книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций

Последнее выражение показывает, что полигармонический процесс представляет собой сумму стационарного процесса и бесконечного числа гармонических составляющих, называемых гармониками. Каждая гармоника характеризуется своей амплитудой An , частотой fn f1n и фазовым углом n . При этом все

частоты гармонических составляющих кратны фундаментальной частоте, спектр полигармонического процесса представляет дискретный линейчатый спектр (рис. 1.4). В спектре полигармонического процесса могут быть вырожденные гармонические составляющие, то есть амплитуда таких гармоник равна нолю.

Рис. 1.4. Частотный спектр полигармонического процесса

Пример. Пусть периодический процесс образован суммой трех гармонических процессов с частотами 60, 75 и 100 Гц. Определите основные параметры полигармонического процесса.

Решение. Наибольший общий делитель для приведенных частот 5 Гц, следовательно, f1 = 5 Гц фундаментальная часто-

та, период процесса 0,2 с. При разложении в ряд Фурье такой функции An 0 для всех значений, исключая n = 12, 15, 20.

11

Пример. Покажите, что гармонический процесс является частным случаем полигармонического.

Решение. Базовая частота гармонического процесса кратна сама себе, тогда f1 f0 , A1 A , а все остальные An 0 для n = 0,

1, 2, ...

Непериодические процессы Почти периодический (квазипериодический) процесс пред-

ставляется в виде суммы гармонических процессов с кратными фундаментальной частоте значениями частот гармоник (1,5 или 1,6). Если последнее условие не выполняется, то процесс не будет периодическим, хотя он и образован суммой гармонических процессов. Таким образом, вопрос о периодичности процесса, образованного суммой гармонических процессов, сводится к проблеме существования фундаментальной частоты и, следовательно, периода. Для того чтобы отсутствовала фундаментальная частота, достаточно, чтобы отношение частот каких-либо гармоник не являлось бы числом рациональным. Тогда для этих частот невозможно указать общий делитель, а следовательно, его нельзя тем более указать для всего спектра.

В этом случае почти периодический процесс определяется математически как функция времени вида

n 1

при этом хотя бы одно из отношений fn / fm (n, m = 1, 2, …) явля-

ется иррациональным числом. Практически такой процесс порождается различными гармоническими процессами, не связанными между собой физически общим воздействием (например, вибрации многомоторного самолета с несинхронизированными двигателями). Спектр почти периодического процесса (1.1.1.7) также является дискретным (рис. 1.4), при приближенном анализе очень часто полагают фундаментальную частоту f1 некоторой очень

малой положительной величиной, что практически означает замену почти периодического процесса периодическим (1.1.1.6).

12

Переходные непериодические процессы – это все непериоди-

ческие процессы, за исключением почти периодических процессов. Примеры переходных процессов (рис. 1.5): затухающая экспонента, затухающие колебания и прямоугольный импульс

где P – начальное значение нагрузки, – характерная скорость затухания, T – продолжительность действия импульса.

Рис. 1.5. Переходные процессы: затухающая экспонента (сплошная линия), затухающие колебания (прерывистая линия), прямоугольный импульс (штрихпунктирная линия)

Переходный процесс нельзя охарактеризовать дискретным спектром частот. В большинстве случаев для переходных процессов можно получить непрерывное спектральное представление, используя преобразование Фурье

13

Спектральное представление p( f ) является комплексной величиной и ее можно представить в полярной форме

где p( f ) – модуль спектра, непрерывная действительная функция; ( f ) – аргумент спектра, также непрерывная действительная

функция. Очень часто при инженерном анализе переходных процессов ограничиваются исследованием модуля спектрального представления переходного процесса (1.1.1.12), называя его просто спектром переходного процесса.

1.1.2. Случайные нестационарные нагрузки

Описание случайного нестационарного нагружения связано с анализом случайных функций. Рассмотрим воздействие на конструкцию, вызванное сложным физическим явлением стохастической природы, например аэродинамической турбулентностью. Статистические реализации этого процесса приведены на рис. 1.6, где представлены две выборочные функции случайного процесса. Отличительной особенностью случайных процессов является несовпадение выборочных функций или статистических реализаций. Совокупность всех возможных реализаций, которую может дать случайное явление, называется случайным или стохастическим процессом. Реализация, таким образом, это один из возможных исходов случайного процесса. Процесс, все реализации которого являются тождественно равными, называется де-

терминированным.

Классификация случайных воздействий на конструкции имеет вид:

1)стационарные:

– эргодические,

– неэргодические;

2)нестационарные.

Рассмотрим совокупность выборочных функций pi (t) , i = 1, 2, …, определяющих случайный процесс. Среднее значение случай-

14

ного процесса в произвольный момент времени t можно определить, как

Рис. 1.6. Выборочные функции случайного процесса

где – сдвиг по времени. Стационарными называются случайные процессы у которых P(t) не зависит от времени P(t) = P , а ковариационная функция зависит только от величины сдвига по времени (R(t,t+ ) = R( ) . В противном случае процесс является нестационарным. Рассмотрим осреднение произвольной k-й реализации случайного процесса

Если рассматриваемый процесс стационарен, а значения математического ожидания, вычисленные по формулам (1.1.2.1) и (1.1.2.3), совпадают, то процесс является эргодическим, для которого справедливо утверждение

15

Pk p ,

Pk ( ) R( ).

Эргодическими могут быть только стационарные процессы. Свойство эргодичности позволяет установить характеристики случайного процесса на основе осреднения по одной реализации.

Спектральная плотность случайного процесса определяется как результат преобразования Фурье ковариационной функции случайного процесса

обратное преобразование Фурье для спектральной плотности случайного процесса, известное как соотношение Винера – Хинчина, позволяет получить ковариационную функцию

Очень часто в инженерных приложениях случайный процесс определяется именно через спектральную плотность.

1.2. Основные соотношения динамики конструкций

1.2.1. Вариационный принцип Гамильтона

Будем рассматривать упругие механические системы, поведение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Так как при решении динамических задач необходимо определить перемещения, напряжения и деформации конструкции как функции пространственных координат и времени, то для формулировки краевых задач динамики необходимотакже ввести комплекс начальныхи граничныхусловий.

Для получения основных соотношений динамики воспользуемся вариационным принципом Гамильтона. Согласно этому принципу, из всех кинематически допустимых движений механи-

16

ческой системы реально осуществляется такое перемещение точек тела, которое обеспечивает минимум полной энергии. Тогда необходимое условие экстремума функционала примет вид

где J – гамильтониан, интеграл действия; T – кинетическая энергия; U – потенциальная энергия деформации; П – потенциал внешних сил.

Для упругого тела, занимающего объем V, ограниченного поверхностью S, интеграл действия можно представить в виде

при этом подынтегральная функция в интеграле действия называется функцией Лагранжа, L – объемная плотность лагранжиана, R – поверхностная плотность лагранжиана, S* – часть поверхности S, на которой действуют внешние нагрузки.

Поведение упругой системы описывается вектор-функцией перемещений u(t,r), объемная и поверхностная плотности лагранжиана, как покажем далее, зависят от функции u и от ее частных производных. Тогда для функционала J можно составить уравнение Остроградского – Эйлера

17

Компоненты вектора перемещений связаны с деформациями с помощью геометрических соотношений Коши

В свою очередь деформации связаны с напряжениями линейным образом по закону Гука для общего случая анизотропии упругих свойств

где Cijkl – тензор упругих постоянных.

С учетом приведенных соотношений определим выражение для подынтегральной функции в вариационном принципе Гамильтона. Энергию деформированияопределимпо формуле Клайперона

Кинетическая энергия механической системы имеет вид

где – плотность материала.

Потенциал внешних сил, представим в виде суммы работ объемных и поверхностных нагрузок

где Xi – компоненты распределенных по объему нагрузок; pi – компоненты действующих на поверхности тела S* нагрузок.

18

Подставляя полученные для U, T и П соотношения в функционал (1.18) и группируя слагаемые, связанные интегрированием по объему и поверхности деформируемого тела, получим выражение для объемной и поверхностной плотности лагранжианов

R piui .

Подставляя выражение для объемного лагранжиана в уравнение Остроградского– Эйлера, получим уравнение следующего вида

известное как динамическое уравнение Ламе. Значение функционала J зависит от значения функции u(t,r) на границе деформируемого тела S*, на этой части границы необходимо сформулировать граничноеусловие. Данное граничноеусловие называют естественным, в отличие от оставшейся части границы тела, на которой заданы перемещения точек исследуемой конструкции. В рассматриваемом случае естественное граничноеусловиепримет следующий вид

где nj – компоненты вектора внешней нормали к поверхности.

Тогда, задавая кинематические граничные условия Дирихле на оставшейся части поверхности конструкции:

в результате имеем постановку краевой задачи динамики упругого деформируемого тела.

19

1.2.2. Принцип Даламбера в задачах динамики

Рассмотрим иной способ построения определяющих соотношений динамики, используя принцип Даламбера. Согласно этому принципу, динамические уравнения можно получить на основе статической постановки задачи механики деформируемого твердого тела, учитывая инерционные слагаемые в выражениях для уравнений равновесия. Так, статическая краевая задача описывается уравнениями равновесия

с физическими соотношениями (1.2.1.5) и геометрическими уравнениями (1.2.1.4) при граничных условиях в напряжениях и перемещениях.

Согласно принципу Даламбера, изменения касаются только уравнений равновесия, в которых объемные силы следует представить в виде Xi Xi , где первое слагаемое – объемные внеш-

ние нагрузки, а второе – силы инерции, определяемые из второго закона Ньютона

Используя соотношения Гука (1.2.1.5) и Коши (1.2.1.4) для последовательного исключения из уравнений движения полей напряжений и деформаций, также получим динамическое уравнение Ламе (1.2.1.11). Оставляя без изменения граничные условия в перемещениях и исключая напряжения и деформации из граничных условий в напряжениях, получаем граничные условия вида

20