книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций

Компоненты тензора линейных деформаций в произвольной точке оболочки определяют выражениями

Тензор (1.12.4) – поле возможных деформаций первого родав выражении энергетического критерия устойчивости ( Э),

для построения выражений для компонент тензора учтем линейные слагаемые в тензоре мембранных деформаций:

Запишем выражение для приращения полной энергии цилиндрической оболочки:

Подстановка (1.12.4) в первое слагаемое позволит произвести интегрирование по толщине оболочки, т.е. по координате z (от – h/2 до h/2, где h – толщина оболочки)

71

чального (невозмущенного) состояния цилиндрической оболочки.

Для замкнутой цилиндрической оболочки на ее торцах должны быть заданы граничные условия:

–перемещение U или осевая елка Tx ;

–перемещение v или угловое усилие Sxy ;

–перемещение w или поперечное усилие Qx ;

–угол поворота нормали или изгибающий момент Mx . Если на оболочку действуют:

осевое усилие (сжимающее)

закручивающий момент

внешнее давление

тотензорымембранныхусилийопределяются следующимобразом

Tx0 N , 2 Rh

Ty0 pR p2 RL , 2L

72

Получим систему дифференциальных уравнений устойчивости цилиндрической оболочки

Составим систему уравнений Остроградского – Эйлера:

(u = v 0) при действии продольной нагрузки

При проведении практических расчетов устойчивости оболочечных конструкций обычно используют вариационную подстановку ( Э) = 0 для получения разрешающих соотношений, например, в форме МКЭ.

1.13. Нелинейные задачи теории устойчивости

Линейная теория устойчивости, в рамках которой получен энергетический критерий бифуркационной устойчивости и линеаризованные уравнения устойчивости, не позволяет исследовать поведение механической системы после потери устойчивости.

73

Причины этого являются:

1.Конечные перемещения (большие деформации).

2.Неупругое поведение материала (физическая нелинейность) при наличии больших деформаций

3.Динамические эффекты, сопровождающие переход из неустойчивого состояния равновесия в смежное устойчивое.

Кроме того, для элементов конструкций могут не выполняться и основные гипотезы теории устойчивости:

1.Первоначальное состояние системы может не описываться соотношениями линейной теории упругости (линейной теории стержней, пластин и оболочек).

2.Первоначальная форма может иметь отклонения от идеальной (стержень не прямой, пластина не плоская, кольцо не круглое).

3.Действующие на систему нагрузки не являются «мертвыми», неизменяемыми по величине и направлению (например, нестационарное воздействие).

Все это приводит к усложнению задачи устойчивости, определяющие соотношение при этом получаются нелинейными.

Таким образом, при анализе закритического поведения конструкций, а также в некоторых случаях и при анализе условий потери устойчивости механических систем необходимо рассматривать нелинейные соотношения устойчивости (что, безусловно, является более сложной задачей).

1.14.Закритическое поведение систем после потери устойчивости

Вариационные принципы механики:

1.Полная энергия стремится к минимуму (метод Лагранжа).

2.Дополнительная энергия стремится к минимуму (метод Кастильяно).

3.Мощность стремится к минимуму (метод Журдена). Полная энергия представляет некоторый функционал, функ-

ция под интегралом не является квадратичной относительно неизвестной функции (поля перемещений).

74

Для функционалов такого вида несправедлив энергетический бифуркационный критерий устойчивости

Однако из вариационного исчисления известно, что условие( Э) является необходимым условием экстремума, а характер экстремума (минимум или максимум) определяется знаком второй вариации

и, следовательно, предельное состояние для механической системы описывается уравнением

которое и является критерием устойчивости.

Легко убедиться, что бифуркационный критерий частный случай приведенного соотношения. Разложение в ряд Тейлора приращения полной энергии дает

следовательно, Э = Э, если в разложение Тейлора ограничиться одним слагаемым, и тогда

Учитывая, что F в выражении для полной энергии содержит достаточно большое число неизвестных функций, то в выраже-

нии 2Э будет достаточно большое число слагаемых вида:

причем, если неизвестных функций n, то слагаемых n2 .

75

1.15. Динамическая устойчивость

Если J интеграл действия, то необходимое условие экстремума функционала (принцип Гамильтона)

1.16. Учет начальных несовершенств

Поле перемещений, как стационарное, так возмущенное, представляется в виде:

где U полное поле перемещений; u0 начальное поле переме-

щений; u отклонение от первоначального поля перемещений. Наличие некоторых функций {u0} в предположении, что не-

совершенства (их форма) известны, дают дополнительные слагаемые в выражения для 2Э, что может повлиять на знак. При этом изменение может происходить как в сторону увеличения, так и в сторону снижения критической нагрузки.

Кроме того, следует иметь в виду, что начальные прогибы несовершенства имеют статистическую природу, и задача оценки устойчивости конструкции в этом случае является вероятностной.

76

Глава 2. ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Композиционные материалы благодаря высоким удельным физико-механическим свойствам нашли широкое применение в ответственных высоконагруженных элементах конструкций, например: в ракетной технике – корпуса, обтекатели, сопла двигателей в авиации – панели фюзеляжа, оперения, плоскостей

ввоенной технике – защитные шлемы, жилеты, на транспорте – шины, пневмоамортизаторы, корпуса спортивных автомобилей,

всудостроении – корпуса кораблей, яхт, шлюпок, в строительстве – панели, перекрытия зданий и сооружений, в технических видах спорта, например в бобслее, – экипировка спортсменов.

Прогнозирование эффективных физико-механических свойств композиционных материалов и рациональное (оптимальное) проектирование композиционных структур, например, на основе варьирования таких структурных параметров, как взаимное расположение

ифизико-механические свойства элементов структуры, составляют одну из центральных задач механики композитов, что позволяет создаватьматериалыс заранее заданными свойствами.

Вволокнистых композиционных материалах элементы структуры-волокна диаметром 5÷200 мкм, физико-механические свойства некоторых наиболее часто используемых видов волокон приведены в табл. 2.1.

Строение тонкостенной конструкции из волокнистого композиционного материала можно представить в виде многоуровневой структурной модели, например: армирующие волокна в связующем или матрице, ткань, лента, слой, пакет слоев.

1. Статический разброс прочности волокон. Функция на-

дежности (рис. 2.1) вида

77

есть распределение Вейбулла, где s – параметр уровня, α – параметр формы; вероятность разрушения

Рис. 2.1. Функция надежности

значение коэффициента а, например, для стекловолокна 3...4 и для углеволокна 6...9.

78

Если l – произвольная длина, тогда надежность волокна длиной l может быть рассчитана по формуле

где l0 – базовая длина; s, a – параметры волокна на базовой длине; закон Малмейстера при β≈1/2

3. Матрицы. Физико-механические свойства различных матриц приведены в табл. 2.2; в круглых скобках – соответствующие удельные значения Е/ρ [ГПа м3 /кг] и σр /ρ [МПам3 /кг].

2.1. Упругие характеристики анизотропных материалов

Обобщенный закон Гука имеет вид

где i,j,k,l = 1,2,3; а – тензор податливости, А – тензор жесткости. Соотношения (2.1.1), (2.1.2) могут быть записаны в матрич-

ной форме

79

Таблица 2 . 2 Физико-механические свойства матриц

с использованием соответствий между компонентами, например, тензора и матрицы напряжений

где индексы i, j 1,6 .

Упругие характеристики однонаправленного волокнистого композиционного материала. Будем использовать следующие предположения: а) композит обладает трансверсально-изотропной симметрией упругих свойств, б) матрица и волокна в композите – одно-

80