книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций

Следует отметить, что компоненты тензора деформаций не являются независимыми. Для координатной поверхности должно выполняться уравнение совместности деформаций:

k1ky k2 kx .

3.Физические соотношения. Физические соотношения не отличаются от общего случая – предположим, что координатная поверхность является срединной:

где Aij , Dij обобщенные жесткости оболочки.

4. Уравнения равновесия. Рассмотрим фрагмент пологой оболочки размерами dx, dy (рис. 4.12).

Проецируем усилия на ось х:

171

172

Проекция усилий на нормаль z к площадке (рис. 4.13):

Рис. 4.13. Элемент оболочки

Подставим выражения (4.3.18) и (4.3.20) в уравнение (4.3.22), исключив перерезывающие усилия:

это уравнение равновесия не будет независимым, так как независимых уравнений только пять. Если в уравнения равновесия (4.3.16)–(4.3.22) последовательно подставить физические и геометрические соотношения, то получим систему дифференциальных уравнений в частных производных относительно пяти неиз-

вестных функций u,v,w и 1, 2 .

5. Функция напряжений. Другой способ получения разрешающих соотношении связан с использованием функции напряжений. Вводим функцию напряжений F соотношениями:

Nx 2 F ,

y2

173

и подставляя последовательно в уравнение равновесия физические и геометрические соотношения, получаем систему трех дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций F, w, 1, 2 . Так как три уравнения содержат четыре неизвест-

ные функции, поэтому необходимо найти четвертое уравнение из уравнения совместности деформаций. Для этого выразим тангенциальные деформации через усилия:

ставляя эти соотношения в уравнение совместности деформации и учитывая связь усилий Nx , N y и Sxy с функцией F, получим

Дополняя полученную систему уравнений соответствующими граничными условиями, имеем постановку краевой задачи.

174

Глава 5. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

5.1. Расчет пластин в условиях плоского напряженного состояния методом конечных элементов

Пусть дана пластина S (рис. 5.1) с границей Г Г1 Г2 , на границе Г1 заданы краевые условия в перемещениях, на Г2 –

в напряжениях (усилиях). Задача сводится к необходимости отыскания функций перемещений u, v, напряжений x , y , xy и де-

формаций x , y , xy . При этом должны удовлетворяться гранич-

ные условия и уравнения равновесия, геометрические и физические уравнения.

Рис. 5.1. Пластина под действием нагрузки

Метод конечных элементов (МКЭ) – приближенный метод решения задач механики, включает в себя несколько этапов.

1. Дискретизация исследуемой области. На исследуемую об-

ласть наносится сетка (рис. 5.2, а): ячейки сетки образуют конечные элементы, например, треугольной (рис. 5.2, б) или прямоугольной формы; вершины конечных элементов – узлы, положение узла характеризуется координатами Xi ,Yi , где i – номер узла.

175

Для описания геометрии сетки знания координат узлов недостаточно, по меньшей мере необходимо для каждого элемента знать количество и список соответствующих номеров вершин

(табл. 5.1).

Рис. 5.2. Дискретизация исследуемой области (а) на конечные элементы (б)

Таблица 5 . 1

Параметры геометрии сетки

В более сложных случаях необходимой может быть дополнительная информация: а) топология элементов, если сетка содержит конечные элементы различного вида; б) список дополнительных узлов – узлов на ребрах конечного элемента; в) свойства материала конечного элемента для материалов с неоднородной структурой.

Методы дискретизации: 1) вручную, 2) использование преобразований (рис. 5.3), 3) прямое построение, 4) геометрическая модификация.

176

коэффициенты 1, 2 , , 6 определяем из системы линейных алгебраических уравнений

– площадь треугольника. Аналогичное выражение может быть получено для v, тогда

178

единичная матрица

3. Связь между перемещениями и деформациями. Соотношения Кошидля малыхупругихдеформацийплоской задачи имеют вид

Используем связь перемещений с узловыми перемещениями и в результате получим формулу

179

4. Связь между напряжениями и деформациями. Закон Гука

где [C] матрица эффективных жесткостей пластины.

5. Разрешающие соотношения. Полная энергия U складыва-

ется из энергии упругого деформирования A1 и работы внешних сил A2 . Истинное поле перемещений соответствует минимуму

полной энергии, по сравнению с любыми другими кинематически возможными полями перемещений:

180