книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций

где 0x , 0y и 0xy – компоненты тензора деформации срединной

поверхности (тензор мембранной деформации). Так как рассматривается гибкая пластина и значения функции прогиба w(x,y) соизмеримы с характерным размером пластины, то неприемлема гипотеза малых деформаций, применяемая часто в теории упругости, для деформаций срединной поверхности. Поэтому для установления связи между тензором мембранных деформаций и вектором перемещений нельзя использовать тензор малых деформаций – тензор Коши – и соответствующие геометрические соотношения. Необходимо использовать нелинейные геометрические соотношения – тензор деформаций Грина:

Используем эти соотношения для компонентов тензора мембранной деформации

0 u0 v0 w w ; xy y x x y

окончательный видгеометрических соотношений гибкойпластины

131

z xz yz 0.

Компоненты тензора деформации определяются тремя функциями w,u0 ,v0 . Соотношения нелинейные относительно частных

производных неизвестных функций.

2. Внутренние усилия в гибкой пластине. Для определения компонент тензора напряжений воспользуемся обобщенным законом Гука:

x C11 x C12 y ,

По аналогии с тензором мембранных деформаций ij0 , удобно ввести тензор мембранных напряжений ij0 , тогда соотношения примут вид

132

Исследуем внутренние усилия, возникающие в гибкой пластине. Рассмотрим элемент dxdy (рис. 3.11).

Рис. 3.11. Внутренние усилия в гибкой пластине

Усилие

создается мембранными напряжениями, поэтому его называют мембранным усилием; аналогично мембранное усилие

133

окончательное выражение

Таким образом, элементарная гибкая пластина находится под действием продольных мембранных усилий Nx, Ny, сдвигового мембранного усилия Sxy, изгибающих моментов Mx, My , крутящего момента Mxy и перерезывающих усилий Sx ,Sy .

134

3. Энергия упругого деформирования гибкой пластины. Энер-

гия упругого деформирования U необходима для вариационной постановки краевой задачи изгиба пластины:

энергия мембранного деформирования

где S – площадь, ограниченная контуром пластины; энергия изгибания Ui совпадает с выражением энергии для технической теории (см. раздел 3.7). Таким образом, функционал энергии упругого деформирования гибкой пластины Um равен сумме двух функционалов функций u0 ,v0 , w , а второй – Ui – функционалом

только функции прогиба w.

4. Уравнения равновесия гибкой пластины. Рассмотрим рав-

новесие бесконечно малого элемента пластины (рис. 3.12).

Рис. 3.12. Усилия и моменты, действующие на элемент гибкой пластины

135

Проекция сил на ось y:

136

Рис. 3.13. Проекционные углы для усилий деформированного элемента гибкой пластины

Раскроем скобки, пренебрегая слагаемыми выше второго порядка малости и сокращая dxdy, получим

Уравнения равновесия для моментов относительно осей x, y полностью совпадают с уравнениями тонкой пластины:

используя эти соотношения, исключим перерезывающие усилия из уравнения (3.8.28)

Соотношения (3.8.24), (3.8.25) и (3.8.30) образуют систему уравнений равновесия пластины.

5. Разрешающие уравнения гибкой пластины. Для получения разрешающих соотношений в перемещениях достаточно подставить в систему (3.8.24), (3.8.25) и (3.8.30) соответствующие выражения для внутренних силовых факторов M x , M y , M xy , Nx ,

N y , Sxy . Получим нелинейную систему трёх дифференциальных

уравнений в частных производных относительно трёх неизвестных функций u0 ,v0 , w . Однако часто удобнее использовать функцию напряжений Ф(x,y), определив её как

Nx 2 ,y2

Sxy 2 ,

x y

при этом уравнения (3.8.24) и (3.8.25) удовлетворяются тождественно, а уравнение (3.8.30) преобразуется к виду

138

Таким образом, получили одно уравнение с двумя неизвестными функциями w, Ф. Дополнительное уравнение можно найти из условия совместности деформаций на серединной поверхности

Подставляя в которое геометрические соотношения для срединной поверхности – тензорконечных деформаций Грина, имеем

Сдругой стороны, тензор мембранных деформаций связан

стензором мембранных напряжений соотношениями

139

через функцию напряжения Ф

Подставим полученные соотношения в условие совместности деформаций

Сопоставляя (3.8.36) и (3.8.40), получим уравнение совместности деформаций относительно функции напряжений и функции прогибов

Таким образом, система двух нелинейных уравнений в частных производных (3.8.34) и (3.8.41) является системой разрешающих уравнений гибкой пластины относительно функции напряжений Ф и функции прогиба w (уравнение Кармана).

6. Расчёт тонкой пластины под действием внешних нагру-

зок. Пусть на пластину действуют произвольным образом ориентированные нагрузки q, p – соответственно составляющие нормальная и действующая в плоскости пластины. Построение теории можно провести аналогично построению теории гибких пластин, но, учитывая малый прогиб, геометрические соотношения –

140