книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций

Варьируем на возможных перемещениях iT

экстремума функционала, следовательно, приходим к основной разрешающей системе линейных алгебраических уравнений

– уравнения удовлетворяют геометрическим, физическим соотношениям и граничным условиям в усилиях, и, так как функционал U эквивалентен уравнениям равновесия, следовательно, удовлетворяются и уравнения равновесия.

6. Граничные условия в перемещениях. Пусть перемещения,

например, в i-м узле заданы из граничных условий i * , тогда

количество уравнений в разрешающей системе на одно меньше, поэтому необходимо модифицировать правую часть

i-e уравнение в системе. Практически поступают следующим образом: полагают равными нулю компоненты F , F Т и используют равенства

181

Таким образом, из решения системы линейных уравнений получимузловые перемещения и далееопределимдеформации

в каждом элементе пластины. Переходя к напряжениям в слоях материала пластины и используя соответствующий критерий прочности, можно провести прочностной анализ и сделать выводы о начале разрушения конструкции. На основе соотношения

можно определить перемещения в любой точке пластины и провести анализ жесткости пластины.

5.2.Расчет стержневых конструкций

исетчатых панелей

Элементы стержневых конструкций (рис. 5.5, а) это стержни из однонаправленного волокнистого композиционного материала. Сетчатая панель (рис. 5.5, б) используется или независимо в качестве конструкции, или как внутренний сэндвичевый слой слоистого композита.

Рассмотрим типичный балочный элемент в локальной системе координат (рис. 5.6) – системе, связанной с конечным элементом. Координатная ось х направлена вдоль стержневого конечного элемента, координаты узлов: Xi 0, Xi L, где L длина эле-

мента. Вектор обобщенных перемещений

182

где q1,q2 и q4 , q5 компоненты смещений соответственно i-го и j-го узлов конечного элемента, q3 , q6 углы поворота соответствующих узловых сечений.

Рис. 5.5. Примеры стержневой конструкции (а) и сетчатой панели (б)

Рис. 5.6. Конечный элемент в локальной системе координат

Деформация элемента характеризуется продольным смещением и(х) и поперечным прогибом w(x).

При этом продольное смещение и(х) обусловлено продольной деформацией и связано с узловыми перемещениями q1,q4 ,

а поперечное смещение w(x) зависит от q2 ,q3 ,q5 ,q6 .

183

Для аппроксимации прогиба w(x) для балочного конечного элемента воспользуемся степенным полиномом

184

Окончательно получим

Упругая энергия деформирования стержневого конечного элемента Ae A1 A2 может быть представлена суммой линейной деформации

где Е модуль Юнга стержня вдоль оси, S и I – площадь и момент инерции поперечного сечения стержня. Подставим аппроксимации u(x) и w(x) в выражение для энергии упругого деформирования

или после интегрирования получим

185

где

после варьирования по переменным q

элемента.

Построение глобальной матрицы жесткости не может быть выполнено путем формального суммирования локальных матриц жесткости элементов, так как локальные матрицы построены для локальной системы координат x, y (рис. 5.7), связанной с эле-

ментом, а обобщенные узловые перемещения конструкции исследуются в глобальной или конструктивной системе координат

x , y (рис. 5.8). Соотношения между координатами вектора q в этих двух системах координат, например, для i-го узла:

где матрица поворота или матрица вращений:

186

Рис. 5.7. Узловые усилия конечного элемента в локальной и глобальной системах координат

Рис. 5.8. Локальная и глобальная системы координат

187

Запишем упругую энергию деформированию стержневого

таким образом, матрица жесткости элемента в глобальной системе координат

Далее формирование глобальной матрицы жесткости [K] проводим обычным для метода конечных элементов образом; система линейных алгебраических уравнений имеет вид

где [K] – квадратная матрица размером 3n, n – число узлов в стержневой конструкции; {δ} – вектор обобщенных перемещений; {F} – вектор обобщенных нагрузок

Fx1

F Fy1 (5.2.25)

M1...

Рис. 5.9. Распределение напряжений от растяжения (а) и изгиба (б) по сечению конечного элемента

188

Напряжения в стержневых элементах можно представить через сумму напряжений, возникающих от растяжения (рис. 5.9, а)

где компоненты q в локальной системе координат находим через определяемые из решения системы линейных алгебраических уравнений компоненты q по формуле

жесткой заделки; процедура учета граничных условий в системе линейных алгебраических уравнений традиционна.

5.3. Изгиб пластин

Рассмотрим пластину, характерные размеры которой связаны неравенствами:

под действием поперечных нагрузок и изгибных моментов

(рис. 5.10).

Деформирование пластины полностью характеризуется прогибом w(x,y). Дискретизация пластины прямоугольными элемен-

тами (рис. 5.11).

189