книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Оптика. Квантовая физика

пульса каждого из этих отраженных фотонов на направление, перпендикулярное площадке ∆S (нас интересует именно это значение), определяется по формуле

∆p = p(1+cos θ) = cω(1+cosθ) .

Тогда согласно второму закону Ньютона

Этот результат можно было предугадать заранее, так как абсолютно матовая поверхность занимает промежуточное положение между плоской зеркальной поверхностью и абсолютно черной.

3. Свет от точечного изотропного источника мощностью P падает на идеально зеркальную пластинку радиусом R. Источник находится над центром пластинки на расстоянии l от нее (рис. 3.6).

171

Симметрия задачи говорит о том, что в качестве бесконечно малой элементарной площадки dS следует вы-

числа в направлении площадки dS, которая видна под телесным углом dΩ = 2πsin θdθ, летит dN = (N / 4π)dΩ фотонов. Изменение импульса одного фотона составляет ∆p = 2( ω/ c)cos θ. Таким образом, сила давления на элемент dS согласно второму закону Ньютона

dF = ∆pdN = Pc sin θcosθdθ.

Осталось только проинтегрировать по углу θ от нуля до некоторого максимального угла θm , определяемого условием

3.2.4. Фотоэффект. Никелевый шарик, играющий роль внутреннего электрода сферического вакуумного фотоэлемента, освещают моноэнергетическим электромагнитным излучением различных

172

длин. Полученные вольт-амперные характеристики представлены на рис. 3.7 (данные характеристики построены в таком масштабе, что значение тока насыщения во всех случаях оказалось одинаковым). Найти с помощью этих графиков соответствующие длины волн.

Рис. 3.7

Очевидно, искомую длину волны можно найти только из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта, записанного через длину волны:

скорость фотоэлектронов, которой соответствует максимальная кинетическая энергия. Казалось бы, что для ее определения достаточно измерить задерживающую разность потенциалов Uз, т.е. определить

показания вольтметра, при которых ток фотоэлемента обращается в нуль. Именно так обстоит дело, если катод и анод фотоэлемента изготовлены из одного материала. Если же эти электроды изготовлены из разных материалов (что обычно и бывает), то определение задерживающей разности потенциалов усложняется. В этом случае начинает играть заметную роль контактная разность потенциалов, возникающая при контакте разных металлов (катод и анод образуют единую цепь). Причем контактная разность потенциалов определяется разностью работ выхода электронов из материала катода и анода

173

и не зависит от материала промежуточных проводников. Если бы контактной разности потенциалов не было, то при напряжении между катодом и анодом, равным нулю, все фотоэлектроны вне зависимости от начальной скорости достигали бы анода, и мы уже имели бы ток насыщения.

Наличие контактной разности потенциалов приводит к сдвигу вольт-амперной характеристики по оси U , зависящему от знака контактной разности потенциалов. Если ее знак таков, что она тормозит вылетающие из катода электроны, то приходится прикладывать внешнее напряжение, компенсирующее тормозящую контактную разность потенциалов, и начало горизонтального участка (ток насыщения) сдвигается вправо в сторону положительных значений показания вольтметра. Если же контактная разность потенциалов не тормозит, а ускоряет фотоэлектроны, то вольт-амперная характеристика фотоэлемента смещается влево. Очевидно, в обоих случаях значение задерживающего напряжения можно найти как

Uз =U2 −U1,

где значение U2 соответствует напряжению, при котором устанавливается ток насыщения, а значению U1 соответствует нулевой ток фо-

тоэлемента (см. рис. 3.7). Отметим, что положение точки 2 зависит только от контактной разности потенциалов, положение же точки 1 – от частоты падающего света. Значит, и задерживающая разность потенциалов Uз тоже зависит от частоты падающего света. Определив

Uз, мы тем самым находим максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов

12 mvm2 = eUЗ = e(U2 −U1 ).

Подставляя это выражение в (1), находим

174

что после подстановки численных значений дает λ, равную 196, 213

и224 нм.

3.2.5.Рентгеновское излучение. В сплошном рентгеновском

спектре интенсивность излучения Iλ с длиной волны λ0 = 50 пм зависит от напряжения U на рентгеновской трубке следующим образом: при напряжениях U , равных 29, 28, 27, 26 (кВ), значение интенсивности Iλ в относительных единицах составляло соответственно

10,0; 6,0; 3,0 и 1,4 единиц. Вычислить по этим данным постоянную Планка .

Метод определения постоянной Планка, основанный на измерении коротковолновой границы тормозного рентгеновского излучения, является наиболее точным. Его называют методом изохромат. Заключается этот метод в том, что спектрометр для рентгеновского излучения устанавливают так, чтобы в счетчик попадало излучение одной и той же определенной длины волны, и измеряют интенсивность Iλ в зависимости от приложенного к рентгеновской трубке на-

пряжения U. Построим эту зависимость, используя данные в задаче условия, и экстраполируем ее до пересечения с осью абсцисс.

Из рис. 3.8 находим значение соответствующего напряжения U0 = 25 кВ,

при котором значение Iλ обращается в нуль. При этом напряжении излучение с длиной волны λ0 = 50 пм стано-

вится коротковолновой границей сплошного рентгеновского спектра. Это, конечно, не означает, что рентгеновское излучение исчезает – исчезает излучение с этой длиной волны, а остается излучение с бóльшими длинами волн. В данном случае энергия свето-

вых квантов ω значительно превышает работу выхода A и тогда уравнение Эйнштейна принимает более простой вид

175

ω= 12 mvm2 .

Эту формулу можно интерпретировать и иначе: не как переход энергии светового кванта в кинетическую энергию электрона, а наоборот, как переход кинетической энергии электронов, ускоренных разностью потенциалов U , в энергию квантов, возникающих при резком торможении электронов в материале антикатода. По этой причине процесс возникновения рентгеновских квантов называют иногда обратным фотоэффектом.

Приравнивая кинетическую энергию электронов работе электрического поля через ускоряющее напряжение, получаем

2π c = eU0.

λ0

Эта формула определяет минимальную длину волны, с которой могут испускаться рентгеновские лучи при заданном напряжении на трубке. В нашем случае λ0 = 50 пм, U0 = 25 кВ. Используя эти данные, находим

=2eλπ0c U0 =1,06 10−34 Дж с.

3.2.6.Взаимодействие фотона с атомом. Фотон с длиной вол-

ны λ =17,0 пм вырывает из покоящегося атома электрон, энергия

связи которого Eсв = 69,3 кэВ. Найти импульс, переданный атому

в результате этого процесса, если электрон вылетает под прямым углом к направлению налетающего фотона.

При взаимодействии фотона с электроном атома последний получает практически всю энергию фотона, так как масса атома много больше массы электрона. Импульс же, который получает атом pа,

можно найти из закона сохранения импульса (рис. 3.9): pe2 + pф2 = pа2 , где pф – импульс фотона, pф = ω/ c; pe – импульс электрона. Для

176

его определения нам следует решить: какой формулой (релятивистской или нерелятивистской) связан импульс электрона с его энергией? Обратимся к закону сохранения энергии

ане секунда (так часто выражают импульс микрочастиц).

3.2.7.Взаимодействие фотона со свободным электроном. По-

казать, что свободный электрон не способен поглощать и испускать фотоны.

Чтобы понять это, рассмотрим с точки зрения законов сохранения энергии и импульса процесс поглощения фотона свободным покоящимся электроном. Из закона сохранения энергии следует

ω+mc2 = c p2 + m2c2 ,

где p – импульс электрона после поглощения фотона. В силу закона

сохранения импульс электрона должен быть равным импульсу поглощенного фотона p = ω/ c. После подстановки этого значения

в закон сохранения энергии и возведения в квадрат, приходим к равенству 2 ω mc2 = 0, что, очевидно, невозможно, так как ни ω, ни m не равны нулю. В силу эквивалентности различных инерци-

177

альных систем отсчета получаем, что и движущийся свободный электрон не способен поглотить фотон. Нетрудно понять, что свободный электрон не имеет права и излучать фотон (этот процесс является обратным поглощению).

Полученный результат в некотором смысле тривиален. Наше доказательство молчаливо предполагало, что масса электрона до и после взаимодействия остается той же самой. Это значит, что внутреннее состояние электрона при этом не изменяется. В этом случае полная энергия электрона при испускании фотона может только возрастать за счет отдачи во время испускания. Испущенный фотон в свою очередь несет положительную энергию. И если бы испускание фотона было возможно, то оно сопровождалось бы нарушением закона сохранения энергии.

В то же время при рассмотрении фотоэффекта мы полагали, что свободный электрон может полностью поглотить фотон. Не противоречит ли это только что доказанному утверждению о невозможности поглощения или испускания фотона свободным электроном? На самом деле никакого противоречия нет. Оно возникает из-за неудачной терминологии. «Свободный электрон в металле» на самом деле не свободен. Для электрона металл является потенциальной ямой. И фотон взаимодействует не только с электроном, но и со всем металлом в целом. Импульс фотона воспринимается как электроном, так и металлом, энергия же фотона передается только электрону, так как масса металла может считаться бесконечно большой. Напротив, упругое рассеяние фотона свободным электроном (или который может считаться таковым) вполне возможно; это наблюдается при эффекте Комптона.

3.2.8. Эффект Комптона. Рассмотрим две задачи.

1. Фотон с энергией ω рассеялся под углом θ на покоившемся свободном электроне. Определить угол ϕ, под которым вылетел

электрон отдачи (по отношению к направлению налетевшего фотона). На рис. 3.10 отображен закон сохранения импульса при рассея-

нии фотона на свободном электроне k = k′+ p. Здесь k – им-

178

пульс налетающего фотона (его модуль ра-

(при выводе данного соотношения мы вос-

пользовались тем, что k = 2π/ λ). Связь длин волн исходного (λ) и рассеянного фотона (λ′) определяется формулой Комптона

λ′−λ = λC (1−cosθ) ,

tg ϕ = 1+ ω/ mc2 .

Определим теперь, как угол ϕ зависит от импульса электронов p отдачи и энергии налетающих фотонов ε = ω. Для этого обратимся к закону сохранения энергии

ε+mc2 = ε′+c p2 + m2c2

179

(ε′ – энергия рассеянных фотонов). Из данного равенства нетрудно

Так как разность энергий фотона равна кинетической энергии электрона отдачи Ek , то

cos ϕ = Epck 1+ mcε 2 .

2. В результате столкновения фотона с покоившимся свободным электроном углы, под которыми рассеялся фотон и отлетел электрон отдачи, оказались одинаковыми и угол между направлениями их разлета 2α = = 100°. Найти длину волны налетевшего

фотона.

Так как углы, под которыми рассеялся фотон и отлетел электрон отдачи, одинаковы, то закон сохранения импульса в проекциях на оси х, у (рис. 3.11) примет

Рис. 3.11 вид

180