книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Оптика. Квантовая физика

в первом металле начнет убывать, во втором – нарастать. Первый металл приобретает положительный заряд, второй – отрицательный. В результате возрастает глубина потенциальной ямы первого металла, а его уровень Ферми опускается ниже. Во втором же металле наблюдается обратная картина. В итоге уровни Ферми начинают сближаться. И очень похоже, что в состоянии равновесия уровни Ферми будут находиться на одинаковой высоте.

Для доказательства нашего предположения выберем ось х перпендикулярную границе раздела металлов. Для электронов, переходящих эту границу, выполняется закон сохранения энергии

равновесии число электронов, пересекающих границу, как со стороны первого металла, так и со стороны второго металла, должно быть одинаковым

(vz , vz +dvz ):

dN = vx n(v)d3v, d3v = dvxdvydvz ,

где n(v)d3v – концентрация свободных электронов в металле. Итак, из (2) следует

Кроме того, из уравнения (1) получаем v1xdv1x = v2 xdv2 x .

261

Данное равенство в сочетании с (3) дает n(v1 ) = n(v2 ). Если же те-

перь вспомнить выражение для концентрации свободных электронов, полученное в задаче 4.4.3:

(E1, Е2 – кинетическая энергия электронов соответственно первого и второго металла). Или с учетом (1)

EF1 −U1 = EF 2 −U2 .

Но это равенство как раз и означает, что уровни Ферми в обоих металлах при их контакте совпадают, так как величина −U + EF опре-

деляет положение уровня Ферми на шкале энергии (см. рис. 4.23). Выравнивание уровней Ферми является условием равновесия не только при контакте двух металлов или полупроводников, но и при контакте металл – полупроводник.

4.4.6. Уровень Ферми в чистых полупроводниках. Найти по-

ложение уровня Ферми в чистом полупроводнике при достаточно низких температурах.

Распределение электронов по уровням валентной зоны и зоны проводимости подчиняется распределению Ферми–Дирака

В чистом полупроводнике плотность свободных электронов гораздо меньше, чем в металлах. Соответственно, значение уровня Ферми EF является малым (EF приближенно пропорционально

концентрации электронов в степени 3/2). Тогда E − EF >> kT и уже

262

при комнатных температурах электронный газ во многих полупроводниках является невырожденным, т.е. уровни энергии электронов в зоне проводимости лежат на «хвосте» функции распределения Ферми – Дирака. С математической точки зрения это означает, что в выражении (1) можно пренебречь единицей в знаменателе и тогда функция распределения для электронов переходит в классическое распределение Больцмана

Понятно, что для определения положения уровня Ферми одного этого соотношения недостаточно. Поэтому обратимся к механизму формирования собственной проводимости полупроводников. Она возникает в результате перехода электронов с верхних уровней валентной зоны в зону проводимости. При этом в зоне проводимости появляется некоторое число электронов, занимающих уровни вблизи дна зоны; одновременно в валентной зоне освобождается такое же число мест вблизи ее потолка, в результате чего в валентной зоне появляются дырки. Концентрация электронов и дырок существенно определяется распределением (2). Поэтому, определив каким-то образом концентрации свободных электронов и дырок, мы сможем определить положение уровня Ферми.

Примем за начало отсчета энергии потолок валентной зоны (рис. 4.24). В этом случае уровень, соответствующий дну зоны проводимости, будет равен ∆E (ширине запрещенной зоны). Тогда для концентрации свободных электронов nn можно записать

nn = ∞∫ g (E )fn (E )dE.

263

состояния с энергией E (дается выражением (2)), а функция g (E)

(плотность состояний) дает число состояний, приходящихся на единичный интервал энергии. Для газа свободных электронов в единичном объеме ее значение дается функцией

(см. введение к данному подразделу). Это выражение означает, что плотность состояний с самой низкой энергией (E = 0) должна быть

равна нулю. Но для электронов, находящихся на дне зоны проводимости, в соответствии с нашей договоренностью энергия равна ∆E. Поэтому необходимо считать, что

Займемся теперь расчетом концентрации дырок. Так как полная вероятность заполнения какого-либо уровня электроном или дыркой равна единице, то функция распределения для дырок будет иметь вид

264

И так как энергия дырок в валентной зоне отрицательна, то приближенно можно считать

т.е. уровень Ферми находится в середине запрещенной зоны. Этот результат полезно сопоставить со схемой энергетических зон

(рис. 4.25).

На рис. 4.25 темными кружочками отображены электроны, светлыми – дырки. Физически расположение уровня Ферми в середине запрещенной зоны означает, что в силу электронейтральности образца вероятности возбуждения электронов в зону проводимости и дырок в валентную зону с уровня Ферми должны быть одинаковыми.

265

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Иродов И.Е. Задачи по общей физике: учеб. пособие для вузов. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. – 432 с.

2.Задачи по физике: учеб. пособие / И.И. Воробьев, П.И. Зубков, Г.А. Кутузова [и др.]; под ред. О.Я. Савченко. – М.: Наука.

Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 416 с.

3.Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике: учеб. пособие для физ. спец. вузов. – М.: Высшая школа, 1991. – 175 с.

4.Сборник задач по общему курсу физики: учеб. пособие для вузов: в 3 ч. – Ч. 2. Электричество и магнетизм. Оптика / под ред. В.А. Овчинкина. – М.: Изд-во МФТИ, 2000. – 368 с.

5.Сборник задач по общему курсу физики: учеб. пособие для вузов: в 3 ч. – Ч. 3. Атомная и ядерная физика. Строение вещества / под ред. В.А. Овчинкина. – М.: Изд-во МФТИ, 2001. – 432 с.

6.Демков В.П., Третьякова О.Н. Физика. Теория. Методика. Задачи. – М.: Высшая школа, 2001. – 669 с.

267