книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций

Дифференцирование (4.1.10) по s приводит к формуле

Домножив левую и правую части этого уравнения на единичный вектор n, нормальный к координатной поверхности.

где φ – угол между векторами v , n ; если рассматривать дуги C , полученные сечением координатной поверхности плоскостью, в которой лежит нормаль, тогда 0 , а cos 1. Обозначим через

kn кривизну поверхности в нормальном сечении:

Кривизна kn будет изменяться при вращении нормального сечения относительно нормали. Если сечения отнесены к главным линиям кривизн, то r 0 , а кривизны вдоль линий

(dβ = O) и р (d = 0) определяются соотношениями:

151

Кривизны k1, k2 называют главными кривизнами, a R1, R2 главными радиусами соответствующих кривизн оболочки. Произведение кривизн k1k2 называют гауссовой кривизной, а абсолютное значение гауссовой кривизны показывает степень искривленности поверхности в окрестности точки; знак минус характеризует форму (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Примеры поверхностей с различными гауссовыми кривизнами

Полу сумму главных кривизн 12 k1 k2 называют средней

кривизной поверхности.

Таким образом, для описания формы координатной поверхности оболочки в системе координат α, β необходимо знать главные кривизны или главные радиусы кривизн поверхности.

2. Геометрические соотношения (рис. 4.4). Для построения геометрических соотношений примем кинематическую модель С.П. Тимошенко, тогда смещение произвольной точки оболочки определится в виде:

152

где u, v тангенциальные перемещения точек координатной поверхности, w нормальное перемещение точки координатной поверхности (прогиб), γ1 и γ2 углы поворота нормали в плоскостях αz и βz соответственно.

Рис. 4.4. Элемент оболочки

Далее воспользуемся соотношениями для компонент тензора малых деформаций в криволинейных ортогональных координатах α, β, γ.

3. Параметры Ламе и радиусы кривизны эквизистантной по-

верхности. Пусть H , Hz параметры Ламе, а R1, R2 – радиусы кри-

визн координатной поверхности. Рассмотрим эквидистантную поверхность, удаленную на расстояние z от координатной. Опреде-

лим параметры Ламе H z , H z и радиусы кривизн R1z , R2z . Очевидно,

153

Запишем эти соотношения для некоторой эквидистантной величины поверхности z = const:

154

Подставим в соотношения (4.1.26)–(4.1.31) выражения кинематической модели С.П. Тимошенко

155

толщине оболочки деформацию и называются тангенциальными деформациями. Величины , , характеризуют линейно из-

меняющуюся по толщине деформацию оболочки, связанную с изгибом и скручиванием оболочки, и называются компонентами изгибной деформации.

Для построения геометрических соотношений использована модель С.П. Тимошенко; если использовать классическую теорию тонких оболочек Кирхгофа – Лява, следует положить

156

тогда

ит.д. для , .

4.Физические соотношения. Рассмотрим физические соотношения упругого анизотропного материала. Пусть материал является ортотропным и оси ортотропии совпадают с осями α, β, z, тогда соотношения Гука будут иметь вид:

157

и физические уравнения относительно внутренних усилий примут вид

158

если использовать гипотезу Кирхгофа – Лява, то два последних уравнения надо отбросить. В общем случае анизотропии материала вся матрица [А] заполнена коэффициентами жесткости.

5. Уравнения равновесия. Рассмотрим элемент срединной поверхности оболочки (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Элемент срединной поверхности оболочки

Выполняются соотношения: