Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

3.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 239 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

родные и изотропные, в) идеальное сцепление по межфазным поверхностям, г) пренебрегаем различием коэффициентов Пуассона матрицы и волокон, д) напряжения в трансверсальной плоскости для матрицыи волокон совпадают; 1 – направлениеармирования.

Рассмотрим одноосное растяжение композита вдоль оси 1 напряжением σ11, уравнение равновесия имеет вид

f f m m 11.

(2.1.6)

Напряжения σm, σf и деформации εт, εf соответственно в матрице и волокнах связаны между собой законом Гука:

Em m

m .

(2.1.7)

Подставим выражение (2.1.7) в (2.1.6), в результате получим

соотношение

(2.1.8)

m 11

следовательно,

(2.1.9)

m Em

где коэффициент

. Так как компонента

a1111 тензора по-

датливости a может быть определена по формуле a1111 1 11 ,

E1 11

поэтому

1		,
a1111
	f m Em
E1 f E f m Em ,		(2.1.10)

a1122 12 ,

где Ej – модуль Юнга вдоль оси армирования 1, v12 – коэффици-

ент Пуассона, характеризующий деформацию композита вдоль оси r2 или r3 при растяжении вдоль оси 1.

Рассмотрим растяжение композита в трансверсальной плоскости в направлении оси 2 напряжением а22 и, используя приближенные равенства:

m 22 ,

(2.1.11)

получим зависимости для деформаций в элементах структуры композита:

f 22 22 ,

f 11	f 22	,

	Ef

m22

m11

22	,

Em		(2.1.12)
m 22 .

Em

С другой стороны, уравнение равновесия на ось 1 имеет вид

f 11 f	m11 m 0,			(2.1.13)
следовательно, напряжения в волокнах
f 11		m11 m	,	(2.1.14)

		f

напряжениям σf11 и σm11 будут соответствовать деформации

	f 11	,		m11 .	(2.1.15)

f 11	Ef	m11	Em

Совместность деформаций в элементах структуры (1.18), (1.19) возможна, если выполняется равенство:

m11 f 11 f 11 m11.

(2.1.16)

Подставляя соотношения (1.18), (1.19) в (1.20), получим

m11

m11 m

(2.1.17)

m E

или после некоторых преобразований

m11

(2.1.18)

Деформация композита ε11 в направлении оси 1 будет равна

сумме:

m f

(2.1.19)

Em m

m11

11 m11

m11.

(2.1.20)

Таким образом,

a1122 22 ,

(2.1.21)

где

m m

a1122

(2.1.22)

Em m Ef f

коэффициент Пуассона композита

m m

f f .

(2.1.23)

Деформация ε22 композита в направлении оси 2 от приложен-

ного напряжения σ22

22 f 22 f

m22 m

(2.1.24)

или

a2222 22 ,

(2.1.25)

где					f
a2222			1		f				m	.	(2.1.26)
a2222		Ef			E f					.	(2.1.26)
		Ef			E f			Em
Так как в силу симметрии коэффициентов податливости вы-
полняется равенство
	a2211 a1122 ,										(2.1.27)
следовательно,
		12			21						(2.1.28)
		E			E
			1		2
или
						E2	,				(2.1.29)
							,				(2.1.29)
	12			12 E
					1

т.е. коэффициенты Пуассона v12 и v21 не являются независимыми константами.

Аналогично, рассмотрев деформации композита в направлении оси 3 при действии напряжения а22, получим для деформации вдоль оси 3 зависимость

		f				m			(2.1.30)
33 f 33 f	m33 m			f		m	m	22
33 f 33 f	m33 m	E		f			m	22
		E	f		E	m
			f			m

для компоненты тензора податливости

a3322		23 ,	(2.1.31)
		E2

для коэффициента Пуассона

	f				m
23			f		m	m E2	;	(2.1.32)
23	E		f			m E2	;	(2.1.32)
	E	f		E	m
		f			m

модуль сдвига в плоскости изотропии композита не является независимой константой и может быть определен по формуле

G23			E2	.	(2.1.33)
	2	1	23

Пятая независимая константа упругих свойств композита:

G12 m 1 f m Gm , m m 1 f

где m			Gf			– расчетная формула Г. А. Ванина. Тогда закон Гука
где m			G			– расчетная формула Г. А. Ванина. Тогда закон Гука
			G
				m
будет выглядеть так:
					1			21				31	0	0		0
								E				E
						E		E		2		E
					1					2		3
					12			1			32		0	0		0
						E						E
						E		E	2			E
		1			1				2			3								1

2					13		23					1	0	0		0			2
					13		23					1
												E3
3						E1		E2				E3							3		(2.1.34)
																					(2.1.34)
23					0			0				0	1	0		0			23
													1
													G23
	13												G23							13
														1


12					0			0				0	0			0		12
12					0			0				0	0		G13	0		12
															G13
																1
					0			0				0	0	0		1
					0			0				0	0	0			G
																	G
																12

качестве самостоятельного практического задания можно рассмотреть получение матрицы жесткости однонаправленного волокнистого композита

2.2. Термоупругие характеристики армированного слоя

Рассмотрим элементарный объем (рис. 2.2) однонаправленного волокнистого композита; будем использовать две системы координат:

Рис. 2.2. Элементарные объемы композита в локальной (а)

иглобальной (б) системах координат 1, 2, 3 – оси, связанные

снаправлениями армирования, – некоторая произвольная

система координат, удобная для анализа конструкции

В главных осях анизотропии 1, 2, 3 соотношения обобщенного закона Гука с учетом теплового расширения примут вид:

		1				2	T
	1	E		12		E	1
		1				2
		2		21		1	2T ,	(2.2.1)
2		E		21		E	2T ,	(2.2.1)
		E	2			E
			2			1
			12		12
					12
					G
					G
						12

где a1 а2 – коэффициенты линейного теплового расширения в направлениях 1 и 2, Т – приращение температуры. Обратные соотношения:

1 E1* 1 12 2								E1* 1 12 2				T
	2	E	*	2		21		E *	2	21	2		T ,	(2.2.2)
	2	2		2		21	1	2	2	21	2
					12		G12 12
					12		G12 12

где использовано обозначение

E*		Ei	,i 1,2.	(2.2.3)

i	1	12 21

Выразим напряжения в системе координат α, β, γ

				cos2							2	sin2					sin 2
					1						2					12
				sin2						2		cos2					sin 2	,	(2.2.4)
					1					2						12
															12 cos 2
	1 2 sin cos														12 cos 2
а деформации – в осях 1,2,3:
					cos2				sin2							sin cos
	1					2							2						(2.2.5)
2		sin					cos							sin cos .					(2.2.5)
			12					sin 2 cos 2
			12					sin 2 cos 2

Подставим		зависимости						(2.1.11)							в	(2.1.9),		а затем	(2.1.9)

в (2.1.10) и установим связь между напряжениями и деформациями в системе координат α, β, γ:

	C11 C12 C16
		C21 C22 C26

		C61 C62 C66
12

где компоненты жесткости

C1T T

C2T T , (2.2.6)

C6T T

C11 E1 cos4 E2 sin4

2 E1 12

2G12 sin2

cos2

C22

E1 sin4 E2 cos4

2 E1 12

2G12 sin2

cos2

E E

sin2

cos2

C66

2E1 12 sin2 cos2 G12 cos2 2

cos 2 . (2.2.7)

sin cos E cos2

sin2

sin cos E cos2

sin2

cos 2

C1T

E1 1 12 2 cos2 E2 2

21 1 sin2

C2T

E1 1 12 2 sin2 E2 2

21 1 cos2

sin cos E

21 2

Для получения обратных выражению (2.2.6) соотношений, можно разрешить систему (2.2.7) относительно деформаций, но проще повторитьвыкладки, используясоотношенияподобия(2.2.4), (2.2.5):

			cos2							sin2							sin 2
	1					2							2					(2.2.8)
2		sin					cos							sin 2 ,				(2.2.8)
				sin cos													cos 2
				sin cos													cos 2


	cos2				2 sin2										12	sin cos
		1		2				2			2				12
	1 sin			2				2	cos		2	12 sin cos .						(2.2.9)
	1 sin								cos			12 sin cos .						(2.2.9)
			1			2 sin 2 12 cos 2
			1			2 sin 2 12 cos 2

Подставляя зависимости (2.2.8) в (2.2.1) и полученные значения деформаций s1, s2, y12 в (2.2.1), получим закон Гука в виде:

A11 A12 A16 T
	,	(2.2.10)
A21 A22 A26 T	,	(2.2.10)

A16 A26 A66 T

где Aij – компоненты матрицы податливости, i, j = 1,2,6

;

(2.2.11)

A16 A61 , ;

A26 A62 , ,

где ηα,αβ и ηαβ,α – коэффициенты Ченцова, для которых выполняется неравенство


,	,	.	(2.2.12)

G	G

После некоторых преобразований получим зависимости:

								4					4							2 21
	1			cos				4	sin				4						1				sin2 cos2
	1																		1
		E
		E				E1					E2						G12				E1
							4						4							2 21
	1			sin			4		cos				4						1				sin2 cos2
	1																		1
		E
		E				E1					E2						G12				E1
									21			1					1		2 21				1
												1					1						1	sin2 cos2
				E								E1				E2								sin2 cos2
E				E					E1			E1				E2				E1		G12						(2.2.13)
																									2			(2.2.13)
					1		sin2 2							1				1		2 21 cos					2	2
					1									1				1								2
					G									E1
					G									E1				E2		E1				G12
										cos2						sin2					1
	,			sin 2							E1							E2							21		cos 2
G				sin 2																					21		cos 2
G																					2G12			E1
										sin2					cos2						1
	,		sin 2																						21		cos 2
G			sin 2								E1							E2							21		cos 2
G											E1							E2			2G12			E1

формулы преобразования компонент для тензора второго ранга коэффициентов теплового расширения

	cos2			2	sin2
	1			2
	sin2		2		cos2	.	(2.2.14)
	1		2
1		sin 2

Рассмотрим межслойный сдвиг: а) в главных осях анизотропии

13	G13 13				,	(2.2.15)
23	G23		23 ,			(2.2.15)
23	G23		23 ,
13		13	,
13		G13	,			(2.2.16)
		G13
		23
23		23		;
23		G23		;
		G23

б) в произвольной системе координат

13 cos 23 sin ,23 cos 13 sin ,

обратные соотношения:

13 cos sin ,23 cos sin ,

аналогично для углов сдвига

13 cos sin ,

23 cos sin ,

12 cos 23 sin ,

23 cos 13 sin .

Подставим формулы (2.2.19) в (2.2.15), в результате получим зависимости:

C44 C45 ,

C54 C55 ,

(2.2.17)

(2.2.18)

(2.2.19)

(2.2.20)

а потом в (2.2.17),

C	44	G	cos2 G	sin2	,	(2.2.21)
	44	13	23
C		G	sin2 G	cos2	,
55		13	23
C45		C54	sin cos G13 G23 .

Аналогично подставим (2.2.20) в (2.2.16), а потом в (2.2.18):

A44 A45 ,

A45 A55 ,

A	1	cos2	sin2	,

44	G	G13	G23

A55		1	sin2 cos2 ,						(2.2.22)
		G		G13	G23
A45	A54			,			1	1
					sin cos				.
				G	sin cos			G23	.
				G		G13		G23

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 239 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
19.11.202327.58 Mб8Строительная механика и металлоконструкции строительных и дорожных машин..pdf
#
12.11.20235.11 Mб15Строительная механика и расчеты композитных конструкций на прочность..pdf
#
12.11.2023768.04 Кб1Строительная механика машин..pdf
#
12.11.202312.98 Mб0Строительная механика стержневых систем. Ч. 1.pdf
#
12.11.202312.02 Mб1Строительная механика стержневых систем. Ч. 2.pdf
#
12.11.20233.67 Mб7Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций..pdf
#
20.11.202321.45 Mб0Строительная механика.-1.pdf
#
12.11.20232.43 Mб1Строительная механика..pdf
#
12.11.20231.75 Mб3Строительная теплофизика..pdf
#
12.11.20237.38 Mб0Строительное материаловедение история, теория, практика. Введение в специальность.pdf
#
12.11.202313.49 Mб4Строительное проектирование химических предприятий..pdf