книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Оптика. Квантовая физика

1.2.9. Сходящийся пучок лучей. Экран расположен на расстоянии l = 21 см от отверстия, в которое вставлена тонкая линза радиусом R = 5 см. На линзу падает сходящийся пучок лучей, в результате чего на экране образуется светлое пятно радиусом r =3 см, причем, если линзу убрать, то радиус пятна не изменится. Чему равно фокусное расстояние линзы f ?

фокусному расстоянию, т.е. воспользоваться непосредственно рисунком для определения f нельзя. Остается единственный вариант –

воспользоваться формулой тонкой линзы. Но здесь, как и в задаче 1.2.5 о сходящихся лучах в сферическом зеркале, нет реального предмета и его изображения. Поэтому воспользуемся обратимостью хода лучей. Если послать свет справа налево, то, очевидно, что точке S соответствует источник, а точке S′ – его мнимое изображение. И для решения задачи необходимо только определить расстояния CS и CS′. Из подобия треугольников следуют равенства

43

Осталось только подставить эти значения в формулу тонкой линзы с учетом того, что расстояние от изображения до линзы отрицательно (b = –52,5 см). Окончательно получаем f =17,5 см. Пре-

доставляем самостоятельно показать, что ответ не изменится, если

вотверстие вставлена рассеивающая линза.

1.2.10.Перемещение линзы между предметом и экраном. Со-

бирающая линза дает изображение некоторого предмета на экране.

Высота изображения равна h1. Оставляя неподвижным экран и предмет, начинают двигать линзу к экрану и находят, что при втором четком изображении предмета высота изображения равна h2. Найти действительную высоту предмета h. Каково при этом минимальное расстояние между предметом и экраном?

Стандартный путь решения этой задачи сводится к следующему. Необходимо записать формулу тонкой линзы для двух положений линзы с учетом постоянства расстояния между предметом и экраном. Затем связать выражение для увеличения линзы с расстояниями между линзой и предметом a и линзой и изображением b. В итоге получится система уравнений, из которой можно найти высоту предмета. Но это довольно длинный путь. Поэтому с целью упрощения вычислений воспользуемся симметрией формулы линзы по отношению к расстояниям от предмета до линзы и от линзы до изображения. С физической точки зрения это является следствием обратимости хода световых лучей – источник света S и его изображение S′ могут поменяться местами. Точечный источник, помещенный в точку S′, будет иметь свое изображение в точке S (поэтому точки S и S′ называются сопряженными). Можно утверждать, что если при перемещении линзы получаются два изображения при неподвижных предмете и экране, т.е. a +b = const, то

44

Найдем теперь минимальное расстояние между двумя оптически сопряженными относительно собирающей линзы точками Lmin .

Из формулы тонкой линзы 1a + b1 = 1f находим

разуя центрированную систему. Какой одной «эквивалентной» тонкой линзой, дающей при любом положении предмета такое же по величине изображение, можно заменить данную систему и где следует поместить «эквивалентную» линзу?

Главным и единственным параметром тонкой линзы является ее фокусное расстояние f . Поэтому вопрос, поставленный в задаче,

сводится к определению фокусного расстояния системы из двух тонких линз. Казалось бы, что решение этой задачи очевидно. Нужно послать на систему линз параллельный оптической оси пучок лучей и посмотреть, где он пересечет оптическую ось после прохождения второй линзы (рис. 1.39). Тогда расстояние от первой линзы до

45

Но этот результат крайне сомнителен, так как он несимметричен относительно величин f1 и f2 (т.е. зависит от того, с какой стороны

падает свет). Если мы поменяем местами линзы, то получим другое фокусное расстояние, чего, очевидно, не должно быть. В чем наша ошибка? Ответ напрашивается сам собой: нужно так определить понятие фокусного расстояния произвольной центрированной оптической системы, чтобы его значение не зависело от того, с какой стороны падает свет.

Для этого кроме фокальных плоскостей следует рассматривать еще так называемые главные плоскости центрированной оптической системы. Это две сопряженные плоскости, перпендикулярные оптической оси и отображающиеся одна в другой с поперечным увеличением +1. Иными словами, если предмет находится в одной такой главной плоскости, то его прямое изображение с увеличением, равным единице, находится в другой главной плоскости. Напомним, что

46

поперечное увеличение – величина алгебраическая. Оно положительно, если изображение прямое, и отрицательно, если изображение обратное. Для фокальных плоскостей существует передняя главная плоскость (H ), принадлежащая пространству предметов, и задняя

главная плоскость (H′), принадлежащая пространству изображений (рис. 1.40, отображены также внешние преломляющие поверхности оптической системы и ее фокальные плоскости F, F′). Тогда расстояние от передней главной точки H до переднего фокуса F называется передним фокусным расстоянием f . Расстояние от H ′ до F′ является задним фокусным расстоянием f ′. Если среда по обе стороны системы одинакова, то f = f ′.

Рис. 1.40

В зависимости от устройства системы главные плоскости

иглавные точки могут находиться как вне, так и внутри системы. Нетрудно показать, что для тонкой линзы (как рассеивающей, так

исобирающей) главные плоскости H и H ′ совпадают с самой линзой, т.е. предмет отображается сам в себя только, если он совпадает с самой линзой. Это напрямую следует из формулы тонкой линзы. Таким образом, новое определение фокусного расстояния никак

47

не противоречит тому, что мы уже знаем об одной тонкой линзе

иобобщает данное определение на произвольную центрированную оптическую систему.

Мы привыкли к тому, что как в пространстве предметов, так

ив пространстве изображений используется одна и та же система координат с общим началом. В то же время иногда с целью упрощения вычислений удобно рассматривать разные системы координат, получающиеся из исходной путем параллельного переноса вдоль главной оптической оси, и их начала могут не совпадать друг с другом. Можно принять передний фокус F за начало координат в пространстве

предметов, а задний фокус F′ – за начало координат в пространстве изображений. Кроме того, так как мы будем иметь дело с системой линз, в которой расстояния отсчитываются от разных точек и в разных направлениях, то нам следует договориться о правиле знаков. Если направление отсчета совпадает с направлением распространения света вдоль оптической оси, то соответствующая абсцисса считается положительной; в противном случае она считается отрицательной. То же будет относиться и ко всем направленным отрезкам. Ордината считается положительной, если соответствующая точка лежит выше оптической оси, и отрицательной, когда точка расположена ниже.

В соответствии с принятыми дого-

48

Это так называемая формула Ньютона. Кроме того, из рис. 1.41 следует, что величины y и y′ связаны между собой соотношением

о двух тонких линзах. Пусть ∆ означает расстояние от передней фо-

ния, даваемого первой линзой. Тогда в силу соотношений (1) и (2) имеем

x′, y′ – координаты изображения, даваемого второй линзой (а следовательно, и всей системой двух тонких линз) относительно начала F2′, то

49

Исключая промежуточные координаты x1, y, x2 , y2 , получаем

Этими формулами устанавливается соответствие между точками пространства предметов и пространства изображений. Оно называется коллинеарным соответствием. Из формул (3) следует, что конечным значениям x, y соответствуют конечные значения x′, y′. Ис-

ключение составляют точки плоскости

f12 +∆ x = 0.

Каждая точка такой плоскости изображается бесконечно удаленной точкой, а это и есть фокальная плоскость. Ее координата

Осталось найти фокусное расстояние системы как разность координат главной и фокальной плоскостей:

50