объема излучения ∫ wdω к числу

0

фотонов n, найденному в предыдущей задаче:

164

Данные интегралы являются табличными (после замены x = ω/ kT ) и для ε имеем

ε = 2,7kT.

Под наиболее вероятным значением энергии следует понимать значение энергии, которым обладает наибольшее число фотонов. Это означает, что нам нужно иметь распределение числа фотонов по частотам nω. Значение этой функции можно найти из формулы (1) пре-

дыдущей задачи, если данную формулу переписать в виде

Для определения ее максимума найдем производную dnω / dω и по-

ложим ее равной нулю. В результате после введения переменной x = ω/ kT приходим к трансцендентному уравнению

2 − x = 2e−x .

Корень этого уравнения можно найти любым из известных методов: x0 ≈1,6. Откуда находим наиболее вероятную энергию фото-

нов ωвер =1,6kT.

165

3.2. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения

Идея Планка о том, что излучение и поглощение света веществом происходит не непрерывно, а порциями (квантами), позволила объяснить закономерности теплового излучения. Более радикальная и законченная форма была предложена Эйнштейном, который считал, что и распространение света в пространстве происходит отдельными порциями – фотонами. Идея фотонов не являлась простым возвратом к ньютоновской корпускулярной теории света, так как фотонам свойственна интерференция и дифракция. Фотоны обладают не только корпускулярными, но и волновыми свойствами (в этом проявляется их корпускулярно-волновой дуализм).

Если фотоны обладают энергией ε = ω, то в соответствии с теорией относительности они обладают и импульсом. Связь энергии E и импульса p для свободно движущейся со скоростью v час-

тицы массы m определяется соотношениями

не обладает массой и, во-вторых, позволяет выразить импульс фото-

на через волновой вектор k = ωc = 2λπ : p = k.

Взаимодействие фотонов с электронами металла (фотоэффект) определяется уравнением Эйнштейна

ω= A + 12 mvm2 ,

где A – работа выхода электрона; vm – максимальная скорость фотоэлектронов.

166

Процесс упругого рассеяния фотона неподвижным свободным электроном (эффект Комптона) описывается законами сохранения энергии и импульса:

ω+mc2 = ω′+c p2 + m2c2 , k = p + k′.

Из данных соотношений следует значение разности длин волн фотона до (λ) и после ( λ′) рассеяния

∆λ = λ′−λ = λC (1−cosθ) = 2λC sin2 θ2 ,

где λC – комптоновская длина волны частицы с массой m, на которой происходит рассеяние рентгеновского излучения, λC = 2π / mc;

θ– угол рассеяния.

3.2.1.Длина волны фотона. Найти длину волны фотона, импульс которого равен импульсу электрона с кинетической энергией

Ek = 0,30 МэВ.

Импульс фотона p связан с его энергией соотношением p = ε/ c. И так как энергия фотона определяется его длиной волны ε = 2π c / λ, то для длины волны фотона имеем

где p – импульс фотона, равный импульсу электрона.

Таким образом, нам осталось только связать импульс электрона

pс его кинетической энергией Ek . Значение этой энергии близко

кзначению энергии покоя ( ≈ 0,5 МэВ), поэтому воспользуемся релятивистскими соотношениями

E2 − p2c2 = m2c4 , Ek = E −mc2 ,

167

где E – полная энергия электрона с массой m. Из этих соотношений находим

Переведя электрон-вольты в джоули (1 эВ = 1,6 10−19 Дж), получаем

λ= 2,2 10−12 м.

3.2.2.Импульс пластинки. Короткий лазерный импульс света

сэнергией E = 7,5 Дж падает на зеркальную пластинку с коэффици-

ентом отражения ρ = 0,60. Угол падения θ = 30°. Найти импульс, пе-

реданный пластинке.

Из закона сохранения импульса следует, что импульс, переданный пластинке ∆p, должен быть равен разности импульсов фотонов

p, падающих на пластинку, и отраженных от нее p′:

∆p = p − p′.

Причем этот импульс при заданной полной энергии излучения E не зависит от спектрального состава излучения. Импульс каждого фотона зависит от частоты (он равен ω/ c), но так как число

падающих фотонов в интервале частот (ω, ω+dω), в котором сосре-

168

отношение интенсивности падающего излучения I к энергии одного фотона dN = IωdS cosθ. Здесь dS cos θ – проекция элемента dS на

направление, перпендикулярное излучению, а значение dS =

= 2πR2 sin θdθ. Тогда согласно второму закону Ньютона сила, действующая на элемент dS, будет равна изменению импульса всех фотонов, падающих на элемент dS в единицу времени:

dF = ∆pxdN = 2 cωcos2 θ Iω2πR2 sin θcosθdθ = = 4πR2 cI cos3 θsin θdθ.

Интегрируя это выражение по θ от нуля до π/ 2, находим

F = cI πR2 .

Заметим, что точно такой же результат получается и для полностью поглощающей плоской поверхности площадью πR2.

2. Плоская абсолютно матовая поверхность площадью S и с коэффициентом отражения, равным единице, освещается световым потоком интенсивностью I (Вт/м2), падающим нормально.

Равенство единице коэффициента отражения означает, что каждый фотон отражается без потери импульса ( p = p′). Термин «абсо-

лютно матовая поверхность» означает, что вероятность отражения одинакова для всех направлений. Иначе можно сказать, что в любом направлении при одинаковом бесконечно малом телесном угле dΩ отражается одинаковое число фотонов. Так как падающий поток света однороден по сечению, то нам достаточно рассмотреть, что происходит при отражении света от любого малого элемента поверхности ∆S. Поэтому выделим на поверхности S небольшой элемент ∆S, на который ежесекундно падает ∆N фотонов с энергией ω (рис. 3.5). В силу изотропности отраженного излучения из этого

170