книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций

Внутри каждого из слоев выполняются условия движения

un un x ant ,

где x at – выбор знака в характеристике соответствует тому,

и интегрируя по , получим

51

Условие полного прохождения волны равенство импедансов слоев E2 2 E1 1 , в противном случае имеет место мно-

жественное отражение, которое позволяет рассеять волновое воздействие. Свободная поверхность обеспечивает полное внутреннее отражение волны со сменой знака напряжений.

1.7. Установившиеся вынужденные колебания упругих механических систем

Вынужденные колебания упругой механической системы описываются операторным уравнением следующего вида:

где A, С – инерциальный и упругий операторы; u – нестационарное поле обобщенных перемещений; F – нестационарная внешняя нагрузка. Если внешняя сила изменяется со временем по гармоническому закону с частотой и амплитудой F0 (r ) :

то при установившихся вынужденных колебаниях в механической системе устанавливается периодический режим с той же частотой

Подстановка внешнего воздействия и вида поля установившихся перемещений в исходное уравнение приводит к неоднородной краевой задаче для уравнения

Если механическая система имеет дискретный спектр собственных частот k , если частота внешнего воздействия не совпа-

дает ни с одной из частот собственного спектра, то неоднородное уравнение имеет единственное решение:

52

Если k , то единственное решение краевой задачи отсут-

ствует.

Практически совпадение частоты внешнего воздействия с ка- кой-либо из собственных частот упругой системы приводит к неограниченной амплитуде u0 (r ) , имеет место так называемый ре-

зонанс.

Резонансные явления в механических системах приводят к разнообразным динамическим эффектам, имеющим как положительные, так и отрицательные свойства:

–высокая нагруженность деталей в условиях резонанса (например, сопряжение соплакорпусом двигателя «Челленджера»);

–незначительные затраты и потери энергии для проведения значительных перемещений и движений (резонансные механизмы и манипуляторы).

1.7.1. Методы решения задач об установившихся колебаниях механических систем

Аналитическое решение задачи сопряжено с построением оператора вида

1.7.2. Метод разложения по собственным формам

Пусть необходимо получить решение задачи об установившихся колебаниях упругой механической системы

Пусть k (r ) – собственные формы колебаний этой же систе-

мы, полученные из решения вспомогательной краевой задачи для однородного операторного уравнения

53

Если k (частота внешней нагрузки не совпадает с ка-

кой-либо собственной частотой системы), то решение задачи для установившихся колебаний можно записать в виде:

k 1

где uk – неопределенные коэффициенты. Для определения коэффициентов воспользуемся процедурой метода Галеркина:

i 1, 2, ...

Используя условие ортогональности форм собственных колебаний,

Система распадается на независимые уравнения, каждое из

54

1.7.3. Прямые методы расчета вынужденных установившихся колебаний

Прямые методы без каких-либо особенностей могут быть распространены на задачу об установившихся колебаниях. Решение строится в виде

функции.

Подставляя аппроксимацию в уравнение установившихся колебаний и используя процедуру Галеркина, получаем систему уравнений относительно Uk :

Полученная система разрешается относительно коэффициентов Uk .

Отметим, что, если i i , система становится матрицей ко-

эффициентов диагонального вида, и решение при N устремится к точному.

Если используется процедура метода конечного элемента, то уравнение установившихся колебаний преобразуется к виду:

где [C] – матрица жесткости конструкции; [A] – матрица масс; {u} – амплитуда узловых перемещений; {F}– амплитуда значения узловых усилий.

Решение системы линейных уравнений позволяет получить приближенное решение задачи об установившихся колебаниях упругой системы. Отметим, что система линейных уравнений не

55

может быть разрешена, если k ( k – спектр собственных частот). Поэтому при решении данной задачи полезно предварительно оценить k исследуемой конструкции.

1.8. Основные понятия теории упругой устойчивости

Рассмотрим упругую механическую систему, подверженную действию консервативных внешних нагрузок. Если внешние воздействия стационарны, то механическая система находится в состоянии равновесия, и ее полная потенциальная энергия имеет стационарное значение. Причем положение равновесия является устойчивым тогда и только тогда, когда стационарное значение полной энергии системы есть минимум (теорема Лагранжа)

Необходимое условие экстремума функционала динамическое и диссипативное выражается в виде вариационного уравнения Лагранжа

и используется при анализе стационарного (равновесного) состояния механической системы.

Поэтому для анализа характера стационарного поведения необходимо исследовать изменение полной энергии системы вблизи стационарного значения (рис. 1.15).

Обозначим Э приращение полной потенциальной энергии механической системы, вызванное вариацией поля δU, то есть

где U – поле перемещений, реализующее стационарное значение функционала Э.

Тогда для выполнения условия устойчивого равновесия достаточным условием будет

56

Таким образом, анализ устойчивости механической системы связан с задачами:

1. Определение условий возникновения неустойчивого равновесия (когда Э > 0) (см. рис. 1.16).

2.Поведение механической системы в области неустойчивого равновесия (характеризуется множественностью решений соответствующей краевой задачи, так называемое бифуркационное поведение и соответствующее этим условиям критические значения нагрузок и перемещений).

3.Закритическое поведение механической системы после прохождения зоны неустойчивости, переход к новому устойчивому положению равновесия системы ( Э ≤ 0).

1.9.Энергетические критерии устойчивости

1.9.1. Энергетический критерий бифуркационной потери устойчивости

Рассмотрим деформируемую консервативную упругую систему. На механическую систему действуют нагрузки, изменяющиеся пропорционально параметру Р. Полную потенциальную энергию системы определим как

при любых малых отклонениях от состояния равновесия. Рассмотрим первоначальное состояние системы. Пусть сис-

тема не нагружена (Р = 0), тогда любое малое отклонение системы от недеформированного состояния будет приводить к тому, что появится приращение упругой энергии U, а так как внешнее воздействие Р = 0, то А = 0 и Э < 0, т.е. начальное состояние является состоянием устойчивого равновесия.

Так как имеется состояние устойчивого равновесия упругой системы (при Р = 0), то в силу непрерывности функционала Э

58

существует некоторая окрестность 0 P Pкр , в которой выпол-

няется условие устойчивого равновесия Э > 0.

Критическое значение Pкр параметра нагрузки – это нижняя

граница диапазона внешних нагрузок, при которых возможно неустойчивое равновесие механической системы.

Рассмотрим последовательность равновесных состояний механической системы, добавляя малые приращения к полю перемещений так, чтобы функционал Э сохранял стационарное значение, и будем исследовать его приращение Э.

Приращение полной энергии на каждом шаге можно представить в виде

где W и V некоторые функционалы, не зависящие от Р. Критическое условие перехода к новому состоянию определяется равенством Э = 0, тогда

Откуда следует условие

δ( Э) = 0. (1.9.1.6)

Это энергетический критерий устойчивости.

Полученное соотношение позволяет вычислять точки бифуркации начального состояния, причем критической будет точка, соответствующая наименьшему

Рис. 1.17. Область устойчивости значению параметра нагрузкиР.

59

Если нагружение системы определяется несколькими параметрами ( P1 и P2 , например), то говорят о границе, пересечение которой означает бифуркацию (рис. 1.17).

1.9.2. Энергетический критерий упругой устойчивости в форме Брайана

Бифуркационный критерий устойчивости имеет вид δ( Э) = 0, следовательно, необходимо исследовать величину приращения потенциальной энергии Э, вызванную вариацией полей перемещений в окрестности стационарного поля.

Считаем, что задача определения начального НДС решена (δЭ = 0) и соответствующее поле перемещений {u0} {u0 ,v0 , w0 }

найдено. Тогда возмущенное поле перемещений можно представить в виде

где – малая величина, {u1} – вариация функций перемещений.

Так как при потере устойчивости механической системы наблюдаются большие смещения точек, то для анализа деформированного состояния упругой системы при потере устойчивости необходимо использовать нелинейные геометрические соотношения

…………………………………….. (1.9.2.2)

Подставляем (1.9.2.2) в (1.9.2.3)

60