книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций

где Bij 0 , если координатная поверхность является срединной

поверхностью.

Рассмотрим типичный конечный элемент осесимметричной оболочки (рис. 5.26). Перемещение i-го узла определяется тремя компонентами:

Рис. 5.26. Обобщенные узловые перемещения конечного элемента

211

где [N] – матрица базисных функций элемента. Если предположить, что и изменяется линейно, а прогиб w – по полиному третьей степени, то

где s – локальная координата, направленная вдоль элемента i, j, начало в узле i. Составляя на основе принятой аппроксимации шесть уравнений для обобщенных перемещений в локальной системе координат

получим систему, из решения которой определим все базисные функции

щения в локальной системе координат. Учитывая соотношение

212

при этом полагаем, что базисные функции в локальной системе координат:

Используя геометрические соотношения и принятую аппроксимацию функций смещения в пределах конечного элемента, нетрудно получить матрицу деформаций [B]:

213

Теперь имеем все необходимые составляющие для построения матрицы жесткости и вектора узловых нагрузок. Интегрирование проводится по площади элемента

перед интегрированием необходимо учесть, что r r(s ) , интег-

рирование разумно проводить численно.

4. Осесимметричная оболочка при неосесимметричном на-

гружении. Пусть u – перемещение по координате s, w – перемещение по ,v – перемещение по θ; более сложные геометриче-

ские соотношения для компонент обобщенных деформаций

обобщенные нагрузки:

Ns , N , Ns , Ms , M , Ms . (5.5.19)

Аппроксимация перемещений в пределах конечного элемента

214

Аналогично раскладываем в ряд внешнюю нагрузку. Нетрудно заметить, что при составлении матрицы жесткости система разрешающих соотношений в силу ортогональности тригонометрических функций распадается на L подсистем. В результате достигается понижение размерности исследуемой задачи, и в этом случае метод конечных элементов с разложением в ряд по ортогональным функциям по одной из координат называют полуаналитическим методом конечных элементов.

5.6. Расчет толстостенных оболочек

Для толстостенных оболочек (рис. 5.27) выполняются неравенства вида: h a, h b , но не выполняются неравенства

h a, h b , справедливые для тонких оболочек. Для получения

разрешающих соотношений, не переходя к анализу трехмерной задачи, можно воспользоваться дополнительными предположениями: а) нормали к срединной поверхности остаются прямолинейными при деформировании, б) не учитывается вклад напряжений, перпендикулярных срединной поверхности, в энергию деформации пластины.

Рис. 5.27. Толстостенная оболочка

1. Геометрические характеристики элемента (рис. 5.28).

Введем локальную систему координат X ,Y , Z , и, если принять, что локальные координаты нормированы таким образом, что X ,Y , Z ( 1,1) , то связь между локальными и глобальными координатами будет определяться соотношением

215

где Ni ( , ) – функции формы для плоских прямоугольных или

треугольных элементов. Соотношение (5.6.1) можно представить в ином виде:

Рис. 5.28. Конечный элемент

2. Поле перемещений элемента (рис. 5.29).

216

Рис. 5.29. Обобщенные узловые перемещения конечного элемента

3.Матрица деформаций. Используем соотношения Коши

влокальной системе координат для трехмерного случая,

Необходимо установить связь между частными производными в локальной и глобальной системах координат:

217

например, с помощью матрицы направляющих косинусов

Рис. 5.30. Слоистая конструкция

218

5. Матрица жёсткости элемента:

Обычно для экономии времени интегрирование по координате z проводят аналитически. Далее рассчитывают все по традиционной схеме метода конечных элементов.

6. Осесимметричная толстостенная оболочка (рис 5.31).

Соотношения между координатами узлов и произвольной точки элемента имеют вид

Рис. 5.31. Осесимметричная толстостенная оболочка

219

ui , i – перемещение и поворот по координате r; vi – по коорди-

нате z. Для определения геометрических соотношений в глобальной системе координат удобно воспользоваться соотношениями Коши в цилиндрической системе координат:

Применив связь между локальными и глобальными координатами, переходим к локальной системе координат и используем аппроксимацию поля перемещений внутри конечного элемента в соотношениях (5.6.19). Исключая деформацию , в результате

получим

В физических соотношениях матрица имеет такой же

вид, что и для общего случая, но с опусканием членов, связанных со сдвиговыми деформациями и напряжениями в плоскости

, ; для слоистых конструкций ( ) функция координат .

220