книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций

2) аналогично получим коэффициенты П22 и П2222 из эксперимента на одноосное растяжение-сжатие вдоль оси 2

2222 1 ;

2B 2B

3)для сдвига можно записать также два уравнения для определения П12 и П1212 , но для многих волокнистых композици-

101

есть критерий Хоффмана, который учитывает различие свойств

К.В. Захаров, соответственно такое решение получило название критерий Захарова.

Недостаток критериев Хоффмана и Мизеса – Хилла состоит в том, что все поверхности прочности эллипсоиды, выпуклые поверхности. Эксперименты на композитах со сложной структурой показывают, что квадратичная форма недостаточна для удовлетворительной аппроксимации. Возможные подходы к уточнению критериев:

1) увеличение числа членов ряда (2.5.2), например, до трех, как это сделала Е.К. Ашкенази, в результате появляются дополнительные параметры Пijklmn , для независимого определения ко-

торых необходимы дополнительные достаточно сложные эксперименты;

2) введение нелинейности (ЦайВу)

где показатели α, β определяются из наилучшего соответствия с экспериментальными данными; популярен критерий И.И. Гольденблата и В.А. Копнова для значений α = 1 и β = 1/2;

3)построение предельной поверхности на основе иных подходов, например, через сплайн-функции [1].

4)учет влияния внешних условий на прочность. Время, температура, повторное нагружение, влажность влияют на прочностные характеристики материала, и в этом случае предельная поверхность может записана в виде

где f – некоторая функция, как правило убывающая, определяемая из экспериментов на длительную прочность, усталость и т.д.

102

Глава 3. ТЕОРИЯ ПЛАСТИН

3.1.Изгиб анизотропных пластин

1.Основные понятия и гипотезы. Пластина – призматическое или цилиндрическое тело, толщина которого h мала по сравнению с другими габаритными размерами. Для исследования напряженнодеформированного состояния пластин введем систему координат x, y, z так, чтобы осьz былаперпендикулярнапластине (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Пластина

Любая плоскость, перпендикулярная оси z, является координатной плоскостью. Пересечение боковой поверхности пластины с координатной плоскостью называется контуром. Координатная плоскость, сохраняющая свои размеры при деформировании пластин, называется срединной плоскостью. Перемещение точек пластины в направлении z называется прогибом.

Классификация, предложенная Б.Г. Галеркиным, представлена в табл. 3.1.

В основном будем рассматривать техническую теорию или теорию тонких пластин.

Гипотезы теории тонких пластин (теория Кирхгофа)

1. Гипотеза прямых нормалей: любой прямолинейный элемент, нормальный к срединной поверхности, остается прямолинейным и нормальным к срединной поверхности после деформирования пластины ( yz 0, xz 0) и длинаего неизменится ( z 0 ).

103

2. Гипотеза недеформируемости срединной плоскости: v|z zC 0 , где u, ν – перемещения точек плоскости пластины, zC –

координата срединной плоскости.

3. Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластины, параллельными срединной плоскости, позволяет пренебречь напряжениями σz по сравнению с напряжениями x и y .

Таблица 3 . 1

Классификация пластин

Перемещения и деформации пластин. Исследуем геометри-

ческую сторону задачи об изгибе пластины. Следуя 1-й гипотезе, рассмотрим соотношение Коши:

104

Таким образом, все компоненты перемещения точки пластины выражаются через функцию прогиба w и через z – расстояние до срединной плоскости. Из 6 геометрических соотношений Коши 3 уже использовали для z , xz , yz . Выпишем оставшиеся со-

отношения

где Kx , Ky , Kxy кривизны. Таким образом, все компоненты тензора деформацииопределяются черезфункциюпрогибаw = w(x,y).

105

3. Напряжения в пластине. Полагая материал пластины упругим и анизотропным, для вычисления напряжений можно воспользоваться законом Гука. Пренебрегая компонентами тензоров деформаций и напряжений, содержащих компоненту z, получим

Если материал пластины ортотропный и оси ортотропии связаны с осями х и у, тогда

где коэффициенты жесткости Cij можно выразить через технические постоянные

106

Подставляя в (3.9) геометрические соотношения, получим

Компоненты напряженного состояния x , y , xy обусловли-

ваются функцией прогиба w(x,y) и изменяются по толщине пластины, т.е. зависят от аргумента z, и будут приводить к изгибу

икручению пластины. Можно определить значения изгибающих

икрутящего моментов

4. Дифференциальное уравнение прогиба пластины. Для по-

лучения дифференциального уравнения прогиба рассмотрим равновесие элемента пластины (рис. 3.2).

107

109

5. Усилия в пластине на площадке произвольной ориентации.

Рассмотрим сечение пластины плоскостью, перпендикулярной срединной поверхности, нормаль к которой составляет угол а с осью х (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Усилия в пластине на площадке произвольной ориентации

Определим усилия Ma, Qa, Ha через усилия Мх, Му, Мхy, Qx, Qy;

Преобразования моментов аналогичны преобразованию компонент, например, тензора напряжений или любого тензора второго ранга;

H M x sin cos M y sin cos M xy cos 2 , (3.1.25)

110