книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций

Матрица жесткости конечного элемента k e может быть рассчитана по формуле

Рис. 5.32. Трехслойная конструкция (а) и пример дискретизации (б)

При расчете трехслойных конструкций (рис. 5.32, а) целесообразно рассматривать несущие слои как тонкостенные конечные элементы, а наполнитель – как толстостенные конечные элемен-

ты (рис. 5.32, б).

5.7. Нелинейные задачи механики тонкостенных конструкций

Рассмотренные ранее задачи механики являются линейными задачами, так как при математическом описании полей напря- женно-деформированного состояниях в конструкции имеем дело с линейными дифференциальными уравнениями, что является следствием принимаемых предположений о линейной связи между напряжениями и деформациями и о малости деформаций, т.е. использованы закон Гука и линейные геометрические соотношения. Однако в ряде прикладных задач такие предположения неоправданные, и уточненный анализ более сложного поведения конструкций представляет значительный интерес.

221

1. Физически нелинейные задачи. Задачи такого вида возни-

кают тогда, когда имеется более сложная связь между напряжениями и деформациями (рис. 5.33). Рассмотрим применение метода конечных элементов для таких физически нелинейных задач. Представляем связь между векторами обобщенных напряжений {σ} и деформаций {ε} конечного элемента через соотношение вида

тогда матрица жесткости конечного элемента может быть рассчитана по формуле

где e – вектор узловых перемещений.

Рис. 5.33. Деформационные зависимости физически нелинейных задач

222

Разрешающая система нелинейных уравнений

решение которой можно получить при использовании метода последовательных приближений или метода итераций с рекуррентной последовательностью вида

n = 1, 2, .... На рис. 5.34, а, представлена схема этого итерационного алгоритма – метода переменных жесткостей, который эффективен для «слабой» нелинейности.

Рис. 5.34. Схемы итерационных процессов метода переменных жесткостей (а) и метода приращений (б)

Рассмотрим другой алгоритм метода приращений (рис. 5.34, б). Для приращений справедливзакон Гука

d * d , (5.7.5)

идля каждого шага приращения нагрузки или деформаций решается упругая задача, а перед выполнением очередного шага перевычисляется матрица [ *]. Этот метод требует большого числа шагов и контроля за шагом, но метод позволяет моделировать любые сложные нелинейные системы и применим, например,

223

к задачам ползучести. В качестве параметра, задающего приращение напряжений и деформаций, вводится шаг по времени dt. Решая реологическое уравнение

определяем на каждом шаге матрицу [ *]; далее все рассчитываем аналогично стандартной схеме расчета по методу конечных элементов.

2. Геометрически нелинейные задачи. При выводе геометри-

ческих соотношений Коши было использовано предположение о малости деформаций, что позволяло пренебречь нелинейными слагаемыми. Однако, например, тонкостенные конструкции, такие, как гибкие оболочки, пластины и стержни, в процессе нагружения могут значительно изменять свою форму, и тогда возникает необходимость учета и нелинейных слагаемых в геометрических соотношениях.

Рассмотрим пластину в векторе перемещений

u

v , (5.7.7)

w

где компонента w – прогиб (рис. 5.35).

Рис. 5.35. Прогибы пластины

Продольная деформация x будет определяться мембран-

ной деформацией ux и удлинением за счет прогиба w, таким образом

224

в последнем преобразовании использовано разложение в ряд Тейлора и учет лишь линейных и квадратичных членов. Вектор обобщенных деформаций конечного элемента на основе нелинейных геометрических соотношений

Подставляя аппроксимацию перемещений в пределах конечного элемента

u

v N , (5.7.10)

w

получим связь между обобщенными перемещениями и деформациями.

225

В общем случае больших деформаций и перемещений необходимо использовать тензор конечных деформаций Грина, например при расчете тонкостенной конструкции для трехмерной деформации:

226

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящем курсе лекций описаны конструкционные и технологические свойства композиционных материалов, получивших в последние годы широкое распространение в различных областях техники, и рассмотрены прикладные методы расчета элементов конструкций, изготовленных из этих материалов.

Рассмотрена общая теория и постановка краевых задач упругого деформирования анизотропных пластин и оболочек в криволинейных системах координат. Приведены прикладные методы решения и дан анализ области их использования при расчете элементов конструкций. Представлены алгоритмы численного решения этих задач методом конечных элементов, в том числе расчет стержневых конструкций и сетчатых панелей. Коротко рассмотрены решения нелинейных задач механики тонкостенных конструкций.

227

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. – М.: Машиностроение, 1991.

2.Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. – М.: Машиностроение, 1984.

3.Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. –

М.: Наука, 1974.

4.Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации: учебник для втузов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Бау-

мана, 2001.

5.Аттетков А.В., Зарубин В.С., Канатников А.Н. Введение

вметоды оптимизации: учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, ИНФРА-М, 2008.

6.Буслаев В.С. Вариационное исчисление: учебное пособие для студентов вузов. – Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1980.

7.Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика: учебник для вузов. – СПб. [и др.]: Лань, 2014.

8.Каратеодори К. Вариационное исчисление и дифференциальные уравнения первого порядка в частных производных: пер. с англ. – М.; Ижевск: Ин-т компьютер. исслед., 2012.

9.Колмогоров Г.Л., Мельникова Т.Е., Кулиев В.Р. Вариационные методы в теории пластин и оболочек: учебное пособие. – Пермь: Изд-во ПГТУ, 2000.

10.Композиционные материалы: справочник / В.В. Васильев [и др.]. – М.: Машиностроение, 1990.

11.Корнеенко В.П. Методы оптимизации: учебник. – М.:

Высш. шк., 2007.

12.Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации: учебное пособие для втузов. – М.: Изд-во МАИ, 1995.

13.Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных: учебное пособие. – М.: Высш. шк., 1977.

228

14.Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. – М.: Машиностроение, 1977.

15.Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах

изадачах: учебное пособие для вузов. – М.: Изд-во МАИ, 2000.

16.Полимерные композиционные материалы. Прочность

итехнология / С.Л. Баженов [и др.]. – Долгопрудный: Интеллект, 2010.

17.Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления: учебное пособие для вузов. – М.; СПб: Лаб. Базовых Знаний, Физматлит, Нев. Диалект, 2000.

18.Старцева Л.В., Архипов В.Г., Семенов А.А. Строительная механика в примерах и задачах: учебное пособие. – М.: Изд-

во АСВ, 2014.

19.Чекалкин А.А., Котов А.Г. Динамика и устойчивость композитных конструкций: учебное пособие. – Пермь: Изд-во ПГТУ, 2006.

20.Чекалкин А.А., Паньков А.А. Лекции по механике конструкций из композиционных материалов. – Пермь: Изд-во ПГТУ, 1999.

21.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление: учебник для вузов. – М.: УРСС, 2002.

229